матан 3 курс 2013 / лекции / Границя і неперервність функцій багатьох змінних / лекция № 29
.docМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ
ЛЕКЦІЯ № 29
з теми: «Функції багатьох змінних. Визначення границі й неперервності функції багатьох змінних. Властивості границь функцій.»
Модуль КЗН-02.ПР.О.03.12 Границя і неперервність функцій багатьох змінних
Дисципліна: «Математичний аналіз»
Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики.
Протокол № ____ від _______20__ р.
Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В. |
Розробив викладач Велікодна О. В.
|
ПЛАН ЗАНЯТТЯ
Дата: курс: ІІІ
Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.
Тема: Функції багатьох змінних. Визначення границі й неперервності функції багатьох змінних. Властивості границь функцій.
Мета:
-
Дидактична: вивчити визначення функції багатьох змінних, визначити область визначення та область значень функції багатьох змінних, ознайомитись з поняттями границі та неперервності функції багатьох змінних.
-
Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.
-
Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики проектної технології.
Тип: лекція
Вид: лекція з використанням проектної технології.
Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.
Науково-методичне забезпечення:
-
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.
-
Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.
-
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.
Між предметні зв’язки:
-
Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика
-
Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.
Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.
ХІД ЗАНЯТТЯ
-
Організаційна частина:
-
відсутні;
-
підготовка до заняття;
-
перевірка д/з.
-
Актуалізація опорних знань: функції однієї змінної, визначення границі функції в точці, визначення неперервної функції в точці та на множині, властивості границі функції однієї змінної в точці.
-
Вивчення нового матеріалу:
-
Тема лекції: Функції багатьох змінних. Визначення границі й неперервності функції багатьох змінних. Властивості границь функцій.
-
Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні методи дослідження функцій багатьох змінних для подальшого їх застосування як при розв’язанні математичних, так і прикладних задач.
-
План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.
-
Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.
-
Закріплення нового матеріалу.
-
Підсумки заняття.
-
Домашнє завдання:
Конспект лекції № 29
Тема: Функції багатьох змінних. Визначення границі й неперервності функції багатьох змінних. Властивості границь функцій.
План лекції № 29.
-
Багатовимірні простори. Різні типи множин.
-
Функції багатьох змінних.
-
Визначення границі та неперервності функції багатьох змінних;
Декартова система координат на площині R² та в просторі R³. Координати точок в декартовій системі координат, лінійний простір, евклідовий простір, скалярний добуток, властивості скалярного добутку. Відстань між точками в арифметичному просторі. (повторити перелічені питання).
Визначення 1. Множина всіх впорядкованих систем n дійсних чисел, для яких визначені операції додавання та множення на число та скалярний добуток, називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором та позначається R. Його елементи називаються n-вимірним векторами, а числа - їх координатами.
Визначення 2. Множина всіх впорядкованих систем n дійсних чисел, для яких визначена формула відстані , називається точковим n-вимірним арифметичним евклідовим простором й також позначається R. Його елементи називаються точками, а числа - їх координатами. Точка О = (0, 0, …, 0) називається початком координат цього простору.
Визначення 3. Нехай та . Сукупність всіх таких точок , що , називається n-вимірним відкритим шаром радіусу ε з центром в точці х чи ε – околом точки х в просторі R та позначається U(х; ε). Отже, - ε – окіл точки х в просторі R.
Послідовністю точок простору R будемо називати відображення ƒ: N → R множини натуральних чисел N в простір R, де , m – натуральне число.
Визначення 4. Точка називається границею послідовності точок простору R, m = 1, 2, …, якщо . В цьому випадку пишуть та говорять, що послідовність збігається до точки х. Послідовність, що збігається до деякої точки простору R, називається збіжною. Для того, щоб послідовність точок простору R, m = 1, 2, … була збіжною, необхідно та достатньо, щоб вона була фундаментальною, тобто задовольняла умові Коші.
Визначення 5. Множина в n-вимірнім просторі називається обмеженою, якщо воно вміщується в деякім n-вимірнім кубі (шарі).
Визначення 6. Послідовність точок простору Rназивається обмеженою, якщо множина її значень обмежена.
З будь-якої обмеженої послідовності точок простору R можна виділити збіжну підпослідовність.
Визначення 7. Точка множини називається його внутрішньою точкою, якщо у неї існує ε – окіл, що вміщується в цій множині. Сукупність всіх внутрішніх точок даної множини називається його внутрішністю.
Визначення 8. Множина, у якої всі точки є внутрішніми, називається відкритою.
Лема 1. Сферичний окіл є відкритою множиною.
Визначення 9. Точка простору називається точкою доторкання деякої множини, якщо будь-якій її окіл вміщує хоча б одну точку цієї множини.
Визначення 10. Множина називається замкнутою, якщо вона вміщує всі свої точки доторкання.
Лема 2. Замикання всякої множини є замкнутою множиною.
Теорема 1. З будь-якої послідовності точок обмеженої замкнутої множини можна виділити збіжну до його точки підпослідовність.
Ця властивість обмежених замкнутих множин в просторі Rназивається компактністю, а сама множина - компактом. Отже, компактом називається обмежена замкнута множина.
Визначення 11. Множина , будь-які дві точки якого можна з’єднати в ній кривою, називається лінійно зв’язною множиною. Лінійно зв’язна відкрита множина називається областю.
Нехай дана множина та кожній точці ставиться дійсне число u. Тоді говорять, що на множин Х визначена числова функція . Множина Х називається областю визначення функції, х – аргумент (незалежна змінна), функція - функція n незалежних змінних.
