матан 3 курс 2013 / лекции / Функціональні послідовності і ряди / лекция № 25

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 25

з теми: «Ознаки рівномірної збіжності функціональних послідовностей і рядів.»

Модуль КЗН-02.ПР.О.03.11 Функціональні послідовності і ряди

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Ознаки рівномірної збіжності функціональних послідовностей і рядів.

Мета:

• Дидактична: вивчити необхідні умови, ознаки та критерії рівномірної збіжності функціональних послідовностей та рядів на множині.

• Виховна: виховувати професійно спрямовану особистість, здатну чітко та логічно висловлювати та доводити свої думки.

• Методична: вдосконалювати методику проведення лекції з використанням методики проектної технології.

Тип: лекція

Вид: лекція з використанням проектної технології.

Методи та форми проведення заняття: мовні, пояснювально-ілюстративні, проблемно-пошукові, наочні.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань: визначення функціональної послідовності, визначення збіжної функціональної послідовності, визначення граничної функції, визначення рівномірно збіжної функціональної послідовності.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Ознаки рівномірної збіжності функціональних послідовностей і рядів.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні методи дослідження функціональних рядів для подальшого їх застосування як при розв’язанні математичних, так і прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 25.

Тема: Ознаки рівномірної збіжності функціональних послідовностей і рядів.

План лекції № 25.

1. Рівномірна збіжність функціональних рядів.

2. Ознаки збіжності функціональних рядів.

3. Властивості рівномірно збіжних послідовностей та рядів.

Ряд члени якого є функціями аргументу , називається функціональним. Надаючи аргументові конкретні числові значення, ми кожен раз будемо отримувати різні числові ряди, які можуть бути або збіжними, або розбіжними.

Сукупність числових значень аргументу, при яких функціональний ряд збігається, називається областю збіжності функціонального ряду.

Визначення 1. Ряд називається рівномірно збіжним на множині Х, якщо на Х рівномірно збігається послідовність його часткових сум. Тобто, якщо , , то рівномірна збіжність ряду означає, що .

Також рівномірна збіжність ряду на множині Х означає рівномірну збіжність на Х до 0 його залишків , . Отже, в силу леми отримаємо, що для того, щоб ряд рівномірно збігався на множині Х, необхідно та достатньо, щоб на множині Х.

Приклад. Функціональний ряд збігається при всіх значеннях з інтервалу (-1; 1). Для кожного значення з цього інтервалу сума ряду дорівнює (як сума нескінчено спадної геометричної прогресії із знаменником ). З прикладу видно, що сума функціонального ряду також є функцією аргументу . Як і у випадку числових рядів ; .

Теорема 1 (необхідна умова рівномірної збіжності ряду) Якщо ряд рівномірно збігається на множині Х, то послідовність його членів рівномірно дістає до 0 на цій множині., тобто .

Теорема 2 (критерій Коші рівномірної збіжності ряду) Для того, щоб ряд рівномірно збігався на множині Х, необхідно та достатньо, щоб для будь-якого існував такий номер , що для всіх номерів , всіх р = 0, 1, 2, … та для всіх точок мала місце нерівність .

Лема. Якщо ряд рівномірно збігається на множині Х, а функція ƒ обмежена на цій множині, то ряд також рівномірно збігається на Х.

Теорема 3 (ознака Вейерштрасса рівномірної збіжності функціонального ряду). Якщо числовий ряд збігається та для всіх та всіх n = 1, 2, … виконується нерівність , то ряд абсолютно та рівномірно збігається на множині Х.

Теорема 4 (ознака Дирихлє рівномірної збіжності функціонального ряду.)

Ряд збігається рівномірно на множині Х, якщо виконуються наступні умови:

1. послідовність часткових сум ряду обмежена на множині Х, тобто

2. послідовність монотонна при кожному та рівномірно дістає до 0, тобто

Теорема 5 (ознака Абеля рівномірної збіжності функціонального ряду). Ряд збігається рівномірно на множині Х, якщо виконуються наступні умови:

1. ряд рівномірно збігається на множині Х;

2. послідовність обмежена та монотонна на множині Х.

Властивості рівномірно збіжних послідовностей та рядів.

Теорема 6 (неперервність суми ряду). Якщо функції неперервні в точці та ряд рівномірно збігається на Х, то його сума також неперервна в точці .

Теорема 7 (неперервність граничної функції послідовності). Якщо послідовність рівномірно збігається на Х до функції ƒ та всі функції неперервні в точці , то функція ƒ також неперервна в точці .

Теорема 8 (почленне інтегрування збіжного ряду). Нехай функції , неперервні на відрізку [a; b] та ряд рівномірно збігається на цьому відрізку. Тоді, яка б ні була точка, ряд також рівномірно збігається на відрізку [a; b] й = . (рівність означає, що в умовах теореми ряд можна почленно інтегрувати).

Теорема 9. Якщо послідовність неперервних на відрізку [a; b] функції , рівномірно збігається на цьому відрізку до функції ƒ(х), то, яка б ні була точка, послідовність рівномірно збігається на відрізку [a; b] до функції . Внаслідок теореми маємо: =, тобто в даному випадку можна переходити до границі під знаком інтегралу (границя інтегралів дорівнює інтегралу від границі).

Теорема 10 (почленне диференціювання збіжного ряду). Нехай функції , неперервно диференційовані на відрізку [a; b] та ряд з їх похідних рівномірно збігається на цьому відрізку. Тоді, якщо ряд збігається хоча б в одній точці , то він збігається рівномірно на всьому відрізку [a; b], його сума є неперервно диференційованою функцією та . Тобто, в умовах теореми, ряд можна почленно диференціювати.

Теорема 11(почленне диференціювання членів збіжної послідовності). Якщо послідовність неперервно диференційованих на відрізку [a; b] функції , збігається в деякій точці , а послідовність похідних рівномірно збігається на цьому відрізку до функції φ(х), то й послідовність збігається рівномірно на відрізку до неперервно диференційованої функції ƒ та ƒ´=φ.