МОТС ИТМО

y t, q0 , q j j t q j , вызванного вариацией

q j параметров

системы в указанных выше пределах при экзогенных воздействиях: a) единичного ступенчатого типа g t 1 t ;

б)гармонического типа g t 1sin t .

13.2. Для значений параметров из примеров 13.1.1 – 13.1.14 непрерывной системы путем замены производной отношением конечных малых при значении интервала дискретности t 0.1C сформировать ее дискретное представление

x k 1 Fx k Gg k , x k k 0 x 0 0, y k Cx k

с тем, чтобы построить модели траекторной чувствительности

вида (13.59) с целью наблюдения дополнительного движения по

выходу

системы

y k, q0 , q j

j k q j

,

вызванного

вариацией

q j параметров системы,

включая интервал дискретности, который

следует

задать

в

форме

t q t 1 q6 , в указанных

выше

пределах при экзогенных воздействиях:

a) единичного ступенчатого типа g k 1 k

;

б) гармонического типа g k 1sin t k .

Решение вариантов задач

Решение задачи 13.1 ( с вариантом параметров 13.1.1)

В соответствии с вариантом параметров 13.1.1 передаточная

функция непрерывной системы принимает вид

1 q

1

b 1 q

1 q

10

1

s

1 q

1 ,

s, q a 1 q

1

s a

1 q 0.11 q

s 1 q

1 q3

1

1

4

1

4

2

3

4

3

1

10

s

1 q

4

ВМО

которой

при

q q0 0

будет

иметь

вид

1 q3

1 q1

x t, q

10

x t, q 10

g t

, y t, q x t, q .

1 q4

1 q4

При

q q0

0 номинальная

версия

системы

получает

представление

x t

10x t 10g t , y t x t .

Матрицы чувствительности принимают вид

F

F q

0;G

G q

10

1

10;

q

1 q4

q

q1

q q0

q1

q q0

q4 0

1

1

F

F q

10;G

G q

0;

q

q2

q

q1

3

3

q q0

q q0

F

F q

10;G

G q

10.

q4

q1

q4

q1

q q0

q q0

249

В результате получаем три модели траекторной чувствительности

вида (13.37)

1 t 10 1 t 10g t ; 1 t 1 t ;3 t 10 3 t 10x t ; 3 t 3 t ;

4 t 10 4 t 10x t 10g t ; 4 t 4 t ;

Теперь полученные модели чувствительности вместе с номинальной моделью системы следует поместить в модельную среду Simulink и провести исследования параметрически возмущенного

выхода системы
			y t, q q0 q y t 1	t q1	3 t q3	4 t q4		при
	q j		0.3 j 1,3, 4 и ступенчатом и гармоническом воздействиях.					■

250

14*. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ

В предыдущем разделе рассмотрен метод решения задачи учета неопределенности (неточности задания, знания) параметров исходного объекта при построении его математической модели, основанный на аппарате траекторной параметрической чувствительности. Аппарат обладает наглядностью, но характеризуется явным системным изъяном, состоящим в том, что он справедлив для неопределенности параметров, не превышающей сорока процентов от их номинальных значений.

Для случаев, когда неопределенность параметров значительно превышает диапазон в 40% от их номинальных значений, в настоящее время разработан аппарат интервальных модельных представлений, изучению возможностей которого посвящен настоящий раздел.

14.1. Элементы интервальных вычислений и линейной алгебры

Проблему, вынесенную в заголовок параграфа будем излагать в форме определений, примечаний и утверждений.

Определение

14.1

(О14.1). Пусть числа ,

такие,

что

,

R ,

, и

при

этом задают

вещественное

число

в

параметризованной относительным параметром q 0,1 форме

ρ q 1 q ρ qp.

(14.1)

число

Тогда

вещественное

интервальное

образуется

экстремальными реализациями этого числа

min q ; q 0,1 ,

max q ; q 0,1

(14.2)

q

q

так, что оно может быть записано в форме

,

(14.3)

Примечание 14.1 (П14.1). Фиксированное число имеет интервальное представление, записываемое в форме , .

