Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лекции / LEKKURS7.DOC
Скачиваний:
79
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
981.5 Кб
Скачать

Глава 7. Фильтрация.

1. Понятие цифровой фильтрации.

Понятие фильтрация широко используется во многих областях . Под этим термином обычно понимают создание препятствий для прохождения каких-либо объектов.

Например, в электротехнике фильтры используются для преобразования электрических сигналов из одной формы в другую, главным образом, чтобы исключить (отфильтровать) различные частоты в сигнале.

В теории цифровой обработки сигналов мы будем понимать понятие фильтрации в более широком смысле.

Пусть в результате дискретизации некоторого непрерывного сигнала получена цифровая последовательность данных.

Будем понимать под цифровой фильтрацией такое преобразование сигнала, при которой связь между входной и выходной последовательностями является линейной .

Так ,например , такой сигнал можно просто регистрировать, дифференцировать, интегрировать, сглаживать, интерполировать и экстраполировать, устранять из него шум и т.д. Все эти операции являются линейными и могут рассматриваться как фильтрация цифровых данным.

На первый взгляд такое определение фильтрации стоит в стороне от традиционного понимания этого явления. Однако, если рассмотреть операции над данными, которые мы определили как фильтрацию, с частотной точки зрения, то можно убедится, что такие операции есть фильтрация и в обычном смысле.

Частотный спектр сигнала при таких операциях над ним претерпевает изменения, некоторые частоты подавляются, другие усиливаются.

С такой точки зрения обработка данных (линейная) вообще и есть фильтрация. Поэтому каждую конкретную линейную процедуру над последовательностью данных будем называть цифровым фильтром.

2. Дискретная свертка как временное описание процесса фильтрации. Рекурсивные и нерекурсивные фильтры.

Математической базой для построения и использования цифровых фильтров являются теория ряда и преобразования Фурье.

Как было показано в главе 5, дискретизацию непрерывного сигнала, т.е. взятие равноотстоящих отсчетов с временным интервалом Т , можно математически записать с использованием -функции:

(1).

Или переходя от дискретных моментов времени nT к самим временным отсчетам n и учитывая при этом свойство -функции

, получим:

(2).

Итак, (2) представляет собой цифровую последовательность которая будет подвергаться обработке. При этом любая обработка сигнала математически может быть рассмотрена как однозначное преобразование или оператор, отображающий входную последовательность x (n) в выходную последовательность, которую обозначим за y(n). Формально этот процесс можно записать в виде

y(n)= A[x(n)], а графически часто изображается так, как показано на рис.1.

Рис.1 Представление преобразования, отображающего входную последовательность x(n) в выходную последовательность y(n).

Будем называть последовательность y(n), полученную в результате обработки некоторой системой, описываемой оператором А, входного сигнала x(n) откликом этой системы на x(n).

Так как под фильтрацией мы условились понимать лишь линейные преобразования последовательности данных, то будем сейчас рассматривать лишь линейные системы обработки и описывающие их линейные операторы А.

Класс линейных систем ( или линейных операторов) определяется выполнением принципа суперпозиции:

Если y1(n) и y2(n) отклики на x1(n) и x2(n) , соответственно, то система линейна тогда и только тогда , когда для произвольных a и b выполняется равенство:

(3).

Наложим на систему обработки еще одно ограничение, состоящее в инвариантности к сдвигу.

Класс инвариантных к сдвигу систем характеризуется следующим свойством: если y(n) отклик на x(n) , то y(n-k) - отклик на x(n-k). Когда индекс n связывается со временем, свойству инвариантности к сдвигу соответствует свойство инвариантности во времени. Т.е. будем рассматривать только линейные стационарные системы, параметры которых не зависят от времени.

Как следует из представления (2) , входная последовательность может быть рассмотрена как линейная комбинация взвешенных смещенных -функций. Учитывая справедливость для линейных систем, инвариантных к сдвигу, принципа суперпозиции (3), можно сделать фундаментальный вывод о том, что такая система может быть полностью охарактеризована ее откликом на . И такая характеристика системы носит специальное название - функция отклика , обозначаемая как h(n) .

Таким образом, любая линейная инвариантная к сдвигу система полностью характеризуется функцией отклика h(n) , т.е. реакцией на единичный -образный импульс.

Из свойства инвариантности к сдвигу следует, что если h(n) - отклик на (n), то h(n-k) - отклик на (n-k).

Рис.2

Применяя любую линейную инвариантную к сдвигу систему, описываемую оператором А, для обработки произвольного входного сигнала x(n) ,представленного в виде (2), получим на выходе

(5).

Правая часть выражения (5) представляет собой ни что иное как , свертку последовательностей x(n) и h(n) .

(5a).

Таким образом, фильтрация сигнала x(n) , осуществляемая некоторой системой (фильтром), производится путем его свертки во временном представлении с функцией отклика h(n), являющейся характеристикой данной системы.

Формулу (6) и примем за определение одного из типов цифровых фильтров, называемых нерекурсивными. Позже мы определим еще один тип фильтров, называемых рекурсивными , в которых значения y(n) вычисляются как линейная комбинация не только равностоящих отсчетов x(n-k) сигнала x(t) как в (6), но и уже вычисленных значений на выходе y(n-k) .

Соседние файлы в папке лекции