Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

лекции / LEKKURS7

.DOC
Скачиваний:
34
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
981.5 Кб
Скачать

Глава 7.

ФИЛЬТРАЦИЯ.

1. Понятие цифровой фильтрации.

Понятие фильтрация широко используется во многих областях . Под этим термином обычно понимают создание препятствий для прохождения каких-либо объектов.

Например, в электротехнике фильтры используются для преобразования электрических сигналов из одной формы в другую, главным образом, чтобы исключить (отфильтровать) различные частоты в сигнале.

В теории цифровой обработки сигналов мы будем понимать понятие фильтрации в более широком смысле.

Пусть в результате дискретизации некоторого непрерывного сигнала получена цифровая последовательность данных.

Будем понимать под цифровой фильтрацией такое преобразование сигнала, при которой связь между входной и выходной последовательностями является линейной .

Так ,например , такой сигнал можно просто регистрировать, дифференцировать, интегрировать, сглаживать, интерполировать и экстраполировать, устранять из него шум и т.д. Все эти операции являются линейными и могут рассматриваться как фильтрация цифровых данным.

На первый взгляд такое определение фильтрации стоит в стороне от традиционного понимания этого явления. Однако, если рассмотреть операции над данными, которые мы определили как фильтрацию, с частотной точки зрения, то можно убедится, что такие операции есть фильтрация и в обычном смысле.

Частотный спектр сигнала при таких операциях над ним претерпевает изменения, некоторые частоты подавляются, другие усиливаются.

С такой точки зрения обработка данных (линейная) вообще и есть фильтрация. Поэтому каждую конкретную линейную процедуру над последовательностью данных будем называть цифровым фильтром.

2. Дискретная свертка как временное описание процесса фильтрации. Рекурсивные и нерекурсивные фильтры.

Математической базой для построения и использования цифровых фильтров являются теория ряда и преобразования Фурье.

Как было показано в главе 5, дискретизацию непрерывного сигнала, т.е. взятие равноотстоящих отсчетов с временным интервалом Т , можно математически записать с использованием -функции:

(1).

Или переходя от дискретных моментов времени nT к самим временным отсчетам n и учитывая при этом свойство -функции

, получим:

(2).

Итак, (2) представляет собой цифровую последовательность которая будет подвергаться обработке. При этом любая обработка сигнала математически может быть рассмотрена как однозначное преобразование или оператор, отображающий входную последовательность x (n) в выходную последовательность, которую обозначим за y(n). Формально этот процесс можно записать в виде

y(n)= A[x(n)], а графически часто изображается так, как показано на рис.1.

Рис.1 Представление преобразования, отображающего входную последовательность x(n) в выходную последовательность y(n).

Будем называть последовательность y(n), полученную в результате обработки некоторой системой, описываемой оператором А, входного сигнала x(n) откликом этой системы на x(n).

Так как под фильтрацией мы условились понимать лишь линейные преобразования последовательности данных, то будем сейчас рассматривать лишь линейные системы обработки и описывающие их линейные операторы А.

Класс линейных систем ( или линейных операторов) определяется выполнением принципа суперпозиции:

Если y1(n) и y2(n) отклики на x1(n) и x2(n) , соответственно, то система линейна тогда и только тогда , когда для произвольных a и b выполняется равенство:

(3).

Наложим на систему обработки еще одно ограничение, состоящее в инвариантности к сдвигу.

Класс инвариантных к сдвигу систем характеризуется следующим свойством: если y(n) отклик на x(n) , то y(n-k) - отклик на x(n-k). Когда индекс n связывается со временем, свойству инвариантности к сдвигу соответствует свойство инвариантности во времени. Т.е. будем рассматривать только линейные стационарные системы, параметры которых не зависят от времени.

Как следует из представления (2) , входная последовательность может быть рассмотрена как линейная комбинация взвешенных смещенных -функций. Учитывая справедливость для линейных систем, инвариантных к сдвигу, принципа суперпозиции (3), можно сделать фундаментальный вывод о том, что такая система может быть полностью охарактеризована ее откликом на. И такая характеристика системы носит специальное название - функция отклика , обозначаемая как h(n) .

Таким образом, любая линейная инвариантная к сдвигу система полностью характеризуется функцией отклика h(n) , т.е. реакцией на единичный -образный импульс.

Из свойства инвариантности к сдвигу следует, что если h(n) - отклик на (n), то h(n-k) - отклик на(n-k).

Рис.2

Применяя любую линейную инвариантную к сдвигу систему, описываемую оператором А, для обработки произвольного входного сигнала x(n) ,представленного в виде (2), получим на выходе

(5).

Правая часть выражения (5) представляет собой ни что иное как , свертку последовательностей x(n) и h(n) .

(5a).

Таким образом, фильтрация сигнала x(n) , осуществляемая некоторой системой (фильтром), производится путем его свертки во временном представлении с функцией отклика h(n), являющейся характеристикой данной системы.