Определение 14.2 (О14.2). Интервальным комплексным числомγ ρ jδ называется комплексное число, у которого интервальными

являются вещественная и мнимая части так, что становится

справедливым представление
γ ρ jδ j ,							(14.4)
где, ρ ρ,				, ,
			ρ

251

Определение 14.3 (О14.3). Интервальным вектором x

размерности						n называется вектор с интер вальными компонентами
xi	xi ,
				xi		так, что становится справедливой запись
	x
		col xi ; i							(14.5)
							1, n
	Определение 14.4 (О14.4). Интервальной n m								– матрицей A

называется матрица, составленная из интервальных скалярных компонентов

Aij Aij ,

ij , A row col Aij ; i

j

A

1, n

1, m

(14.6)

при этом справедливым оказывается представление

A A,

,

(14.7)

A

A row col Aij ; i

j

,

где

1, n

1, m

(14.8) A

row col A

ij ; i

j

.

(14.9)

1, n

1, m

Определение 14.5 (О14.5). Произведением

a b c

a a,

b b,

(14.10)

интервальных

чисел

и

называется

a

b

c c,

, граничные значения которого

интервальное число

c

c и c

вычисляются в силу

с min ab, a

,

b,

,

b

a

ab

(14.11)

max ab, a

,

b,

.

c

b

a

ab

(14.12)

Определение 14.6 (О14.6). Суммой

a b d

a a,

b b,

(14.13)

интервальных

чисел

и

называется

a

b

интервальное число d d,

, граничные значения которого d и

d

d

вычисляются с помощью соотношений

d min a b, a

,

b,

a b ,

b

a

a

b

(14.14)

max a b, a

,

b,

.

d

b

a

a

b

a

b

(14.15)

Определение 14.7 (О14.7). Частным от деления

a f

(14.16)

b

a a,

b b,

интервальных

чисел

a

и

b

называется

интервальное число f f ,

, граничные значения которого

f

f и f

вычисляются в силу выражений

a

a

a

a

a

f min

a

,

,

,

, f

max

a

,

,

,

a

.

(14.17)

b

b b

b

b

b b

b

Определение 14.8 (О14.8). Разностью

a b h

(14.18)

252

интервальных

чисел

a a,

и

b b,

называется

a

b

h h,

, граничные значения которого

интервальное число

h

h и h

определяются с помощью выражений

h min a b, a

,

b,

,

b

a

a

b

(14.19)

h max a b, a

,

b,

.

b

a

a

b

(14.20)

Определение 14.9 (О14.9). Фиксированное число

g

имеет

представление g

g,

, которое

интервальное

g

характеризуется

выполнением равенства

g

g

.

(14.21)

Утверждение 14.1 (У14.1). Частное от деления интервального

числа

a

a,

на

самое

себя

является

интервальное

число

a

1a 1a ,

1a

a 1 ,

(14.22)

a

a

граничные значения которого 1

a

и 1a

в силу (14.17) вычисляются с

помощью соотношений

a

a

a

1a

min

a

,

,

,

,

(14.23)

a

a

a

a

a

a

a

1a

max

a

,

,

,

.

(14.24)

a

a

a

a

Утверждение

14.2 (У14.2). Разностью

интервальных

чисел

a a,

и a

a,

a

a

a a 0a

(14.25)

является интервальное число

0a

0a ,

a , граничные значения

0

которого 0a , 0a

в силу (14.14), (14.15) задаются соотношениями

0a min a a, a

,

a,

,

a

a

a

a

(14.26)

0a max a a, a

,

a,

.

a

a

a

a

(14.27)

Определение 14.10 (О14.10). Медианой mid a интервального

a a,

числа

a

называется

фиксированное

число

a0 ,

задаваемое

соотношением

0.5

a .

mid a a0

a

(14.28)

Определение 14.11 (О14.11). Интервальным компонентом wid a

a a,

интервального

числа

a

называется

интервальное

число

a a,

,

a и

a

граничные значения

которого

a

задаются с

помощью соотношений

a0 ,

a a a0 ,

a

a

(14.29)

253

Утверждение 14.3 (У14.3). Интервальное число a a, a в силу

(14.28), (14.29), а также (14.14), (14.15), (14.21) представимо в виде аддитивной композиции

a a0

a ,

Медианой mid a

(14.30)

Определение

14.12 (О14.12).

интервальной

n m

–

матрицы

A A,

,

называется

матрица

с

A

A0

фиксированными скалярными компонентами A0ij

A0 row col A0ij ; i

; j

1, n

1, m

(14.31)

где элементы A0ij

матрицы A0 задаются соотношением

A0ij mid Aij

Aij ,

ij 0.5 Aij

ij .

