Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
55
Добавлен:
13.04.2015
Размер:
99.84 Кб
Скачать

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 13

з теми: «Визначений інтеграл із змінною верхньою границею. Формула Ньютона – Лейбніца.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.08 Визначений інтеграл

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено

на засіданні циклової

комісії інформаційних технологій та прикладної математики.

Протокол № ____ від _______20__ р.

Голова циклової

комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач

Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІI

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Визначений інтеграл із змінною верхньою границею. Формула Ньютона – Лейбніца.

Мета:

  • Дидактична: навчитись застосовувати таблицю первісних для знаходження інтеграла Ньютона – Лейбніца, володіти методами інтегрування, досліджувати функцію на інтегрованість за Ріманом, застосовувати інтеграл Рімана при розв'язанні задач механіки та фізики.

  • Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

  • Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики пошукової технології.

Тип: лекція

Вид: лекція – діалог.

Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.

Науково-методичне забезпечення:

  1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

  2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

  3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

  4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

  • Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

  • Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

  1. Організаційна частина:

  1. відсутні;

  2. підготовка до заняття;

  3. перевірка д/з.

  1. Актуалізація опорних знань: визначення первісної, визначення невизначеного інтегралу, таблиця інтегралів основних елементарних функцій, класи функцій, що інтегруються, методи інтегрування. Визначення границі функції в точці, властивості границі функції в точці. Визначення інтегралу Рімана.

  2. Вивчення нового матеріалу:

  • Тема лекції: Визначений інтеграл із змінною верхньою границею. Формула Ньютона – Лейбніца.

  • Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основний математичний апарат –визначений інтеграл, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.

  • План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

  1. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

  2. Закріплення нового матеріалу.

  3. Підсумки заняття.

  4. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 13.

Тема: Визначений інтеграл із змінною верхньою границею. Формула Ньютона – Лейбніца.

План лекції № 13.

  1. Диференціювання визначеного інтегралу по верхній границі.

  2. Існування первісної. Формула Ньютона – Лейбніца.

Якщо функція ƒ інтегрована на відрізку [a, b], то функції F(х) = та G(х) = неперервні на цьому відрізку.(властивість називається неперервністю інтеграла за верхньою границею, неперервністю інтеграла за нижньою границею інтегрування.)

Теорема. Якщо функція інтегрована на відрізку [a, b] та неперервна в точці х0 [a, b], то функція F(х) = диференційована в цій точці та F′( х0) = ƒ(х0). В умовах теореми функція G(х) = також має похідну в точці х0, причому G′( х0) = -ƒ(х0).

Для кожної точки х, при умові неперервності функції ƒ на відрізку [a, b], виконуються рівності: = ƒ(х), = - ƒ(х).

Теорема. Якщо функція ƒ(х) неперервна у всіх точках деякого проміжку Δ, то на ньому у функції існує первісна, при цьому, якщо х0 – деяка точка проміжку Δ, то функція F(х) = , х Δ, є одною з первісних функції ƒ на проміжку Δ.

Тобто, = + С, - це зв’язок між невизначеним та визначеним інтегралом. З теореми маємо, що у будь – якої неперервної на деякому проміжку функції існує на цьому проміжку невизначений інтеграл.

Теорема.(основна теорема інтегрального числення). Якщо функція ƒ неперервна на відрізку [a, b], то, яка б ні була на цьому проміжку її первісна Φ, справедлива формула: = Φ(b) – Φ(а), що називається формулою Ньютона – Лейбніца.

Нехай функція задана і неперервне на відрізку де або , а - деяка її первісна, тобто при .

Теорема Якщо є якою-небудь первісною, то справедлива формула

,

тобто визначений інтеграл від від даної неперервної функції на даному відрізку дорівнює приросту її первісної

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца.

У виразі числа і називаються межами інтегрування, відповідно нижньою і верхньою, - проміжком інтегрування, - підінтегральною функцією. Формулу можна подати як правило, а саме: визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної функції для верхньої і нижньої меж інтегрування. Запишемо це так:

де символ називається вставкою. Формула дає практичне правило обчислення визначеного інтеграла. Воно означає знаходження невизначеного інтеграла, тобто первісної функції із наступним обчисленням її значень в точках і .

Приклад. Обчислити інтеграл.

.

Соседние файлы в папке Визначений інтеграл