1. Электромагнитные волны. Волновое уравнение.

Электромагнитная волна - процесс распространения электромагнитного поля в пространствес конечной скоростью. Электромагнитная волна представляет собой процесс последовательного, взаимосвязанного изменения векторов напряжённости электрического и магнитного полей, направленных перпендикулярно лучу распространения волны, при котором изменение электрического поля вызывает изменения магнитного поля, которые, в свою очередь, вызывают изменения электрического поля.

Волновое уравнение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (3.6), описывающей плос­кую волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим

Сложение производных по координатам дает

Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменивk²/ω²через 1/υ² (см. (2.7)), получим уравнение

Это и есть волновое уравнение. Его можно записать в виде

υ

где Δ – оператор Лапласа.

Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворя­ет не только функция (3.6), но и любая функция вида

f(x, y, z, t)=f(t − k_xx–k_yy – k_zz +)

Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части (4.4),через ς, имеем

Аналогично

Подстановка выражений (4.5) и (4.6) в уравнение (4.2) приво­дит к выводу, что функция (4.4) удовлетворяет волновому урав­нению, если положить υ=ω/k.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (4.2), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из вели­чины, обратной коэффициенту при , дает фазовую скоростьэтой волны.

Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

υ

2. Плоская электромагнитная волна и её свойства.

При прохождении монохроматической электромагнитной волны частотой ω векторы E и H в данной фиксированной точке пространства испытывают синфазные и только синфазные гармонические колебания с этой же частотой Из условия синфазности следует, что в тех точках пространства, где E = 0 должно быть и H = 0, аналогично и по амплитудным значениям E₀ и H₀. Это значит, что векторная волна электрического поля E пространственно совпадает с векторной волной магнитного поля H, но только при этом векторы E и H колеблются во взаимно – перпендикулярных плоскостях, как это показано на рисунке ниже Если источником задается одно единственное направление x для излучения электромагнитной волны, то фронт волны будет плоским, а волна одномерной, как для вектора E, так и для вектора H. В этом случае волну можно представить двумя уравнениями, соответственно

3. Энергия электромагнитных волн

 Объёмная плотность энергии электромагнитного поля в линейной изотропной среде, как известно из электродинамики, даётся выражением (мы учли здесь также связь между векторами Е иН в электромагнитной волне):

        Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны (то, что в теории упругих волн называется вектором Умова) называется вектором Умова-Пойнтинга, или чаще просто вектором Пойнтинга Р: 

        Модуль среднего значения вектора Пойнтинга называется интенсивностью электромагнитной волны: 

        В случае синусоидальной монохроматической плоской (когда плоскости колебаний векторов Е и Н не меняются со временем) электромагнитной волны, распространяющейся в направлении х:

для интенсивности получается:

        Следует обратить внимание, что интенсивность электромагнитной волны зависит от амплитуды (либо электрического, либо магнитного поля; они связаны), но не зависит от частоты волны - в отличие от интенсивности упругих механических волн.

4. Излучение диполя.

Простейшим излучателем электромагнитных волн является электрический диполь, электрический момент которого изменяется во времени по гармоническому закону

5. 

где р₀ — амплитуда вектора р. Примером подобного диполя может служить система, состоящая из покоящегося положительного заряда +Q и отрицательного заряда –Q, гармонически колеблющегося вдоль направления р с частотой .

Задача об излучении диполя имеет в теории излучающих систем важное значение, так как всякую реальную излучающую систему (например, антенну) можно рассчиты­вать рассматривая излучение диполя. Кроме того, многие вопросы взаимодействия излучения с веществом можно объяснить на основе классической теории, рассматривая атомы как системы зарядов, в которых электроны совершают гармонические колеба­ния около их положений равновесия.

Характер электромагнитного поля диполя зависит от выбора рассматриваемой точки. Особый интерес представляет так называемая волновая зона диполя — точки пространства, отстоящие от диполя на расстояниях r, значительно превышающих длину волны (r>>), — так как в ней картина электромагнитного поля диполя сильно упрощается. Это связано с тем, что в волновой зоне диполя практически остаются только «отпочковавшиеся» от диполя, свободно распространяющиеся поля, в то время как поля, колеблющиеся вместе с диполем и имеющие более сложную структуру, сосредоточены в области расстояний r<.

Если волна распространяется в однородной изотропной среде, то время прохожде­ния волны до точек, удаленных от диполя на расстояние r, одинаково. Поэтому во всех точках сферы, центр которой совпадает с диполем, фаза колебаний одинакова, т. е. в волновой зоне волновой фронт будет сферическим и, следовательно, волна, излуча­емая диполем, есть сферическая волна.