A

A

(14.32)

Определение 14.13 (О14.13). Интервальным матричным

компонентом wid

A

интервальной

матрицы A A,

называется

A

интервальная матрица A A,

, граничные реализации которой

A

A и

A

задаются соотношениями

A A A0

col row Aij Aij

A0ij ; i

j

,

1, n

1, m

(14.33)

A

A0

col row A

ij

ij

A0ij ; i

j

A

A

1, n

1, m

(14.34)

Утверждение

14.4 (У14.4). Интервальная

n m –

матрица

A A,

в силу

(14.31), (14.33),

(14.34),

а также

(14.32), (14.9)

A

представима в аддитивной форме

A A0

A ,

(14.35)

где A0 mid A , A wid A .

Определение

14.14 (О14.14). Произведением

интервальных

n m – матрицы

A A,

и m k – матрицы B

B,

A

B

A B C

(14.36)

n k –

C C,

называется интервальная

матрица

C

с

Cil Cil ,

,

интервальными

скалярными

элементами

Cil

вычисляемыми в силу соотношений

(14.37)

Cil Aij Bij ; i 1, n; l 1, k ,

m

j i

Aij Bij

где

произведение

интервальных чисел

определяется

в

соответствии с (14.10), (14.11), (14.12) а суммирование этих произведений осуществляется в соответствии с (14.13), (14.14), (П.15).

Определение 14.15 (О14.15). Угловой реализацией ( Ac ) (n m) - интервальной матрицы A A, A A0 A , получаемой в результате

-й выборки 1,2nm из множества мощностью, равной (nm) пар

254

Aij,

ij , i

; j

граничных значений интервальных скалярных

A

1, n

1, m

компонентов Aij матрицы A , называется матрица

A row col A

A , A ,i

; j

(14.38)

1, n

1, m

c

cij

ij

ij

с фиксированными на этой реализации компонентами.

(У14.5). Пусть A A,

интервальный

Утверждение 14.5

A

матричный

компонент

матрицы

A , определенной

в силу

факторизации

в

форме

(14.35),

тогда интервальные

компоненты

Aij

Aij ,

ij

,i

; j

обладают тем свойством, что

A

1, n

1, m

Aij

ij

,i

; j

,

A

1, n

1, m

(14.39)

которое выполняется в силу (14.31), (14.32).

A

Утверждение

14.6

(У14.6).

Угловые реализации

и

A

(n m) -

интервальной матрицы A A,

с

c

A

граничными

c

компонентами A и

A

(14.33), (14.34), полученных в результате -й

и -й выборок , 1,2mn

в силу (14.38) и свойства (14.39) обладают

равными матричными нормами так, что выполняется равенство

A

A

; , 1,2mn .

(14.40)

c

c

Определение

14.16 (О14.16). Интервальным полиномом D(z)

степени n называется полином, коэффициенты которого являются интервальными числами так, что он принимает вид

D z a zn a zn 1 a zn 2 ... a

n 1

z

a

(14.41)

0

1

2

n

где ai ai ,

i ;i

a

0, n

Определение 14.17 (О14.17). Интервальным характеристическим

D

n n

A A,

полиномом ИХП

интервальной

- матрицы

A

называется интервальный полином степени n, получаемый в силу определения характеристического полинома n n - квадратной матрицы

det( I A ) a n a n 1		... a	n 1		a		(14.42)
0	1					n
так, что D det I A .							матрицы A
При формировании	ИХП	D	интервальной

системы необходимо отметить проблему объема вычислений. Очевидно, если размерность матрицы A составляет n n , тогда максимальная мощность множества A c угловых реализаций

матрицы A составляет 2n n , минимальная мощность этого множества

составляет 2n , что имеет место при использовании таких канонических представлений матрицы как диагональное и фробениусово. Однако независимо от базиса мощность множества A c угловых реализаций

может быть зафиксировано на уровне 2 p , где p – число исходных

255

интервальных физических параметров. Мощность множества угловых реализаций может быть заметно сокращена, если разработчик проведет предварительное ранжирование первичных физических параметров . Следует также заметить, что в силу формализма правил интервальной арифметики в процессе математических преобразований выражений, содержащих интервальные компоненты, может происходить резкий

рост ширины wid a системных интервальных параметров a .

Наибольший вклад в этот рост вносят операции вычисления разностиa a и частного от деления a a . Очевидно, в силу

параметризованных представлений a q a q 0 и 1 в том числе и при q 0 и q 1. Таким образом без нарушения существа

интервальных вычислений они могут быть модифицированы допущением a a 0, a a 1.

Приведем несколько способов вычисления коэффициентов ИХП интервальной n n матрицы [A].

Способ 1. Способ основан на обобщенной теореме Ф. Виета.

