Статистические методы в квантовой физике и электронике- Программа курса

Утверждаю

Заведующий кафедрой квантовой

физики и наноэлектроники МИЭТ,

профессор

__________________А.А. Горбацевич

“___”__________ 2005

Статистические методы в задачах квантовой информатики и электроники

Программа курса

Лекция 1. Базовые распределения математической статистики и их основные свойства. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. Нормальное, показательное, равномерное и др. распределения. Многомерное нормальное распределение, матрица ковариаций. Примеры реализации основных распределений математической статистики в квантовой физике, микро- и наноэлектронике.

Лекция 2. Оценивание параметров распределений. Метод максимального правдоподобия. Матрица информации Фишера. Примеры применения метода максимального правдоподобия для оценивания параметров нормального, показательного, биномиального, пуассоновского и др. распределений.

Лекция 3. Неравенство Рао- Крамера. Состоятельность, асимптотическая нормальность и асимптотическая эффективность оценок максимального правдоподобия. Связь неравенства Рао- Крамера с соотношением неопределенности Гейзенберга.

Лекция 4. Основные методы оценки плотности распределения: ядерная оценка плотности (kernel density estimator), проекционная оценка плотности (orthogonal series estimator), корневая оценка плотности (root density estimator). Примеры приложений методов к задачам физики и электроники.

Лекция 5. Вектор состояния как объект статистического анализа данных. Уравнение правдоподобия в методе корневой оценки плотности. Состоятельность корневых оценок.

Лекция 6. Алгоритм численного решения уравнения правдоподобия. Применение принципа сжатых отображений и теоремы о неподвижной точке, построение сжимающего отображения. Условие устойчивости итерационной процедуры, критическое значение итерационного параметра.

Лекция 7. Оптимальное значение итерационного параметра, максиминный критерий. Численное моделирование в базисе Чебышева- Эрмита. Оптимизация числа гармоник в разложении. Восстановление статистических распределений технологических параметров в микро- и наноэлектронике.

Лекция 8. Статистические свойства оценки вектора состояния. Универсальный вид матрицы информации Фишера и матрицы ковариаций оценок. Критерий хи- квадрат. Проверка гипотезы о соответствии выборочного вектора состояния генеральному. Оценка статистической значимости отличий между двумя выборками. Анализ результатов сравнительных экспериментов в физике и электронике.

Лекция 9. Специфика квантовой статистики по сравнению с классической. Принцип дополнительности Н. Бора. Статистический анализ взаимно дополнительных экспериментов. Невозможность описания статистического поведения квантовой системы классическим распределением вероятности, нарушение аксиомы о составных случайных величинах. Состояния Белла, запутанность квантовых систем, неравенства Белла, эксперименты, доказывающие существование нарушений неравенств Белла. Запутанность как основной ресурс для вычислений на квантовом компьютере.

Лекция 10. Парадокс Эйнштейна- Подольского- Розена. Исследование запутанности квантовых состояний с помощью разложения Шмидта. Приложение к задачам квантовой информатики. Число Шмидта, энтропия запутанности. Разложение Шмидта для гауссовых состояний, связь коэффициента корреляции Пирсона с числом Шмидта. Информация Шмидта и информация Шеннона.

Лекция 11. Физическая реализация запутанных состояний посредством связанных гармонических осцилляторов. Трех- и многочастичные запутанные гауссовы квантовые состояния. Квантовый осциллятор в термостате. Термодинамическое равновесие как результат запутывания между системой и окружением. Связь числа Шмидта с температурой. Методы описания декогерентизации при взаимодействии кубитов с окружением.

Лекция 12. Задача статистического восстановления (томографии) квантовых состояний и ее приложения к задачам квантовой информатики. Уравнения правдоподобия для статистического анализа данных по результатам взаимно- дополнительных наблюдений. Примеры взаимно- дополнительных экспериментов: координатное и импульсное распределения состояний регистра квантового компьютера, дифракционные картины для микрочастиц в прожекторной зоне и зоне Фраунгофера, измерения поляризации и спина на различные направления в пространстве и др.

Лекция 13. Чистые и смешанные квантовые состояния. Матрица плотности и ее свойства. Статистическое восстановление матрицы плотности. Оценивание степени чистоты квантового состояния. Приложение к задачам квантовой информатики.

Лекция 14. Амплитуды квантовых процессов и интенсивности генерации событий. Метод максимального правдоподобия для взаимно- дополнительных пуассоновских процессов. Актуальность методов квантовой томографии в задачах контроля качества, стабильности и надежности систем обработки квантовой информации.

Лекция 15. Статистическое восстановление трех- и четырехуровневых оптических квантовых состояний. Теоретическое описание и результаты экспериментов. Приложение к задачам квантовой криптографии.

Лекция 16. Статистическое восстановление спиновых квантовых состояний. Базисные функции, основанные на полиномах Кравчука. Многопараметрические обобщения биномиального распределения. Приложение к анализу опытов Штерна- Герлаха.

Лекция 17. Статистические флуктуации оценки вектора состояния. Матрица полной информации. Параметр информационного согласия (informational fidelity), его распределение. Влияние статистических флуктуаций и инструментальных погрешностей на точность восстановления квантовых состояний в задачах квантовой томографии. Юстировка квантовых информационных систем, обнаружение посторонненго вмешательства в систему.

Список литературы

1. Крамер Г. Математические методы статистики. М. Мир. 1975. 648 с.

2. Крянев А.В., Лукин Г.В. Математические методы обработки неопределенных данных. М. Физматлит. 2003. 216 с.

3. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежда и реальность. Ижевск. РХД. 2001. 352с.

4. Валиев К.А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления // Успехи Физических Наук. 2005. Т.175. №1. С.3-39

5. Хелстром К. Квантовая теория проверки гипотез и оценивания. М. Мир. 1979. 344с.

6. Физика квантовой информации. Квантовая криптография. Квантовая телепортация. Квантовые вычисления // Под. ред. Д.Боумейстера, А.Экерта, А.Цайлингера; Пер. с англ. под ред. С.П.Кулика и Т.А.Шмаонова. М. Постмаркет. 2002. 376с.

7. Богданов Ю.И. Основная задача статистического анализа данных: корневой подход. М. МИЭТ. 2002. 96с.

8. Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. М. МЦНМО. 2002. 128с.

9. Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. Издание 2-е, дополненное. Москва- Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2003. 410 с.

10. Менский М.Б. Квантовые измерения и декогеренция. М. Физматлит. 2001. 232с.

Подготовил: профессор кафедры квантовой

физики и наноэлектроники, д.ф.-м.н. ____________Ю.И. Богданов