Контрольная работа 1Эконометрика (1)

Лобанова Н.А. гр.№Z2814K

Вариант 3

1. В корзине лежат 3 красных и 2 зеленых яблока. Для гостей случайным образом выбирают 3 яблока и кладут в вазу. Количество красных яблок в вазе – случайная величина X. Написать ряд распределения X, построить график функции распределения X, найти EX и DX.

Решение. Из 5 яблок любые 3 можно выбрать числом способов . Это число равно: .

Случайная величина Х может принимать значения 1, 2, 3.

Если Х=1, то следует выбирать 2 зеленых яблока из 2 возможных и 1 красное из 3 возможных – это можно сделать числом способов .

Если Х=2, то следует выбирать 1 зеленое яблоко из 2 возможных и 2 красных из 3 возможных– это можно сделать числом способов .

Если Х=3, то следует выбирать 0 зеленых яблока из 2 возможных и 3 красных из 3 возможных– это можно сделать числом способов .

Вероятности p( X=k), k = 1,2,3 равны отношениям m_k/n :

X	1	2	3
p

Функция распределения F(x)=P(X<x) равна

• 0, если x  1;

• 3/10, если 1 < x  2 (А);

• 9/10, если 2 < x  3 (В);

• 1 , если x > 3 (С);

График этой функции выглядит следующим образом:

2. Плотность вероятности случайной величины X задана соотношением . Найти a, F(x) – функцию распределения случайной величины X, построить графики функций f(x) и F(x), вычислить EX и DX.

Решение. Постоянную a находим из условия нормировки плотности: , откуда , тогда и , следовательно .

Функция распределения F(x)=0 при , и при .

при ;

F(x)=1 при , и при .

Рис 1. График функции f(x)

Рис 2. График функции F(x)

3. Случайная величина X  N (1;2). Случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью Y= -X–1. Найти g(y) – плотность вероятности случайной величины Y, EY, . С помощью таблиц приближенно вычислить и .

Решение. Так как EX =1, DX =2, то EY =-2, DY=1*2=2, . При линейном отображении распределение остается нормальным, поэтому .

Вычисление значений функции распределения G(y) выполняем в EXСEL с применением статистической функции НОРМРАСП:

4. Плотность вероятности случайной величины X задана соотношением . Случайная величина связана с X функциональной зависимостью Y= X². Найти g(y) – плотность вероятности случайной величины Y, G(y) – функцию распределения случайной величины Y, EY, DY, .

Решение. Случайная величина Y принимает ненулевые значения в промежутке (0,25), при этом плотность g(y)=f((y))(y), где  — функция, обратная к заданной функции y=x²: (y)=y. Поэтому и случайная величина Y распределена равномерно в промежутке (0,25). Функция распределения в указанном промежутке равна , равна нулю при y  0, равна 1 при y >2 5.

5. Случайные величины X, Y и Z независимы в совокупности. При этом XN(-2;2) и YN(-1;3) распределены нормально, а Z – равномерно на интервале (0;2). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины V= - 2X-3Y+Z+5.

Решение.