Неравенство Белла

Неравенство Белла

Состояние Белла

ψ = 12 (↑↓ − ↓↑)

или

						0
	1					1
ψ =		(01	− 10 )=	1
	2			2
						−1
						1

Упражнение: Покажите, что данное состояние является запутанным

Будем в качестве оператора спина использовать оператор σv (т.е. будем опускать

h

множитель 2 ). В таком представлении, результат измерения спина есть либо +1, либо

−1.

Если при измерении на ось z Алиса получает +1, то Боб при измерении на ту же ось с

необходимостью получает −1 и наоборот. То же самое будет происходить и при измерении на любую другую ось в пространстве (для данного состояния, поскольку оно является синглетнымспин системы равен нулю, поэтому равна нулю и проекция спина системы на любую ось).

Покажем это Пусть 0 и 1 состояния, отвечающие проекциям спина соответственно +1 и −1 на

некоторую ось nr, 0′ и 1′ - те же состояния при проектировании на ось nr′. Новые и старые базисные состояния связаны унитарным преобразованием

0′ =u00 0 +u01 1 1′ =u10 0 +u11 1

u	u		- унитарная матрица.
Здесь U = 00	01
u	u
10	11

Ее определитель равен нулю:

u00u11 −u10u01

Тогда

0′1′ − 1′0′ = 01 − 10

Таким образом, рассматриваемое состояние имеет один и тот же вид, независимо от оси квантования

Пусть Алиса измеряет проекцию спина своей частицы на ось a, а Боб на ось b.

1

					1
1		При измерении Алиса получает +1 с вероятностью			2 и −1 с вероятностью
2	.	После этого состояние редуцируется таким образом, что Боб при измерении на ту же
		r	−1, если Алиса получает	+1 и наоборот. Если же Боб проводит
ось a будет получать
измерение на другую			ось br, расположенную	под углом	θ к оси Алисы, то в

соответствии с полученными ранее результатами, будем иметь следующее распределение вероятностей измерений:

	PAB(+1,−1)		1				2 θ
		=				cos
			2
									2
	PAB(+1,+1)		1				2	θ
		=				sin
			2						2
	PAB(−1,+1)=			1				2	θ
							cos
				2						2
	PAB(−1,−1)		1				2	θ
		=				sin
			2						2

Здесь PAB(+1,−1) означает, что Алиса получает +1, а Боб −1 и т.д. Маргинальные распределения тривиальны:

P	(+1)=P (−1)=	1		P	(+1)=P (−1)=	1
A	A	2		B	B	2

Математические ожидания этих распределений равны нулю, а дисперсии единице

Пусть X и Y - случайные величины, регистрируемые соответственно Алисой и Бобом. Коэффициент их корреляции есть

RAB =M(XY)=−cos(θ)=−arb

Напомним, что классические (неквантовые) представления о вероятности исходят из того, что случайность является «ненастоящей» (субъективной). На самом деле объект, якобы, обладает данным значением параметра и до измерения, только оно скрыто от нас, а измерение просто проявляет то, что было ранее скрыто (шар в урне был либо черным, либо белым и до того, как мы его вынули).

Оказывается, что квантовые корреляции, проявляемые в состоянии Белла, опровергают такие представления, поскольку подобные корреляции не могут быть смоделированы никакой классической моделью, т.е. моделью со скрытыми параметрами (типа рулетки).

Чтобы показать это рассмотрим так называемое неравенство БеллаКлаузераХорнаШимони

Пусть X1 , X2 , Y1 , Y2 - произвольные действительные числа, не превышающие по модулю 1. X j ≤1, Yj ≤1, j =1,2

Покажем, что

2

−2 ≤ X1Y1 +X1Y2 +X2Y1 −X2Y2 ≤2

Пусть, например, все параметры неотрицательны и Y1 ≥Y2 , тогда

X1Y1 +X1Y2 +X2Y1 −X2Y2 = X1(Y1 +Y2 )+X2 (Y1 −Y2 )≤ max(X1, X2 )(Y1 +Y2 +Y1 −Y2 )=2Y1 max(X1, X2 )≤2

Остальные возможные случаи рассматриваются совершенно аналогично.

Пусть теперь X1 , X2 , Y1 , Y2 - действительные случайные величины,

удовлетворяющие тем же неравенствам.

Тогда, усредняя полученное неравенство, имеем:

M(X1Y1)+M(X1Y2 )+M(X2Y1)−M(X2Y2 )≤2

Именно это неравенство нарушается состоянием Белла. Действительно, выберем направления измерений в одной плоскости так, чтобы полярные углы были:

ϕ=0 для ar , ϕ=		π		для a , ϕ=−		3π		для b ,	ϕ=	3π	дляbr . Пусть
		2					4			4
1				2				1			2
Тогда:
M(X1Y1 )=M(X1Y2 )=M					3π		=	2
			(X2Y1)=−cos		4			2
π		=−		2
M(X2Y2 )=−cos				2
4

В итоге имеем:

M(X1Y1)+M(X1Y2 )+M(X2Y1)−M(X2Y2 )=2 2 >2

Таким образом, неравенства Белла нарушаются. Статистический смысл неравенства Белла.

Когда мы в классической статистике вычисляем M(X1Y1),M(X1Y2 ),M(X2Y1),M(X2Y2 ), мы

предполагаем, что	существует совместное	распределение случайных величин
P(X1 ,Y1 , X 2 ,Y2 )	(всего 16 вероятностей).	Реально же такого распределения не

существует. Нельзя подобрать таких 16 неотрицательных чисел (вероятностей), чтобы описать все корреляции (некоторые из «вероятностей» обязательно будут отрицательными, т.е. не будут на деле вероятностями).

Физический смысл полученного результата: Принцип дополнительности Н. Бора приводит к нарушению аксиомы о составных случайных величинах в аксиоматике А.Н. Колмогорова.

Следуя Г. Крамеру сформулируем эту аксиому в виде: “Если ξ1 ,...,ξn - случайные величины размерностей соответственно k1 ,..., kn , то каждая составная величина (ξ1 ,...,ξn ) также является случайной величиной (размерности k1 +... + kn )”.

Указанная аксиома, однако, не выполняется в квантовой механике, поскольку объект, составленный из взаимно дополнительных случайных величин, уже не является случайной величиной, а соответствует более общему понятию квантового состояния (принцип дополнительности Н. Бора в статистической формулировке). В нашем случае, измерение спина на различные направления в пространстве описывается некоммутирующими наблюдаемыми (матрицами Паули), которым нельзя приписать

3

одновременно определенных значений. Этот физический факт показывает неадекватность формального предположения о существовании совместного распределения случайных

величин P(X1 ,Y1 , X 2 ,Y2 ), в котором каждая из частиц ЭПР пары обладает

одновременно определенными (хотя и скрытыми) значениями проекции спина на два различных направления в пространстве.

Таким образом, принцип дополнительности Н. Бора утверждает, что квантовое состояние описывает совокупность взаимно дополнительных статистических распределений, причем эта совокупность не сводится к какомулибо одному распределению (в пространстве большей размерности). Различные представления квантового состояния порождают при измерениях различные статистические распределения. Каждое из этих распределений является вполне колмогоровским (т.е. может быть описано вероятностным пространством в рамках аксиоматики Колмогорова). Каждое такое распределение описывает некоторую случайную величину. Совокупность же таких (взаимно дополнительных) случайных величин не может быть описана никаким совместным распределением. Эта совокупность должна описываться квантовым состоянием (т.е. вектором состояния или матрицей плотности в гильбертовом пространстве).

4