Функція , яка може бути отримана за допомогою скінченої кількості арифметичних операцій та композицій елементарних функцій однієї змінної від змінних називається елементарною функцією n незалежних змінних.
Функція, що задана формулою – це функція, областю визначення якої є всі значення аргументу, для яких ця формула має зміст та результатом кожної операції, вказаної у формулі, є дійсне число.
Графіком функції двох змінних ƒ(х, у) = u, де (х, у) належить до множини Х називають множину всіх точок (х, у, ƒ(х, у)) простору R² .
С-рівнем (с–дійсне число) функції називається множина точок х множини Х, що задовольняє умову . С-рівні для функції двох змінних називають лініями рівня, с-рівні для функції трьох змінних – поверхнями рівня.
Нехай а є чи скінченою точкою числової осі, чи однією з точок ∞, +∞, -∞.
Визначення 12. Нехай функція ƒ задана на множині та х - скінчена чи нескінченно віддалена точка доторкання множини Х. Точка а називається границею функції ƒ в точці х, якщо для будь-якої послідовності точок множини Х, такої що , числова послідовність має своєю границею точку а, тобто .
Визначення 13. Нехай функція ƒ задана на множині та х - скінчена чи нескінченно віддалена точка доторкання множини Х. Точка а називається границею функції ƒ в точці х, якщо для будь-якого околу точки а U(а) існує такий окіл точки х, що .
.
Визначення 12 та 13 є еквівалентними.
Якщо точка х належить множині Х та , то функція називається неперервною в точці х.
Якщо число а є границею функції ƒ(х) по множині Е в точці х, то пишуть . Якщо множина х вміщує окіл точки х, окрім, можливо, самої точки х, то границя функції ƒ(х) по множині Х в точці х співпадає із звичайною границею функції ƒ(х) в цій точці. Якщо множина Х складається з точок деякої неперервної кривої Г, що проходить через точку х, то називають границею функції по кривій Г в точці х.
Границю функції двох змінних ƒ(х, у) = u в точці позначають
Властивості неперервних функцій багатьох змінних співпадають із властивостями неперервних функцій однієї змінної, окрім тих, де важливим є впорядкованість точок числової прямої (однобічні границі, неперервність монотонних функцій).
Розглянемо функцію , , яка кожній точці М множини G (площини або простору) ставить у відповідність деяке число . Якщо G – множина точок координатної площини, то замість пишуть , де х,у – координати точки , і кажуть, що задано функцію двох змінних , .
Отже, функцією двох змінних , , називається функція, яка кожній парі чисел ставить у відповідність деяке число .
Наприклад,
, функція двох змінних х і у, визначена для будь-яких значень змінних х, у, тобто на всій координатній площині R2. Вона кожній точці ставить у відповідність число
Аналогічно означається функція трьох і більшого числа змінних. Наприклад,
,
Функція - функція трьох змінних х, у і z, визначена для всіх значень х, у, z, які задовольняють нерівності і . Вона кожній точці (х, у, z) із зазначеної множини ставить у відповідність число .
Функція - функція чотирьох змінних х, у, z і t, визначена для будь-яких значень змінних х, у, z,t. Можна вважати, що х, у, z- це координати точки простору, а t- час. Функція кожній четвірці чисел (х, у, z,t) ставить у відповідність число .
Неперервність функцій багатьох змінних. Функція , , називається неперервною в точці , якщо для будь-якої послідовності точок такої, що , при , послідовність .
Функція називається неперервною на множині G, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.
Приклад 1. Показати, що функція
неперервна в будь-якій точці своєї області визначення.
Розв’язання. Задана функція в усіх точках , крім точок, в яких . Нехай - деяка точка з області визначення функції , тобто . Тепер для будь-якої послідовності точок такої, що і , при , маємо
.
Отже, задана функція перервна в довільні точці з області визначення.
Приклад 2. Показати, що функція трьох змінних
неперервна в будь-якій точці з області визначення.
Розв’язання. Задана функція визначена на множині G точок , які задовольняють нерівності .
Нехай . Тоді для будь-якої послідовності точок такої, що , , при , маємо
що й треба було довести.
Для функції багатьох змінних, як і для функції однієї змінної, доводять такі твердження:
сума і добуток двох неперервних на множині G функцій є неперервними на G функціями;
відношення двох неперервних на G функцій є неперервною функцією в усіх точках множини G, в яких знаменник не перетворюється в нуль.
Границі функції багатьох змінних. Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім, може, самої точки . Число А називається границею функції при , , якщо для будь-якої послідовності точок , таких що , при і ≠, послідовність , , збігається до числа А. У цьому разі пишуть
або при , .
Оскільки границя функції багатьох змінних зводиться до границі числової послідовності, то для функцій багатьох змінних справедливі теореми про границю суми, різниці, добутку і частки двох функцій, аналогічні відповідним теоремам для функції однієї змінної.
Приклад 1. Знайти границю функції при , .
Розв’язання. Задана функція визначена в усіх точках площини, крім точки (0; 0) і .
Нехай , , - деяка послідовність точок площини така, що і , при . Тоді при
Отже, при , .
Приклад 2. Довести, що функція не має границі при , .
Розв’язання. Розглянемо послідовності і , . очевидно, що , при , проте не має границі при . Отже, задана функція не має границі при , .
З означення границі функції в точці випливає, що коли при , то функція неперервна в точці ; і навпаки, якщо функція визначена в деякому околі точки , неперервна в точці , то