сборникДУ- ЕП

ВАРИАНТ 19

y2 = x(2xy'+ y) y'+ 2y = (1+ 2)e4x

		x					x
	y'=		y3 + 1
		x	+ x + 1
	(x + y				)y'= y
				y

y3dx + (3xy2 + SIN 2y)dy = 0

ВАРИАНТ 20

y' x2 = y(x + y) x

xdy = (COS LN x − y)dx

(x2 + 4)dy −

xdx

= 0

y

y2 + 1

(COS x + y3 )dx + (3xy2 + COS y)dy = 0

e2y y'=

(ey + x)2

x

ВАРИАНТ 21

2y' x =

y

2

+ y

x

y'= (x + 2y)ctgx

x(x + LN x)dy = ( y + 1)dx x + 1

3x2 y + (x3 − ey )y'= 0 2yy'−y2 + x + 1 = 0

ВАРИАНТ 22

2yy'= COS( y2 ) + y2 + x

xx

	y'LN y =			y2		LN x
				x
	y'−		2y		= x
							y
		x	2 −1

2xLN ydx + (y COS y + x2 )dy = 0 y

y'= (x + y + 1)2

ВАРИАНТ 23

	y'+			y					= xex
			e− x +
						1
	xy'− y =						y2 + 2xy
	y	dx −
					1+ LN xdy = 0
	x
	x2 − SIN y
									y'+1= 0
	SIN x + 2xy
2SIN y + xCOS yy'= 1
ВАРИАНТ 24
(y'− y2 )x3 = y3x2
	y2 y'−			y3			= LN x
				x

2x + 1(3y + y2)dx − dy = 0 x + 1

(2xy + 1)y'+ y2 + 1 = 0

yx

(y'− y)SIN y + yy'COS y = 1

31

ВАРИАНТ 25

y

xy'− y =

LN2 y + 1x

(x2 + 1)y'= (2y + 1)x + 1 x

y'=	x + 1
ey + y2
				2y
ydx + x +						dy = 0
				2
		y
					+ 1

y'(x + SIN y) = 2tgy

ВАРИАНТ 26

y'− ytgx =

x

SIN3 x

(ey + e2y )dx + xdy = 0

x

y +

dx + xdy = 0

x2 +

1

y

y

x − y COS

dx + xCOS

dy = 0

x

x

x + yy'= 1+

x

x2 + y2

ВАРИАНТ 27

y'= y LN(3x2 + 4x)

y'+ y =

x

ex + 1

xy'=

y2 + 4xy + y

2ydx + (2x +

1

)dy = 0

y

32

+

y'

=

y

y

+ y

2

2x

ВАРИАНТ 28

y'=

y(y + 3x2 )

x3

y'−

y

= xSIN LN x

x

y'= tg(x + y)

xy'

+ 2xy LN x + 1= 0

y

2x

x2

y2ex +

+

2yex −

y'= 0

2

y

y

ВАРИАНТ 29

4xy'=

y(y +

x)

x

xy'= y + x2 LN(x2 + x) y'= x3 COS(x2 + 1)

y

y2 dx + 2yLN xdy = 0 x

x

x − yy'−1= x2 − y2

	ВАРИАНТ 30
	2x3 y'= y2
	y'=	y2	−	y
		xLN x − x		xLN x

y2 y'= xex

ex + 1

2xydy + (4x3 + y2 )dx = 0

y'SIN 2y − SIN y = x

ВАРИАНТ 31

y' x3 = y2 − 2x2 y yy'= (2x + 2)ex2 +2x

y2

x2 + 1dx + 2yarctgxdy = 0

y'= y(x2 y + 4)

y'(LN y + x) = y(LN y − x)

ВАРИАНТ 32

2y' = yx − 1

	y			x
	y'+	y	=	COS x
		x		SIN3 x

y' x2 = y2x3 + y

(y'−1)ey = x + 1

2xy3 + x + (3x2 y2 + e2y )y'= 0

ВАРИАНТ 33

x2(y2x − y') = y

y'(SIN x + COS x) = 1+ COS y

yy'−

ex

y2 = 1

ex + 1

x2

dy = 0

2x

ydx +

2 y

2x(x + yy') =

(x2

+ y2

+ x)2

x2 + y2

ВАРИАНТ 34
	y		= xy
(xy'− y) x + yctg
	x
y'= x(x2 + 2y)

ey (dx + xdy) = 2xdx

x(y2 + y + 1)dx − COS2 xdy = 0

2yy'= 1−	(2x − y2 )2
	(x − y2 )x

ВАРИАНТ 35

y'+ yCOS x = y3 COS x,

y(0) = 4

yy'(2x − e2y ) = e2y y'−1 yy'= 4x + 3y − 2

	2xy'=	y2			− 5y
		x x

2xCOS y + (3y2 − x2 SIN y)y'= 0

ВАРИАНТ 36

y'+		2y		= xy
						y
	x	2 − 1
y'= (					+ 1)2
			x − y

x + y LN y + (x + xLN y − y2 )y'= 0

2xyy'=	y2			+ 3				− y2
	y	2		−		3
						2				y	2
yy'= x COS					y				+
						2				x
			x

