4. Закон инерции квадратичной формы. Критерий Сильвестра

Согласно теореме Лагранжа любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду. То есть существует диагонализирующий (канонический) базис, в котором матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид

,

где . Тогда в этом базисе квадратичная форма имеет вид

. (12)

Пусть среди ненулевых элементовимеетсяположительных иотрицательных, причем. Меняя, в случае необходимости нумерацию базисных векторов, можно всегда добиться того, чтобы в диагональной матрице квадратичной формы первыеэлементов были положительными, остальные– отрицательными (если, то последниеэлементов в матрице – нули).

Квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду различными способами (методом Лагранжа, методом ортогональных преобразований или методом Якоби). Но, несмотря на многообразие канонических видов для данной квадратичной формы, имеются такие характеристики её коэффициентов, которые во всех этих канонических видах остаются неизменными. Речь идет о так называемых числовых инвариантах квадратичной формы. Одним из числовым инвариантом квадратичной формы является ранг квадратичной формы.

Теорема 2 (об инвариантности ранга квадратичной формы). Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденных линейных преобразованиях и равен числу отличных от нуля коэффициентов в любом ее каноническом виде. Другими словами, ранг квадратичной формы равен количеству ненулевых собственных чисел матрицы квадратичной формы (с учетом их кратности).

Определение 7. Ранг квадратичной формы называетсяиндексом инерции. Число положительных и число() отрицательных чисел в каноническом виде квадратичной формы называютсяположительным и отрицательным индексами инерции квадратичной формы соответственно. При этом список называетсясигнатурой квадратичной формы.

Положительный и отрицательныйиндексы инерции являются числовыми инвариантами квадратичной формы. Справедлива теорема, называемаязаконом инерции.

Теорема 3 (закон инерции). Канонический вид (12) квадратичной формы определён однозначно, то есть сигнатура не зависит от выбора диагонализирующего базиса (не зависит от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду).

В качестве иллюстрации закона инерции можно показать, что квадратичная форма от трех переменных:

двумя неособенными линейными преобразованиями ,с соответствующими матрицами

,

(первая матрица соответствует методу Лагранжа, вторая – методу ортогональных преобразований) приводится соответственно к двум различным каноническим формам

, .

При этом обе канонические формы имеют одну и ту же сигнатуру

Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы

Квадратичные формы подразделяют на типы в зависимости от множества принимаемых ими значений.

Определение 8. Квадратичная форма называется:

положительно определенной, если для всякого ненулевого вектора :;

отрицательно определенной, если для всякого ненулевого вектора :;

неположительно определенной (отрицательно полуопределенной), если для всякого ненулевого вектора :;

неотрицательно определенной (положительно полуопределенной), если для всякого ненулевого вектора :;

знакопеременной, если существуют ненулевые векторы ,:.

Определение 9. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы называются знакоопределенными. Неположительно (неотрицательно) определенные квадратичные формы называются знакопостоянными.

Тип квадратичной формы можно легко определить, приведя ее к каноническому виду. Справедливы следующие две теоремы.

Теорема 4. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду и имеет сигнатуру(,). Тогда:

является положительно определенной ;

является отрицательно определенной ;

является неположительно определенной ;

является неотрицательно определенной ;

является знакопеременной .

Ниже в таблице указаны примеры квадратичных форм (), записанных в каноническом виде, их тип и сигнатуры.

№	Квадратичная форма	Сигнатура	Тип формы
1			Положительно определенная
2			Отрицательно определенная
3			Неположительно определенная
4			Неотрицательно определенная
5			Знакопеременная, невырожденная
6			Знакопеременная, вырожденная

Теорема 5. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду

методом ортогональных преобразований (собственные значения матрицы формы ). Тогда:

является положительно определенной при всех ;

является отрицательно определенной при всех ;

является неположительно определенной при всех ;

является неотрицательно определенной при всех ;

является знакопеременной среди собственных чисел есть как положительные, так и отрицательные.