матан 3 курс 2013 / лекции / Визначений інтеграл / лекция № 13
.docМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ
ЛЕКЦІЯ № 13
з теми: «Визначений інтеграл із змінною верхньою границею. Формула Ньютона – Лейбніца.»
Модуль КЗН-02. ПР.О.03.08 Визначений інтеграл
Дисципліна: «Математичний аналіз»
Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики.
Протокол № ____ від _______20__ р.
Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.
|
Розробив викладач Велікодна О. В.
|
ПЛАН ЗАНЯТТЯ
Дата: курс: ІІI
Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.
Тема: Визначений інтеграл із змінною верхньою границею. Формула Ньютона – Лейбніца.
Мета:
-
Дидактична: навчитись застосовувати таблицю первісних для знаходження інтеграла Ньютона – Лейбніца, володіти методами інтегрування, досліджувати функцію на інтегрованість за Ріманом, застосовувати інтеграл Рімана при розв'язанні задач механіки та фізики.
-
Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.
-
Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики пошукової технології.
Тип: лекція
Вид: лекція – діалог.
Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.
Науково-методичне забезпечення:
-
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.
-
Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.
-
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.
-
Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.
Між предметні зв’язки:
-
Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика
-
Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.
Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.
ХІД ЗАНЯТТЯ.
-
Організаційна частина:
-
відсутні;
-
підготовка до заняття;
-
перевірка д/з.
-
Актуалізація опорних знань: визначення первісної, визначення невизначеного інтегралу, таблиця інтегралів основних елементарних функцій, класи функцій, що інтегруються, методи інтегрування. Визначення границі функції в точці, властивості границі функції в точці. Визначення інтегралу Рімана.
-
Вивчення нового матеріалу:
-
Тема лекції: Визначений інтеграл із змінною верхньою границею. Формула Ньютона – Лейбніца.
-
Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основний математичний апарат –визначений інтеграл, що дає змогу розв’язувати прикладні задачі в різних галузях науки та техніки.
-
План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.
-
Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.
-
Закріплення нового матеріалу.
-
Підсумки заняття.
-
Домашнє завдання:
Конспект лекції № 13.
Тема: Визначений інтеграл із змінною верхньою границею. Формула Ньютона – Лейбніца.
План лекції № 13.
-
Диференціювання визначеного інтегралу по верхній границі.
-
Існування первісної. Формула Ньютона – Лейбніца.
Якщо функція ƒ інтегрована на відрізку [a, b], то функції F(х) = та G(х) = неперервні на цьому відрізку.(властивість називається неперервністю інтеграла за верхньою границею, неперервністю інтеграла за нижньою границею інтегрування.)
Теорема. Якщо функція інтегрована на відрізку [a, b] та неперервна в точці х0 [a, b], то функція F(х) = диференційована в цій точці та F′( х0) = ƒ(х0). В умовах теореми функція G(х) = також має похідну в точці х0, причому G′( х0) = -ƒ(х0).
Для кожної точки х, при умові неперервності функції ƒ на відрізку [a, b], виконуються рівності: = ƒ(х), = - ƒ(х).
Теорема. Якщо функція ƒ(х) неперервна у всіх точках деякого проміжку Δ, то на ньому у функції існує первісна, при цьому, якщо х0 – деяка точка проміжку Δ, то функція F(х) = , х Δ, є одною з первісних функції ƒ на проміжку Δ.
Тобто, = + С, - це зв’язок між невизначеним та визначеним інтегралом. З теореми маємо, що у будь – якої неперервної на деякому проміжку функції існує на цьому проміжку невизначений інтеграл.
Теорема.(основна теорема інтегрального числення). Якщо функція ƒ неперервна на відрізку [a, b], то, яка б ні була на цьому проміжку її первісна Φ, справедлива формула: = Φ(b) – Φ(а), що називається формулою Ньютона – Лейбніца.
Нехай функція задана і неперервне на відрізку де або , а - деяка її первісна, тобто при .
Теорема Якщо є якою-небудь первісною, то справедлива формула
, |
|
тобто визначений інтеграл від від даної неперервної функції на даному відрізку дорівнює приросту її первісної
Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца.
У виразі числа і називаються межами інтегрування, відповідно нижньою і верхньою, - проміжком інтегрування, - підінтегральною функцією. Формулу можна подати як правило, а саме: визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної функції для верхньої і нижньої меж інтегрування. Запишемо це так:
|
де символ називається вставкою. Формула дає практичне правило обчислення визначеного інтеграла. Воно означає знаходження невизначеного інтеграла, тобто первісної функції із наступним обчисленням її значень в точках і .
Приклад. Обчислити інтеграл.
.