33

Решение ОДУ высших порядков. Случаи понижения порядка

Самостоятельная работа № 3

ВАРИАНТ 1

y''= COS2 2x

y''+4y'= COS2x y''− y'tgx = 1

y''+	2		y'2 = 0
	1− y
y'''+ y''+ y'+ y = 0
ВАРИАНТ 2
y''=		1
		COS2 x

(y'2 +2y'+1)SIN x = y'' y''COS(y') = 1

y''= y'ey y''+4y'+3y = 0

ВАРИАНТ 3

	y''=	1	+	1
		COS2 x		x

(y''−LN x)x = y' y'' y − y'2 = y2 y' y + 2y''= 0

ВАРИАНТ 4

y''(x2 +1)= x

xy''= (1− xtgx)(y'+2) xy''− y'= x3ex2

y"(1+ y) = y'2 + y'

2y'''+2y''+4y'+4y = 0

ВАРИАНТ 5

y''= (x +1)COS3x y'' y'= e2x+1

y''= y'+2 COS(2x +1) y''= 2 − y

y''+6y'+5y = 0

ВАРИАНТ 6

y''1− x2 = 1

(x2 + 4)y''− y' x = x y''= y'SIN3x

y'' y3 = −0,5

y'''−6y''−6y'−7y = 0

ВАРИАНТ 7

y''(x2 + 2)= 1

(x2 − 3)y'' = x

2y'+4

y'' y'= y'2 +3 2yy''= y'2

y'''+8y''+13y'+6y = 0

ВАРИАНТ 8

	y''=	SIN x	+	1
		COS2 x		x

(y''−xLN x)x = y'

y'' x = 3y'+2x y' 2y'+x

34

y''COS2 y − y'= 0 y − 8y''= 0

ВАРИАНТ 9

2 y''= x2

x(y''+1) + y'= 0 y''− y'= (x + 2)ex y''(1+ y) = 5y'2 y'''+2y = 0

ВАРИАНТ 10

y''= LN x x2 y''= y'2

y''+ y'tgx = (x −1)COS2 x y''(2y + 3) − 2y'2 = 0 2y''−3y'+ y = 0

ВАРИАНТ 11

x +1 y''= e2x

(1+ x2)y''= 2xy' y''− y'2 = 4 y''(2y +1) = y'2

y'''−7y''+ y'−7y = 0

ВАРИАНТ 12

y''= SIN2 xCOS x

y''ctgx + y'= 2 y''(y2 +1) = yy'2

1+ y'2 = yy'' y''−7y'+10y = 0

ВАРИАНТ 13

y''=		2	+ πx
		2 2x
	SIN		2
y''− y'LN y = y'

2y' y''x − x2 = 3y'2 y'' y + y'3 = 0 y'''−3y''+2y = 0

ВАРИАНТ 14

y'''= COS2 3x

y''−x LN x = y' x

y'' x = y'(1+ 2x2 y)

y''= y' y2 + y'2 y

y + y'= 0

ВАРИАНТ 15

y''= COS x + e−x 2xy'2+ y''= 0

y''+(tgx − 1)(y'+1) = 0 x

y''(y −1)2 = yy'3

3y''−2y'+ y = 0

ВАРИАНТ 16

(y''−ex )x2 = 1 xy''+ y'= LN x

35

xy''− y'= 2x2ex y''y = y' y''+4y'+4y = 0

ВАРИАНТ 17

(y''−SIN 2x)SIN2 x = COS x

xy''= y'LN y' x

y''− 2y' = x3 COS x x

y''= y'SIN y y''+2y'+4y = 0

ВАРИАНТ 18 y''(x2 − x)= 1

y''= y'(3y'−2x)

2y' x − x2 y''−2xy = x2 y' y''− y'SIN y = 0

y'''−3y''+2y = 0

ВАРИАНТ 19

x +1 y''= x2 + 2x

y'(3y'−2xy'') = x2 y''= −(y + xy')y'2 y''−2(y +1)y'= 0 y + 2y''= 0

ВАРИАНТ 20

y''= SIN x

y''= (y'+1)tgx

(x −1)(y''−x2 + x) = y' y''(1+ y2)2 = yy'3 y'''+27y = 0

Пример 4. Решить y"'−7y"+16y'−10y = x2 − e3x SIN x.

