Fizika / 4M

Изучение законов динамики

вращательного движения твердого тела

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

Определить момент инерции цилиндров с помощью маятника Обербека.

Приборы и принадлежности

1. Маятника Обербека.

2. Набор грузов.

3. Секундомер.

4. Масштабная линейка; штангенциркуль.

5. Четыре одинаковых по массе, форме и размерам цилиндра.

Краткая теория.

1.1. Момент инерции твердых тел

Мерой инерции каждой материальной точки вращающегося твердого тела является момент инерции J_i. Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси равен произведению массы этой точки на квадрат расстояния r_i от точки до оси вращения:

,

Момент инерции твердого тела произвольной геометрической формы относительно неподвижной оси равен алгебраической сумме моментов инерций всех его точек относительно этой оси:

,

Теорема Штейнера: «Есль ось вращения, проходящую через центр массы тела, переместить параллельно самой себе на расстояние b, то момент инерции относительно этой оси будет равен алгебраической сумме момента инерции тола J₀, относительно центральной оси вращения, и произведению массы тела m на квадрат расстояния b между осями», то есть

. (1.5)

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

,

где F – сила приложенная к телу массой m; a – линейное ускорение тела.

Если к твердому телу массой m в точке А (рис. 5) приложить силу F, то в результате жесткой связи вежду всеми материальными точками тела все они получат угловое ускорение ε и соответственные линейные ускорения, как если бы на каждую точку действовала сила F₁,…,F_n. Для каждой материальной точки можно записать:

,

Где ,

поэтому ,

где m_i – масса i-ой точки; ε - угловое ускорение; r_i – ее расстояние до оси вращения.

Умножая левую и правую части уравнения на r_i, получают

,

где F_ir_i=M_i – момент силы – это произведение силы F_i на ее плечо r_i.

Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения «ОО» (рис. 5) до линии действия силы F.

- момент инерции i-ой материальной точки.

Выражение можно записать так:

.

Просуммируем левую и правую части (1.9) по всем точкам тела:

.

Обозначим через M, а через J_i, тогда

.

– основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Величина - геометрическая сумма всех моментов сил, то есть момент силы F, сообщающий всем точкам тела ускорение ε. - алгебраическая сумма моментов инерции всех точек тела. Закон формулируется так: «Момент силы, действующий на вращающееся тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение».

В замкнутой системе вращающихся тел выполняется закон сохранения момента импульса: «Изменение момента импульса вращающихся тел в замкнутой системе равен нулю, то есть или L₂-L₁=0», где L₁ – векторная сумма моментов импульса тел до взаимодействия; L₂ - векторная сумма моментов импульса тел после взаимодействия.

Поступательно движущееся тело обладает кинетической энергией

,

где m – масса тела или мера инертности поступательно движущегося тела, υ² – квадрат его линейной скорости.

Движение вращающегося тела характеризуется угловой скоростью ω, а мерой его инертности является момент инерции J. Связь линейной и угловой скоростей . Записав формулу (1.14) для i-ой точки, вращающейся вокруг оси ОО, получим

,

,

За время dt вращающееся тело совершит работу dA, равную произведению момента силы М на угол поворота dφ, сделанный радиусом этого тела, то есть

.

Работу совершенную телом за единицу времени, называют мощностью вращающегося тела N, то есть

, ,

Поэтому

.