В каждой точке векторы Е и Н колеблются по закону cos(t—kr), амплитуды этих векторов пропорциональны (1/r) sin (для вакуума), т. е. зависят от расстояния r до излучателя и угла  между направлением радиуса-вектора и осью диполя. Отсюда следует, что интенсивность излучения диполя в волновой зоне

(164.1)

Зависимость (164.1) I от при заданном значении r, приводимая в полярных коор­динатах (рис. 228), называется диаграммой направленности излучения диполя. Как видно из выражения (164.1) и приведенной диаграммы, диполь сильнее всего излучает в на­правлениях, перпендикулярных его оси (= /2). Вдоль своей оси (=0 и =) диполь не излучает вообще. Диаграмма направленности излучения диполя позволяет фор­мировать излучение с определенными характеристиками и используется при констру­ировании антенн.

Оптика:

1. Интерференция света. Когерентность. Опыт Юнга. Интерференция от двух щелей. Условия тах и min

Основные законы оптики.

З-н прямолинейного распр-ния света: свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно.

Закон независимости световых пучков: эффект производимый отдельным пучком, не зависит от того, действуют ли одновременно остальные пучки или они устранены. Разбивая световой поток на отдельные световые пучки (н-р, с помощью диафрагм), можно показать, что действие выделенных световых пучков независимо.

Если свет падает на границу раздела двух сред (двух прозрачных веществ), то падающий луч I разделяются на два – отраженный II и преломленный III, направления к-ых задаются законами отражения и преломления. Закон отражения: отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела двух сред в точке падения; угол i₁^’ отражения равен углу i₁ падения:

i₁^’ =i₁.

Закон преломления: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред: ,

где -относительный показатель преломления второй среды относительно первой. Индексы в обозначениях углов ,,указывают, в какой среде (первой и второй) идет луч.

Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления: n₂₁ = n₂/n₁.

Абсолютным показателем преломления среды наз-ся величинаn, равная отношению скорости с электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости v в среде: n=c/v.

ПРИНЦИП ФЕРМА:

Свет при распространении с одной точки в другую выбирает путь, требующий наименьшего времени распространения. v=c/n

V=dS/dt dS/dt=c/n ndS=dL – оптический путь

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ При наложении двух (или нескольких) коге­рентных световых волн происходит пространственное перераспределение светового потока, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других — мини­мумы интенсивности. Это явление называется интерференцией света.

Для получения когерентных световых волн применяют метод разделения волны, излучаемой одним источником, на две части, которые после прохождения разных оптических путей накладываются др на др, и наблюдается интерференци­онная картина.

Произведение геометр.длины sпути световой волны в данной среде на показатель n преломления этой среды наз-сяоптической длиной путиL, а Δ =L₂ – L₁— разность оптических длин проходимых волнами путей — наз-сяоптической разностью хода. Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме

Δ =+-mλ₀ (m = 0, 1, 2,...), (*)

то δ = ±2тπ, и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в одинаковой фазе. След-но, (*) яв-сяусловием интерференционного максимума.

Если оптическая разность хода

Δ= ±(2m+1) λ₀/2 (m=0, 1, 2, ...), (**)

то δ=±(2т+1) π, и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в противофазе. След-но, (**) яв-сяусловием интерференцион­ного минимума.

КОГЕРЕНТНОСТЬ Колебания называются когерентными, если разница фаз между ними постоянна. I=I₁+I₂+2(I₁I₂)^0,5cos∆δ ОПЫТ ЮНГА В этом опыте Юнг поток света направил на непрозрачную пластинку с двумя очень маленькими отверстиями, за которой находился экран. Если придерживаться господствовавшей в то время корпускулярной теории света, то на экране он должен был увидеть две светящиеся точки. Вместо этого на экране он увидел чередующиеся светлые и тёмные полосы. Причём самая яркая из них находилась на экране посередине между отверстиями на перегородке, чего быть вообще-то не должно. Юнг объяснил возникновение полос явлением интерференции света.

Но мы с вами ранее сказали, что интерференция - это сложение в пространстве двух или нескольких волн. Таким образом, мы, вслед за Юнгом, можем сказать, что свет обладает волновыми свойствами.

На экране светлые полосы соответствуют точкам, в которых фазы волн одинаковы, а тёмные - точкам, в которых фазы волн противоположны. 