Решение. Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами третьего порядка.

1) Соответствующее однородное уравнение: y"'−7y"+16y'−10y = 0.

λ3 − 7λ2 +16λ −10 = 0,- характеристическое уравнение.

λ1,2 = 3 ± i, λ3 = 1 - корни характеристического уравнения. Следова-

тельно, решение однородного уравнение имеет вид: yoo = C1ex + e3x (C2 COS x + C3 SIN x).

2) Подберем частное решение исходного уравнения yчн = y1 + y2 по виду правой части, используя принцип суперпозиции.

f	(x)= x2 − e3x SIN x = f						1	(x)+ f	2	(x),
где f	1	(x)= x2	,	f	2	(x)= −e3x		SIN x = e3x (0 COS x − SIN x)
36

2.1) Частное решение y1, соответствующее правой части f1(x) имеет вид:

y1 = (Ax2 + Bx + C)e0x = Ax2 + Bx + C.

Подставим в уравнение и для нахождения неизвестных A,B,C используем метод неопределенных коэффициентов

					1
−10A = 1,			A = −					,
					10
32A−10B
	= 0,	~		32A					8
			B =	10				= −	25	,
−14A+ 16B −10C = 0,				−14A+16B = −
			C =								93	.
								10		250

Подставим в y : y = −																		1			x2				−	8				x −			93		.
											1		1				10							25							250
2.2) Частное решение y2 , соответствующее правой части f2 (x), имеет
вид:		= e3x (DCOS x + ESIN x) x = e3x (DxCOS x + ExSIN x)
y	2																																									- домножаем на
«х», т. к. λ1,2 = 3 ± i корни характеристического уравнения кратности «1».
Подставим								y		2	в уравнение y′′′ − 7y																				′′ +16y					′ −10y				2	=	f	2	(x)
																								2							2					2
y	' = e3x[(3Dx + D + Ex)COS x + (3Ex − Dx + E)SIN x],
	2	= e3x[(8Dx + 6Ex + 6D + 8E)COS x + (8Ex − 6Dx + 6E − 2D)SIN x],
y	''
	2	= e3x[(18Dx + 26Ex + 24D +18E)COS x + (18Ex − 26Dx −18D + 24E)SIN x]
y	'''
	2
По методу неопределенных коэффициентов получим систему
− 2D + 4E = 0,																			1										1
													~ E =										,D =								.
− 4D − 2E = −1,																			10										5
Подставим коэффициенты в y2:
			3x		x									x											xe3x					(2COS x + SIN x).
y2 = e								COS x +								SIN x =
													10											10
					5
y		= −		1			x2 −					8		x −			93				+		xe3x					(2COS x + SIN x)
	чн
			10								25						250							10
3) Общее решение исходного неоднородного уравнения есть сумма
общего однородного и частного неоднородного
yон = yоо + yчн =
= C ex		+ e3x (C							COS x + C								SIN x)−								1		x2 −					8		x −			93	+	xe3x			(2COS x + SIN x).
								2							3
1																								10							25					250				10
																																												37

Пример 5. По известным корням характеристического уравнения и виду правой части записать общее решение однородного уравнения L[y] = 0 и вид частного решения с неопределенными коэффициентами неоднородного уравнения

λ1−3 = 1, λ4−7 = ±2i,

L[y] = (x +1)COS x − SIN 2x + x ex .

3

Решение. По числу корней ясно, что порядок уравнения равен 7.

1) Выпишем общее решение однородного уравнения, учитывая кратности корней характеристического уравнения

yоо(x) = (c1x2 + c2x + c3)ex + (c4x + c5)COS 2x + (c6x + c7)SIN 2x - а) общее решение содержит 7 констант,

б) ex умножить на многочлен порядка на единицу меньше кратности соответствующего корня λ =1,

в) COS 2x, SIN 2x умножить на многочлены первого порядка (на единицу меньше кратности комплексно-сопряженной пары λ = ±2i .

