Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
49
Добавлен:
13.04.2015
Размер:
296.45 Кб
Скачать

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 18

з теми: «Невласні інтеграли від невід'ємних функцій, критерій Коші збіжності інтегралів. Абсолютна збіжність інтегралів. Дослідження інтегралів на збіжність.»

Модуль кзн-02. Пр.О.03.09 Невласні інтеграли

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено

на засіданні циклової

комісії інформаційних технологій та прикладної математики.

Протокол № ____ від _______20__ р.

Голова циклової

комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач

Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Невласні інтеграли від невід'ємних функцій, критерій Коші збіжності інтегралів. Абсолютна збіжність інтегралів. Дослідження інтегралів на збіжність.

Мета:

  • Дидактична: навчитись досліджувати на абсолютну та умовну збіжність невласні інтеграли, володіти методами інтегрування та дослідження невласних інтегралів на збіжність.

  • Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

  • Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики пошукової технології.

Тип: лекція

Вид: лекція – діалог.

Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.

Науково-методичне забезпечення:

  1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

  2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

  3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

  4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

  • Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

  • Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

  1. Організаційна частина:

  1. відсутні;

  2. підготовка до заняття;

  3. перевірка д/з.

  1. Актуалізація опорних знань: визначення первісної, визначення невизначеного інтегралу, таблиця інтегралів основних елементарних функцій, класи функцій, що інтегруються, методи інтегрування. Визначення границі функції в точці, властивості границі функції в точці. Визначення інтегралу Рімана, методи інтегрування у визначеному інтегралі, формула Ньютона-Лейбніца, геометричний зміст визначеного інтегралу. Необхідні та достатні умови інтегрування. Властивості функцій, що інтегруються.

  2. Вивчення нового матеріалу:

  • Тема лекції: Невласні інтеграли від невід'ємних функцій, критерій Коші збіжності інтегралів.

  • Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні методи дослідження невласних інтегралів для подальшого їх застосування як при розв’язанні математичних, так і прикладних задач.

  • План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

  1. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

  2. Закріплення нового матеріалу.

  3. Підсумки заняття.

  4. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 18.

Тема: Невласні інтеграли від невід'ємних функцій, критерій Коші збіжності інтегралів. Абсолютна збіжність інтегралів. Дослідження інтегралів на збіжність.

План лекції № 18.

  1. Невласні інтеграли від невід'ємних функцій.

  2. Критерій Коші збіжності інтегралів.

  3. Абсолютно збіжні інтеграли.

  4. Ознаки збіжності Дирихлє та Абеля.

  1. Встановимо ознаки збіжності для невласних інтегралів від невід’ємних функцій.

Лемма. Якщо функція ƒ невід’ємна на полу інтервалі [а, b), то для збіжності інтеграла необхідно та достатньо, щоб множина всіх інтегралів, ε[a, b), була обмежена зверху, тобто існувала б така стала С>0, що для всіх ε[a, b) виконувалась би нерівність.

Теорема.(ознака зрівняння) Нехай 0 ≤ g(х) ≤ ƒ(х), х [a, b). Тоді: 1) якщозбігається, то збігається й інтеграл; 2) якщо інтегралрозбігається, то розбігається й інтеграл.

Наслідки. Нехай функції g(х) та ƒ(х) невід’ємні на полу інтервалі [а, b), g(х) ≠ 0 при всіх х [a, b) та існує скінчена чи нескінчена границя. Тоді:

  1. якщо інтеграл збігається та 0 ≤ k < +∞, то й інтегралзбігається;

  2. якщо інтеграл розбігається та 0 < k ≤ +∞, то й інтегралрозбігається.

Зокрема, якщо , то інтегралитаодночасно збігаються та розбігаються.

2. Теорема.(критерій Коші збіжності інтегралів) Невласний інтеграл збігається тоді та тільки тоді, коли.

  1. Нехай функція ƒ визначена на скінченому чи нескінченому полу інтервалі [a, b), - ∞ < a < b ≤ + ∞, та для будь – якого числа ε [a, b), інтегрована за Ріманом на відрізку [a, ε].

Визначення 1. Невласний інтеграл називається абсолютно збіжним, якщо збігається інтеграл.

Теорема.(критерій Коші абсолютної збіжності інтеграла) Для того, щоб невласний інтеграл абсолютно збігаєшся, необхідно та достатньо, щоб.

Теорема. Якщо невласний інтеграл абсолютно збігається, то він і просто збігається. (зворотне твердження не вірне).

  1. Теорема.(ознака Дирихлє) Якщо на полу осі х ≥ а:

1) функція ƒ неперервна та має обмежену первісну,

2) функція g неперервно диференційована та спадає, рухаючись до 0 при х → +∞, то інтеграл збігається.

Теорема.(ознака Абеля) Якщо на полу осі х ≥ а:

1) функція ƒ неперервна та інтеграл збігається,

2) функція g неперервно диференційована, обмежена та монотонна, то інтеграл збігається.

Визначений інтеграл , де проміжок інтегрування скінчений, а підінтегральна функція неперервна на відрізку , називають його власним інтегралом.

Розглянемо так звані невласні інтеграли, тобто визначений інтеграл від неперервної функції, але з нескінченним проміжком інтегрування або визначений інтеграл з скінченим проміжком інтегрування, але від функції, що має на ньому нескінченний розрив.

Соседние файлы в папке Невласні інтеграли