матан 3 курс 2013 / лекции / Границя і неперервність функцій багатьох змінних / лекция № 30

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 30

з теми: «Границя й неперервність композиції функцій. Неперервність функцій на компакті та лінійно зв’язних множинах.»

Модуль КЗН-02.ПР.О.03.12 Границя і неперервність функцій багатьох змінних

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Границя й неперервність композиції функцій. Неперервність функцій на компакті та лінійно зв’язних множинах.

Мета:

• Дидактична: вивчити поняття складної функції (композиції функцій) багатьох змінних, властивості неперервності складної функції багатьох змінних. Розглянути властивості неперервних функцій на різних видах множин.

• Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики проектної технології.

Тип: лекція

Вид: лекція з використанням проектної технології.

Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: визначення множин двомірного евклідова простору та n-мірного евклідова простору (відкритої, замкненої, обмеженої, компакта), визначення функції двох змінних, визначення границі функції в точці, визначення неперервної функції в точці та на множині, властивості границі функції двох змінних в точці.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Границя й неперервність композиції функцій. Неперервність функцій на компакті та лінійно зв’язних множинах.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні методи дослідження функцій багатьох змінних для подальшого їх застосування як при розв’язанні математичних, так і прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 30.

Тема: Границя й неперервність композиції функцій. Неперервність функцій на компакті та лінійно зв’язних множинах.»

План лекції № 30.

1. Границя та неперервність композиції функцій багатьох змінних.

2. Неперервність функцій багатьох змінних на множинах.

Нехай на множині Х задана система числових функцій . Ця система кожній точці х ставить у відповідність точку , тобто задає відображення множини Х в R.Позначимо це відображення через та будемо називати функції його координатними функціями.

Визначення 1. Нехай х - скінчена чи нескінчено віддалена точка доторкання числової множини Х. Будемо говорити, що точка є границею відображення при а писати , якщо для кожної функції відображення ƒ має місце .

Якщо х - точка числової множини Х та при існує границя , то відображення ƒ називається неперервним в точці х.

Теорема 1. Якщо має місце композиція g(ƒ(х)) на множині Х, та існують границі , , , то існує й границя . Об’єднуючи формули, будемо мати =. Ця формула називається формулою заміни змінної для границь функцій.

Наслідки. Якщо відображення ƒ є неперервним в точці х, а функція g неперервна в точці , то складна функція g(ƒ) також неперервна в точці х (неперервна функція від неперервної неперервна).

Елементарні функції багатьох змінних – це функції, що отримані з основних елементарних функцій однієї змінної за допомогою чотирьох основних арифметичних операцій та композиції основних елементарних функцій.

Теорема 2. Будь-яка елементарна функція багатьох змінних неперервна на множині свого визначення.

Функція називається неперервною на будь-якій множині, якщо вона є неперервною в кожній її точці.

Теорема 3. Будь-яка неперервна на компакті функція обмежена та приймає на ньому найбільше та найменше значення.

Теорема 4. Функція, неперервна на лінійно зв’язній множині, якщо приймає будь-які два значення, приймає й будь-яке проміжуточне між ними.

Наслідок. Функція, що неперервна на замкненні лінійно зв’язної множини, приймаючи будь-які два значення, приймає й будь-яке проміжуточне між ними.

Функція (або ) називається неперервною в точці , якщо вона:

а) визначена в цій точці і деякому її околі;

б) має границю _;

в) ця границя рівна значенню функції в точці , тобто

або .

Функція, неперервна в кожній точці деякої області, називається неперервною в цій області. Точки, в яких неперервність порушується (не виконується хоча б одна з умов неперервності функції в точці), називаються точками розриву цієї функції. Точки розриву можуть утворювати цілі лінії розриву. Так, функція має лінію розриву .

Можна дати інше, рівносильне приведеному вище, визначення неперервності функції в точці. Позначимо , , .

Величини і називаються приростами аргументів і , а – повним приростом функції в точці . Функція називається неперервною в точці якщо виконується рівність , тобто повний приріст функції в цій точці прямує до нуля, коли прирости її аргументів і прямують до нуля.

Властивості функцій, неперервних в обмеженій замкненій області

Областю називається множина точок площини, що володіють властивостями відкритості і зв'язності.

Властивість відкритості: кожна точка належить їй разом з деяким околом цієї точки.

Властивість зв'язності: будь-які дві точки області можна з'єднати неперервною лінією, що цілком лежить в цій області.

Точка називається межовою точкою області , якщо в будь-якому околі її лежать як точки цієї області так і точки що їй не належать.

Сукупність межових точок області називається межею .

Область з приєднаною до неї межею називається замкнутою областю.

Область називається обмеженою, якщо всі її точки належать деякому кругу радіуса . Інакше область називається необмеженою. Прикладом необмеженої області може служити множина точок першого координатного кута, а прикладом обмеженої – окіл точки .

Теорема 10.1. Якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області, то вона в цій області:

а) обмежена, тобто існує таке число , що для всіх точок в цій області виконується нерівність ;

б) має точки, в яких приймає найменше і найбільшезначення;

в) приймає хоча б в одній точці області будь-яке чисельне значення, розміщене між і .

Теорема дається без доведення.