Тер.вер(решение задач)

Среднее арифметическое равно

			n
			∑xi		12 +14 +... + 26				467
	x =		i=1	=				=		=15,567 .
			n			30			30
Мода –				значение			признака, встречающееся чаще всего. Для нахождения моды

расположим все исходные данные в порядке возрастания (табл. 3). Повторяющиеся значения записывают столько раз (ni), сколько они попадаются в исходном массиве.

	Таблица 3
x(i)		ni
3		2
3
5		2
5
7		2
7
8
8		3
8
12
12		4
12
12
13		1
14		2
14
16		1
17		1
19		2
19
22		1
23		1
24		1
25		1
26
26		4
26
26
27		1
28		1

Выбираем значение с максимальной частотой:

Mo = arg max ni .

xi

Таким образом, выборка X является двумодальной. Моды равны 12 и 26. Медиана – центральное значение вариационного ряда (табл. 4).

Таблица 4

Вариационный ряд

x(1)	x(2)	x(3)	x(4)	x(5)	x(6)	x(7)	x(8)	x(9)	x(10)
3	3	5	5	7	7	8	8	8	12
x(11)	x(12)	x(13)	x(14)	x(15)	x(16)	x(17)	x(18)	x(19)	x(20)
12	12	12	13	14	14	16	17	19	19
x(21)	x(22)	x(23)	x(24)	x(25)	x(26)	x(27)	x(28)	x(29)	x(30)
22	23	24	25	26	26	26	26	27	28

Т.к. объем выборки ( n = 30 ) четный, берем среднее арифметическое двух центральных значений

Me =

x(15) + x(16)

=

14 +14

=14 .

2

2

Размах вариации равен

R = X max − X min

= 28 −3 = 25 .

Дисперсия равна

n

∑(xi −

)2

D =

x

(12 −15,567)

2

+... + (26

−15,567)

2

1923,367

i=1

=

=

= 66,323.

n −1

29

29

Стандартное отклонение равно

σ =

D = 66,323 = 8,144 .

Среднее линейное отклонение:

n

∑

xi −

x

12 −15,567

+... +

26 −15,567

1923,367

212,133

d

=

i=1

=

=

=

= 7,071.

n

30

30

30

Коэффициент осцилляции равен

VR =

R

100% =

25

100% =160,6% .

15,567

x

Коэффициент вариации:

Vσ =

σ

100% =

8,144

100% = 52,3% .

15,567

x

2. Вычисление показателей вариации по выборке Y. Среднее арифметическое равно

			n
			∑yi		− 41+ (−37) +... + (−82)			−1419
	y =		i=1	=			=		= −47,3.
			n		30			30
Мода –				значение признака,		встречающееся чаще всего. Для нахождения моды

расположим все исходные данные в порядке возрастания (табл. 5). Повторяющиеся значения записывают столько раз (ni), сколько они попадаются в исходном массиве.

		Таблица 5
	y(i)		ni
	-86		1
	-83		1
	-82		1
	-78		2
	-78
	-77		1
	-76		1
	-75		1
	-72		2
	-72
	-64		1
	-62		1
	-56		2
	-56
	-42		1
	-41		1
	-40		1
	-37		1
	-36		2
	-36
	-31		1
	-28		1
	-20		1
	-19		1
	-14		2
	-14
	-13		1
	-11		1
	-10		2
	-10
Выбираем значение с максимальной частотой:

Mo = arg max ni .

yi

Таким образом, выборка Y является многомодальной. Моды равны -78, -72, -56, -36, -14

и -10.

Медиана – центральное значение вариационного ряда (табл. 6).

Таблица 6

Вариационный ряд

y(1)	y(2)	y(3)	y(4)	y(5)	y(6)	y(7)	y(8)	y(9)	y(10)
-86	-83	-82	-78	-78	-77	-76	-75	-72	-72
y(11)	y(12)	y(13)	y(14)	y(15)	y(16)	y(17)	y(18)	y(19)	y(20)
-64	-62	-56	-56	-42	-41	-40	-37	-36	-36
y(21)	y(22)	y(23)	y(24)	y(25)	y(26)	y(27)	y(28)	y(29)	y(30)
-31	-28	-20	-19	-14	-14	-13	-11	-10	-10

Т.к. объем выборки ( n = 30 ) четный, берем среднее арифметическое двух центральных значений

Me =

y(15) + y(16)

=

− 42 − 41

= −41,5 .

2

2

Размах вариации равен

R = Ymax −Ymin = −10 +86 = 76 .

Дисперсия равна

n

∑( yi −

)2

D =

y

(−41 + 47,3)

2

+... + (−82

+

47,3)

2

20362,3

i=1

=

=

= 702,148 .

n −1

29

29

Стандартное отклонение равно

σ =

D = 702,148 = 26,498 .

Среднее линейное отклонение:

n

∑

yi −

y

− 41 + 47,3

+... +

−82 + 47,3

709,6

212,133

d

=

i=1

=

=

=

= 23,653 .

n

30

30

30

Коэффициент осцилляции равен

VR =

R

100% =

76

100% = −160,7% .

− 47,3

y

Коэффициент вариации:

Vσ =

σ

100% =

26,498

100% = −58,0% .

− 47,3

y

3. Вычисление показателей вариации по выборке Z.

Среднее арифметическое равно

			n
			∑zi		− 26 +14 +... + (−31)		−902
	z =		i=1	=		=		= −30,067 .
			n		30		30
Мода –				значение признака,		встречающееся чаще всего. Для нахождения моды

расположим все исходные данные в порядке возрастания (табл. 7). Повторяющиеся значения записывают столько раз (ni), сколько они попадаются в исходном массиве.