2) Распишем правую часть ОДУ в виде суммы f = f1 + f2 + f3 , где

f = (x +1)COS x,

f

= −SIN 2x,

f

=

xex

. Частное решение будем подби-

2

3

1

3

рать, используя принцип суперпозиции решений yчн = y1 + y2 + y3

Правой части

Соответствует частное решение

f1 = (x +1)COS x + 0 SIN x

y1 = (A1x + B1)COS x + (A2x + B2)SIN x

f2 = −SIN 2x + 0 COS 2x

y

2

= (A SIN 2x + B

COS2x)x2 - ум-

3

3

ножается на

x2, т. к. ± 2i

совпадает с

комплексно-сопряженной парой корней

кратности «2»

f3 =

xex

y

= (Ax + B)exx3

- умножается на

3

3

x3 ,

т.к. λ =1 корень

характеристиче-

ского уравнения кратности «3»

Ответ: y

оо

(x) = (c x2

+ c x + c )ex

+ (c x + c )COS 2x + (c x + c )SIN 2x,

1

2

3

4

5

6

7

yчн = y1 + y2 + y3 =

= (A x + B )COS x + (A x + B )SIN x + (A SIN 2x + B COS 2x)x2 + (Ax + B)exx3.

1

1

2

2

3

3

38

Зачетные задания

Зачетные задания № 1

Решить ОДУ первого порядка.

1)x(ey − y') = 2

2)(x2 y2 + 1)(y + xy') = x2 + 1

3)xy'= x2 − y2 + y

4)(2x2 yLN y − x)y'= y

5)xy'= x2 − y2 + y

6)(x2 y2 + x)(y + xy') = 1

7)yCOS xdx + (2y − SIN x)dy = 0

8)xy'+1= e2x− y

9)y'− 2y = 2 y(1− ) x x2

10)COS y = 1+ y'xSIN y

11)(y'−xy)(x2 − 1) = xy

12)yy'= 4x + 3y − 2

13)y'−4x = y − x2

14)(x + y)2 y'= 1

15)3y2 y'+16x = 2xy3

16)y'x3 SIN y = xy'−2y

17)(x2 + y2)y'= 2xy

18)yy'= 4x2 + 3y y

24

19)y'x2 = 3y3 x2 − y3

3x2

20) y'= x3 + y +1

21) COS y = 1+ y'xSIN y

22) y'=

y2 − x

2y(x + 1)

23)2x + x2 + y = y'

24)ySIN xdx + (2y + COS x)dy = 0

25)x2 y'−y = 1+ x(y'−2y)

26)2x + x2 + y = y'

27)xy'= (1 − LN y)y

x

28)(x2 + y − 2x)dx = dy

29)y'2 +2(x −1)y'−2y = 0

30)2x + 2y'= (x + 2y +x2)2 x xy

31)2y'− y = x2 −1

32)y'= y2 − 2 x2

33)xy'−2x2 y = 4y

34)2y + (x2 y + 1)xy'= 0

35)x3 (y'−x) = y2

36)2x(x2 + y)dx = dy

37)2y'+x = 4y

38)(x +1)(y'+ y2) = −y

39)y − xy' = 2 x + yy'

40)xy'−2x2 y = 4y

41)xy'= 2y COS x − 2y

39

2

2

x

4

42)

y'= y

+

48)

y' x − y =

x2

x2 + y2

43)

(y + 2)dx = (2x + y − 4)dy

y −

x

= 2

44)

x2 y'+xy + 1= 0

49)

y'

y + x y

2x2 y'= y3 + xy

45)

2y2

y'= 4

−

46)

(xy + 1)(y + xy') = x2

50)

y

2

xy'

x y

47)

tgy +

= x2

COS2

y

Зачетные задания № 2.

По известным корням характеристического уравнения и правой части определить вид общего решения соответствующего однородного линейного уравнения и частного решения неоднородного

1)λ1 = −1, λ2 = 1, λ3,4 = ±2i, λ5,6 = 1± 2i, λ7 = 0, λ8 = 7

L[y] = ex−1(x + 2)(COS2x − 4)

2)λ1,2 = 1, λ3,4 = −1, λ5−8 = 1± i

L[y] = 4x +1+ e−x(x2 − 4xSIN x)

3) λ1,2 = 0, λ3−6 = ±2i , λ7,8 = 1, λ9,10 = ±i

L[y] = (x +1)COS2 x − SIN 2x + ex+1(x2 + x +1)

4)λ1 = −2, λ2−5 = ±i, λ6,7 = 0, λ8,9 = 1± i

L[y] = (x2 + ex )(1+ SIN x) − e1−2x

5)λ1−3 = 0, λ4,5 = 1, λ6−9 = 1± 2i

L[y] = ex+2(x2 + 4)(1+ COS2x) − x4

4

6)k1,2 = 1, k3 = −1, k4,5 = 2 ± 2i, k6,7 = 2

L[y] = 1ex+1 + (x2 − x)(e2x + COS2x)

2

7)k1−4 = 1± i , k5−8 = 1, k9,10 = ±i

L[y] = ex COS x(x2 + 1) + (x + SIN x)(x − 1)

40