2. Способы наблюдения интерференции (зеркала Френеля, бипризма Френеля

Зеркала Френеля Свет от узкой щели S падает на два плоских зеркала, развернутых друг относительно друга на очень малый угол φ. Используя закон отражения света (17.1.3.) нетрудно показать, что падающий пучок света разобьется на два, исходящих из мнимых источников S₁ и S₂. Источник S закрывают от экрана наблюдения непрозрачным экраном. Бипризма Френеля Две стеклянные призмы с малым преломляющим углом θ изготавливают из одного куска стекла так, что призмы сложены своими основаниями, Источник света - ярко освещенная щель S. После преломления в бипризме падающий пучок расщепляется на два, исходящих от мнимых источников S₁ и S₂, которые дают две когерентные цилиндрические волны.

Так как преломляющий угол θ мал, то все лучи отклоняются каждой из половинок бипризмы на один и тот же угол φ . Можно показать, что в этом случае

,

здесь n - показатель преломления материала призмы.

Расстояние между источниками:

.

3. Интерференция света при отражении от тонкой пленки. Полосы равного наклона и равной толщины. Кольца Ньютона.

Интерференционные полосы равного наклона. При освещении тонкой пленки происходит наложение волн от одного и того же источника, отразившихся от передней и задней поверхностей пленки. При этом может возникнуть интерференция света. Рассмотрим сначала плоскопараллельную пластинку толщины с показателем преломления (рис. 2.11). Пусть на пластинку падает плоская световая волна, которую можно рассматривать как параллельный пучок лучей. Пластинка отбрасывает вверх два параллельных пучка света, один из которых образовался за счет отражения от верхней поверхности пластинки, второй– вследствие отражения от нижней поверхности. Каждый из этих пучков представлен на рис. 2.11 только одним лучом.

При входе в пластинку и при выходе из нее пучок 2 претерпевает преломление. Кроме двух пучков и, пластинка отбрасывает вверх пучки, возникающие в результате трех-, пяти- и т.д. кратного отражения от поверхностей пластинки. Однако ввиду малой интенсивности их можно не принимать во внимание.

При падении на пластинку плоской волны образуются две отраженные волны, разность хода которых определяется формулой (2.14). Эти волны могут интерферировать, если оптическая разность хода не превышает длину когерентности. Последнее требование для солнечного излучения приводит к тому, что интерференция при освещении пластинки наблюдается только в том случае, если толщина пластинки не превышает нескольких сотых миллиметра.

Полосы равного наклона и равной толщины. ПОЛОСЫ РАВНОЙ ТОЛЩИНЫ

- интерференц. полосы, наблюдаемые при освещении тонких оптически прозрачных слоев (плёнок) переменной толщины пучком параллельных лучей и обрисовывающие линии равной оптической толщины. П. р. т. возникают, когда интерференц. картина локализована на самой плёнке. Разность хода между параллельными монохроматич. лучами, отражёнными от верхней и нижней поверхностей плёнки (рис.), равна (n - показатель преломления плёнки, h- её толщина,- угол преломления). Учитывая изменение фазы на при отражении от одной из поверхностей плёнки, получим, что максимумы интенсивности

(светлые полосы) возникают при разности хода m =0,1, 2, ..., а минимумы (тёмные полосы) - при 

 - длина волны света, в к-ром происходит наблюдение). Условие параллельности лучей выполняется, если расстояние от источника света до плёнки значительно больше -расстояния между точками пересечения интерферирующих лучей с поверхностью плёнки. При достаточно малом зрачке наблюдат. прибора это условие выполняется и для протяжённого источника.

Если плёнка идеально одинаковой толщины, то в любом её месте разность хода DL будет одна и та же, условия интерференции будут одинаковыми по всей плёнке, что приведёт к одинаковому по всей площади плёнки оптич. эффекту - ослаблению либо усилению света, а никакие интерференц. полосы не возникнут. 

ПОЛОСЫ РАВНОГО НАКЛОНА

- чередующиеся тёмные и светлые полосы (интерференционные полосы), возникающие при падении света на плоскопараллельную пластину в результате интерференции лучей, отражённых от верхней и нижней её поверхностей и выходящих параллельно друг другу. Монохроматич. свет с длиной волны от точечного источника S (рис.), находящегося в среде с показателем преломления п, падает на пластину толщиной h и с показателем преломления при отражении луча SA от верхней и нижней граней образуются параллельные лучи AD и СЕ. Оптич. разность хода между такими лучами

 а соответствующая разность фаз С учётом сдвига фаз на 

 при отражении т. е.

