MatAn
.docx1. Диференціальні рівняння І порядку з відокремленими та відокремлюваними змінними та звідні до них.
2. Диференціальні рівняння І порядку однорідні відносно мінних.
3. Лінійні диференціальні рівняння І порядку. Метод Бернуллі.
4. Диференціальні рівняння І порядку Бернуллі. Методи розв’язання.
5. Диференціальні рівняння І порядку у повних диференціалах.
6. Диференціальні рівняння вищих порядків, що допускають зниження порядку.
7. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку. Властивості розв’язків. Структура загального розв’язку.
8. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера (характеристичних рівнянь).
9. ЛОДР ІІ порядку. ФСР для всіх типів коренів характеристичного рівняння. Доведення лінійної незалежності цих розв’язків.
10. ЛОДР ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами. Загальний розв’язок. Випадок комплексно-спряжених коренів характеристичного рівняння з доведенням.
11. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Формування фундаментальної системи розв’язків та загального розв’язку.
12. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння n-го порядку. Властивості розв’язків. Структура загального розв’язку.
13. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Знаходження частинного розв’язку за виглядом правої частини рівняння (перший тип правої частини).
14. Числові ряди. Основні поняття. Необхідна ознака збіжності. Достатня ознака розбіжності.
15. Ознаки збіжності числових рядів, засновані на порівнянні рядів.
16. Ознака Даламбера та радикальна ознака Коші збіжності числових рядів.
17. Інтегральна ознака збіжності числового ряду.
18. Знакопочережні ряди. Ознака Лейбніца. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність.
19. Функціональні ряди. Основні поняття. Знаходження області збіжності.
20. Степеневі ряди. Теорема Абеля про збіжність степеневого ряду. Знаходження радіусу збіжності та області збіжності степеневого ряду.
21. Ряд Тейлора. Розкладання деяких функцій в ряд Маклорена.
22. Ряди Фур’є. Постановка питання. Знаходження коефіцієнтів Фур’є.
23. Операційне числення. Перетворення Лапласа. Властивості перетворення Лапласа.
1. Диференціальні рівняння І порядку з відокремленими та відокремлюваними змінними та звідні до них.
Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.
Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
Звідні до рівнянь з відокремлюваними змінними
y’=f(ax+by+c) z = ax+by+c
2. Диференціальні рівняння І порядку однорідні відносно змінних.
3. Лінійні диференціальні рівняння І порядку. Метод Бернуллі.
4. Диференціальні рівняння І порядку Бернуллі. Методи розв’язання.
5. Диференціальні рівняння І порядку у повних диференціалах.
6. Диференціальні рівняння вищих порядків, що допускають зниження порядку.
7.
Лінійні однорідні диференціальні
рівняння n-го порядку. Властивості
розв’язків. Структура загального
розв’язку.
Розвязки
ЛОДР утворюють однорідний простір.
Тобто множина всіх розв’язків замкнена
відносно операцій додавання та множення
на число. Доведення: нехай Ln[y1]
= 0, Ln[y2]
= 0, y1 та y2 –
розв’яки рівняння
Ln[ y] = Pk(x)( y)(k) = Pk(x) (y)(k) = Pk(x)y(k) = Ln[y] = 0 = 0
Критерій не залежності розв’язків однорідного рівняння.
Для того, щоб розв’язки y1, y2, …, yn були незалежними необхідно і достатньо щоб Вронскіан W[y1, y2,…, yn] 0 був відмінний від 0. На інтервалі (a, b).
8.
Лінійні однорідні диференціальні
рівняння другого порядку зі сталими
коефіцієнтами. Метод Ейлера (характеристичних
рівнянь).
9.
ЛОДР ІІ порядку. ФСР для всіх типів
коренів
хракт.
рівняння. Доведення лінійної незалежності
цих розв’язків.
10. ЛОДР ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами. Загальний розв’язок. Випадок комплексно-спряжених коренів характеристичного рівняння з доведенням.
11.
ЛОДР n-го порядку зі сталими коефіцієнтами.
Формування ФСР та загального розв’язку.
12. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння n-го порядку. Властивості розв’язків. Структура загального розв’язку.
13. ЛНДР другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Знаходження частинного розв’язку за виглядом правої частини рівняння (перший тип правої частини).
Для
знаходження частинного розв’язку ȳ
використовується метод підбору вигляду
частинного
розв’язку за виглядом правої частини
f x( ).
14. Числові ряди. Основні поняття. Необхідна ознака збіжності. Достатня ознака розбіжності.
15. Ознаки збіжності числових рядів, засновані на порівнянні рядів.
Т.1. (перша теорема порівняння).
16. Ознака Даламбера та радикальна ознака Коші збіжності числових рядів.
17. Інтегральна ознака збіжності числового ряду.
Зауваження.
1) інтегральна ознака Коші застосовується тоді, коли інтеграл (2) береться просто і зокрема тоді, коли підінтегральна функція f(x) містить логарифмічну функцію типу ln x ;
2) інтегральна ознака застосовується для дослідження на збіжність так званого узагальненого гармонічного ряду.
18. Знакопочережні ряди. Ознака Лейбніца. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність.
19. Функціональні ряди. Основні поняття. Знаходження області збіжності.
20(1). Степеневі ряди. Теорема Абеля про збіжність степеневого ряду. Знаходження радіусу збіж. та області збіж. степен. ряду.
Будь-який
ряд вигляду (1) збіжний в т. x = 0 до суми
0. S = a Тому область збіжності степеневого
ряду завжди містить принаймні одну
точку.
20(2). Степеневі ряди. Теорема Абеля про збіжність степеневого ряду. Знаходження радіусу збіж. та області збіж. степен. ряду.
21. Ряд Тейлора. Розкладання деяких ф-цій в ряд Маклорена.
22. Ряди Фур’є. Постановка питання. Знаходження коеф. Фур’є
23(1).
Операційне числення. Перетворення
Лапласа. Властивості перетворення
Лапласа.
23(2).
Операційне числення. Перетворення
Лапласа. Властивості перетворення
Лапласа.