Пусть спектр собственных значений интервальной матрицы [A]

A i

i ,

i : det I A 0;i

1, n

(14.43)

известен, тогда ИХП (П14.42) представим в форме

D a0 n a1 n 1

n

i ,

... an 1 an

(14.44)

где a0 1,1 1

i 1

Обобщенная теорема Виета устанавливает связь собственных

значений i с коэффициентами ai ;i

в форме

1, n

n

a1 1

tr A ,

(14.45)

i 1

n

i2 ,

a2 i1

(14.46)

i1 1

i2 2

i3

3

a3

n

i2 i3

i1

;

(14.47)

i1 1

i2 2

i3 3

i1i2i3

an 1 1 n 1

n

i1 i 2 im 1 ;

(14.48)

i1 1

i 2 2

i n 1 n 1

1

i1 i 2 i m

n

an 1 n i .

(14.49)

i 1

256

Способ 2. Способ Г. Крамера главных миноров:

n

n

a1 tR A Aij , Aij ,

(14.50)

i 1

i 1

k

ak 1 k Mii ,

(14.51)

где Mii

i 1

алгебраическое дополнение (ii)–го элемента [Aii]

матрицы [A];

an 1 n det A .

(14.52)

Способ 3. Способ У.Ж.Ж. Леверье:

k

ak

1

ai 1 t2 Ak

i 1 ; k

; a0 1

1, n

(14.53)

k i 1

Способ 4. Способ Д.К. Фаддеева:

a

1

tr A H

;k

,

k 1

1,n

(14.54)

k

k

Где

Hk A Hk 1

ak I; H0

I

(14.55)

В

силу выше

изложенного (14.32), (14.33), (14.34)

допустимо

следующее определение

Определение 14.18 (О14.18). Интервальный матричный
компонент
0 0 ,										,
											(14.56)
может быть охарактеризован показателем абсолютной
интервальности,
I								.			(14.57)

Нетрудно видеть, что в силу структуры интервального матричного компонента его Фробениусова норма , а также индуцированные с индексами р=1 и р=∞ нормы всех угловых реализаций этого компонента оказываются фиксированными так, что становится справедливым равенство

I								.	(14.58)
Это	же	положение					оказывается		справедливым	для

индуцированной нормы с индексом р=2 (спектральной нормы) в силу

справедливости соотношения

2

1

1/ 2 для ее оценки через

нормы с индексами р=1 и р=∞.

Определение 14.19 (О14.19). Интервальный матричный

компонент

представленный в форме (14.56) может быть

охарактеризован

показателем I

относительной интервальности

задаваемым соотношением

257

I					I			.	(14.59)
					0

Последние два определения по существу содержат доказательства следующего утверждения

Утверждение 14.7 (У14.7). Оценки абсолютной и относительной интервальности интервальных компонентов исходного интервального объекта (числа, вектора, матрицы) не являются интервальными числами. ■

В заключении необходимо отметить, что формализм правил интервальной арифметики в процессе приведенных выше преобразований математических выражений содержащих интервальные числа, векторы и матрицы, может наблюдаться заметный рост нормы интервальной части интервального компонента. Этот рост в основном определяется операциями вычитания и деления скалярного интервального элемента соответственного самого из себя и самого на себя, не приводящими соответственно к нулевому и единичному результатам. Тем не менее, параметризованная параметром q форма (14.2) интервального скалярного элемента при любых значениях q в перечисленных выше операциях дает нулевой и единичный результаты, в том числе и при граничных значениях q=0 и q=1. В этой связи при построении интервальных модельных представлений предлагается использование модифицированную версию интервальных

вычислений в которых сделаны допущения о справедливости
выполнения равенств a a 0 и	a	1, что не нарушает существа
	a

интервальных вычислений Необходимо отметить также проблемы объема вычислений при

формировании ИХП D интервальной матрицы F системы. Если размерность матрицы F составляет n n , тогда максимальная мощность множества F c угловых реализаций матрицы F

составляет 2n n , минимальная мощность этого множества составляет

2n , что имеет место при использовании таких канонических представлений матрицы как диагональное и фробениусово. Независимо от базиса представления мощность множества F c

угловых реализаций может быть зафиксирована на уровне 2 p , где p –

число исходных интервальных физических параметров. Таким образом целесообразно интервальные вычисления производить не на угловых системных реализациях с накопленной интервальностью, а на угловых реализациях исходных физических параметров. Мощность множества угловых реализаций может быть, кроме того, заметно сокращена, если разработчик проведет предварительное ранжирование первичных физических параметров.

258