при постоянстве h и разность фаз определяется наклоном лучей относительно пластины: при равном наклоне p разность фаз постоянна. Чтобы лучи AD и СЕ интерферировали, необходимо их совмещение, что достигается для параллельных лучей в бесконечности. Наблюдаются они при помощи линзы, в фокусе к-рой помещают экран. Разность фаз не связана с положением источника света: лучи, испущенные соседней точкой источника и отражённые под тем же углом будут иметь ту же разность фаз, а при проецировании на экран попадут в ту же точку. Поэтому при использовании протяжённого источника полосы оказываются столь же отчётливыми, как и с точечным источником. Если оптич. ось пучка света нормальна к пластинке (= 0), то П. р. н. приобретают вид концентричных колец.

Полосы равной толщины и равного наклона наблюдаются при интерференции волн, отраженных от двух границ прозрачной пленки или плоскопараллельной пластинки.

Полосы равного наклона локализованы на бесконечности.

Полосы равной толщины локализованы в плоскости отражающей пленки. В пределах ширины пленки можно считать, что интерференционная картина локализована там, где вам удобнее. КОЛЬЦА ЮНГА

Интерференционная картина в виде концентрических колец (колец Ньютона) возникает между поверхностями одна из которых плоская, а другая имеет большой радиус кривизны (например, стеклянная пластинка и плосковыпуклая линза). Исаак Ньютон исследовав их в монохроматическом и белом свете обнаружил, что радиус колец возрастает с увеличением длины волны (от фиолетового к красному). Волна 1 появляется в результате отражения от выпуклой поверхности линзы на границе стекло — воздух, а волна 2 — в результате отражения от пластины на границе воздух — стекло. Эти волны когерентны, то есть они имеют одинаковую длину и постоянную разность фаз, которая возникает из-за того, что волна 2 проходит больший путь, чем волна 1. Если вторая волна отстает от первой на целое число длин волн, то, складываясь, волны усиливают друг друга.

 — max, где -   любое целое число,   -  длина волны.

Напротив, если вторая волна отстает от первой на нечетное число полуволн, то колебания, вызванные ими, будут происходить в противоположных фазах и волны гасят друг друга.

 — min, где -   любое целое число,   -  длина волны.

4. Дифракция света. Принцип Гюйгенса и Гюйгенса-Френеля. Дифракция Френеля.

ДИФРАКЦИЯ Дифра́кцияво́лн (лат. diffractus — буквально разломанный, переломанный, огибание препятствия волнами) — явление, которое можно рассматривать как отклонение от законов геометрической оптики при распространении волн.  Принцип Гюйгенса-Френеля Каждый элемент поверхности волнового фронта можно рассматривать как источник вторичных волн, распространяющихся во всех направлениях. Эти волны когерентны, так как они возбуждены одной и той же первичной волной. Результирующее поле в точке наблюдения P может быть найдено как результат интерференции вторичных волн. В качестве поверхности вторичных источников может быть выбрана не только поверхность волнового фронта, но и любая другая замкнутая поверхность. При этом фазы и амплитуды вторичных волн определяются значениями фазы и амплитуды первичной волны.

Рисунок 2.1. Принцип Гюйгенса–Френеля.

Постулат Френеля сводится к требованию заселения вторичными источниками только той части поверхности волнового фронта, которая не затенена экраном.  ЗОНЫ ФРЕНЕЛЯ ЗОНЫ ФРЕНЕЛЯ -участки, на к-рые разбивают поверхность фронта световой волны для упрощения вычислений при определении амплитуды волны в заданной точке пр-ва. 

Пусть от источника света S распространяется монохроматическая сферическая волна, P - точка наблюдения. Через точку O проходит сферическая волновая поверхность. Она симметрична относительно прямой SP. Разобьем эту поверхность на кольцевые зоны I, II, III и т.д. так, чтобы расстояния от краев зоны до точки P отличались на λ/2 - половину длины световой волны. Это разбиение было предложено O. Френелем и зоны называют зонами Френеля. ри не очень больших номерах зон их площади примерно одинаковы. Значит каждой точке первой зоны найдется соответствующая ей точка во второй, колебания которых погасят друг друга. Амплитуда результирующего колебания, приходящего в точку P от зоны с номером m, уменьшается с ростом m, т.е.

Происходит это из-за увеличения с ростом m угла между нормалью к волновой поверхности и направлением на точку P. Значит гашение колебаний соседних зон будет не совсем полным.