	Таблица 7
z(i)		ni
-90		1
-88		1
-86		1
-76		1
-64		1
-62		1
-55		2
-55
-51		1
-48		1
-46		1
-40		1
-34		1
-31		1
-30		1
-27		1
-26		1
-25		1
-23		1
-20		1
-16		1
-14		2
-14
-10		2
10
11		1
14		1
25		1
31		1
38		1

Выбираем значение с максимальной частотой: Mo = arg max ni .

zi

Таким образом, выборка Z является многомодальной. Моды равны -55, -14 и -10. Медиана – центральное значение вариационного ряда (табл. 8).

Таблица 8

Вариационный ряд

z(1)	z(2)	z(3)	z(4)	z(5)	z(6)	z(7)	z(8)	z(9)	z(10)
-90	-88	-86	-76	-64	-62	-55	-55	-51	-48
z(11)	z(12)	z(13)	z(14)	z(15)	z(16)	z(17)	z(18)	z(19)	z(20)
-46	-40	-34	-31	-30	-27	-26	-25	-23	-20
z(21)	z(22)	z(23)	z(24)	z(25)	z(26)	z(27)	z(28)	z(29)	z(30)
-16	-14	-14	-10	10	11	14	25	31	38

Т.к. объем выборки ( n = 30 ) четный, берем среднее арифметическое двух центральных значений

Me =

z(15) + z(16)

=

−30 − 27

= −28,5 .

2

2

Размах вариации равен

R = Zmax − Zmin

= 38 + 90 =128 .

Дисперсия равна

n

∑(zi −

)2

D =

z

(−26 +30,067)

2

+...

+ (−31

+30,067)

2

34677,867

i=1

=

=

=1195,789 .

n −1

29

29

Стандартное отклонение равно

σ =

D =

1195,789 = 34,58 .

Среднее линейное отклонение:

n

∑

zi −

z

− 26 +30,067

+... +

− 26 +30,067

810,133

212,133

d

=

i=1

=

=

=

= 27,004 .

n

30

30

30

Коэффициент осцилляции равен

VR = Rz 100% = −30,067128 100% = −425,7% .

Коэффициент вариации:

Vσ = σz 100% = −34,5830,067 100% = −115,0% .

Задача 136. По каждой из выборок X, Y, Z:

•проведите группировку данных по интервалам равной длины;

•составьте вариационный ряд;

•вычислите относительные частоты и накопленные частости;

•постройте полигон, гистограмму и кумулянту;

•нанесите на график кумуляты график накопленных частот без группировки.

Решение.

Решение для выборки X.

Ориентировочное число интервалов k определим по формуле Стерджесса: k =1 +[3,32 lg n]=1 +[3,32 lg10]=1 +[3,32 1,477]=1 + 4 = 5 .

Группировка данных и вариационный ряд приведены в табл. 9.

				Таблица 9
Группировка данных и вариационный ряд
	xi	x(i)	ni		ni, %	Ki
3	.. 8	5,5	9		30,00	30,00
8 .. 13		10,5	5		16,67	46,67
13	.. 18	15,5	4		13,33	60,00
18	.. 23	20,5	4		13,33	73,33
23	.. 28	25,5	8		26,67	100,00
	Σ	-	30		100	-

Гистограмма, полигон и кумулянта приведены на рис. 1, рис. 2 и рис. 3, соответственно.

n i , % 35

30

25

20

15

10

5

0

0

5

10

15

20

25

30

x i

Рис. 1. Гистограмма.

n i , % 35

30

25

20

15

10

5

0

0

5

10

15

20

25

30

x i

Рис. 2. Полигон.

K i , % 120

100

80

60

40

20

0

0

5

10

15

20

25

30

x i

Рис. 3. Кумулянта.

Задача 137. По сгруппированным данным и графикам определите:

•среднее арифметическое;

•моду;

•медиану.

Сравните результаты с решением задачи 1.

Решение.

Среднее значение определим по формуле средней арифметической взвешенной

			k
			∑x(i) ni		5,5 9 +... + 25,5 8		450
	x	=	i=1	=		=		=15 .
			n		30		30

Мода равна 5. Медиана равна 15,5.

Разница в результатах по сравнению с решением задачи 1 составила: по среднему арифметическому =15 −15,567 = −0,567 ;

по моде она не определена, т.к. в решении задачи 1 было две моды; по медиане =15,5 −14 =1 .

Задача 138. Постройте корреляционное поле. Проведите группировку Y и Z, используя X как группировочный признак. Вычислите условные средние Yx, Zx. Нанесите линию эмпирической регрессии на корреляционное поле.

Решение.

Решение для выборки Y. Корреляционное поле показано на рис. 4.

0								x
		5	10	15	20	25
0							30

-20

-40

-60

-80

-100

y

Рис. 4. Корреляционное поле.

Для группировки составим таблицу 10.
		Условные средние		Таблица 10
	xi	x j	ni	∑y j	y x
	3 .. 8	5,5	9	-147	-16,33
	8 .. 13	10,5	5	-176	-35,20
	13 .. 18	15,5	4	-191	-47,75
	18 .. 23	20,5	4	-275	-68,83
	23 .. 28	25,5	8	-630	-78,75
	Σ	-	30
Нанесем линию эмпирической регрессии на корреляционное поле (рис. 5).
0	5	10	15	20	25	x
0						30
-20
-40
-60
-80
-100
y
Рис. 5. Линия эмпирической регрессии y x (x) на корреляционном поле.
Задача 139. Найдите предельную ошибку выборки X, Y, Z; постройте доверительные
интервалы для среднего, дисперсии и стандартного отклонения генеральной совокупности
при доверительной вероятности p = 68%; 95%; 99,7%.

Решение.

Решение для выборки X.