Формулу (6) и примем за определение одного из типов цифровых фильтров, называемых нерекурсивными. Позже мы определим еще один тип фильтров, называемых рекурсивными , в которых значения y(n) вычисляются как линейная комбинация не только равностоящих отсчетов x(n-k) сигнала x(t) как в (6), но и уже вычисленных значений на выходе y(n-k) .

3. Частотный анализ цифровой фильтрации.

Чтобы глубже раскрыть понятие фильтрации, рассмотрим

теперь этот процесс , пользуясь частотным представлением сигналов. При переходе от временного представления к частотному будем пользоваться преобразованием Фурье в дискретном времени чтобы иметь дело с физической величиной- частотой, а не с ее отсчетами.Т.е. образом временной последовательности h(n) будет непрерывная функция частоты :

(6)

Обозначим Фурье-образы входного сигнала x(n) , выходного сигнала y(n) , и функции отклика h(n) , соответственно, как . Согласно теореме о свертке, равенство (6) в частотной области примет вид:

(7).

Т.е. при фильтрации спектр входного сигнала всегда претерпевает изменения в соответствии с видом функции .

Функция , равная отношению выходного сигнала к входному в частотном представлении носит название передаточной функции системы : (8).

Т.к. преобразование Фурье даже действительных последовательностей есть комплексная величина, то

(9).

Величина (10)

называется коэффициентом усиления фильтра. Фаза передаточной функции определяется по формуле:(11).

Поскольку передаточная функция является образом Фурье функции отклика h(n), то в силу эквивалентности частотного и временного представления сигналов она также может рассматриваться как полная характеристика системы (фильтра).

К этому факту можно прийти и с другой точки зрения.

Рассмотрим реакцию системы на комплексную синусоиду .

Дискретизуя такой входной сигнал с единичным временным интервалом, и подставляя полученную входную последовательность в (5), получим:

(12).

Т.е. у линейных инвариантных к сдвигу систем отклик на комплексную синусоиду есть синусоида той же частоты с амплитудой и фазой , определяемой системой .

Т.к. любой сигнал может быть представлен как суперпозиция комплексных экспонент, то полностью определяет реакцию системы на любой сигнал. Отметим, что как раз это свойство линейных инвариантных к сдвигу систем и объясняет выбор в качестве ортогонального базиса для представления сигналов именно синусоид ( или комплексных экспонент).

Сравнивая же оба подхода (временной и частотный) к объяснению цифровой фильтрации, можно отметить несомненное преимущество в данном случае частотного подхода.

Процедура умножения психологически воспринимается легче, чем операция свертки, и делает частотный подход значительно более понятным по сравнению с временным.

Обратимся к частотному подходу, чтобы показать, что сигнал неизбежно подвергается фильтрации ,т.е. его спектр подвергается изменению, даже если он просто регистрируется прибором. При этом становится более понятным смысл функции отклика как характеристики фильтра.

Пусть входной сигнал представляет собой импульс бесконечно малой продолжительности (n). Образ Фурье такого сигнала есть константа, т.е. спектр такого сигнала есть вся частотная ось. Но ни один реальный прибор не в состоянии зарегистрировать или передать всю полосу частот. Даже самый совершенный аппарат не воспринимает частоты выше некоторой максимальной частоты. Поэтому на выходе спектр сигнала оказывается урезанным, и ширина его спектра , равная ширине передаточной функции как раз и является характеристикой возможностей прибора. Чем больше ширина пропускания системы, тем более широким будет спектр выходного сигнала, тем, согласно принципу неопределенности ,он будет более локализован во времени, т.е. тем более узкой будет функция отклика такой системы.

Если регистрировать тот же сигнал другим устройством , то на выходе он будет выглядеть иначе ( согласно его функции отклика) .

Таким образом, всегда необходимо иметь в виду , что сигнал на выходе любой системы определяется не только входным сигналом, но и характеристиками этой системы, согласно формуле (6) .

4. Примеры цифровых фильтров.

Рассмотрим некоторые классические примеры применения цифровых фильтров (хотя эти применения не всегда представляют как цифровую фильтрацию).

В качестве примера рассмотрим сглаживание данных по методу скользящего среднего (фактически это есть метод наименьших квадратов) как цифровую фильтрацию.

Рассмотрим процесс сглаживания потока данных пятерками, при котором находится среднее значение для 5-ти следующих подряд точек и это значение присваиваивается средней точке соответствующей пятерки:

(16).

Рассмотрим эту процедуру с частотной точки зрения.

Согласно (12), передаточную функцию можно найти как реакцию системы на комплексную синусоиду . Дискретизуем синусоиду с временным интервалом, равным единице. В результате получим входную последовательность значений .

Подставляя эту последовательность в (16), получим выходную последовательность

(17).

Отсюда получим выражение для передаточной функции:

(18).

Очевидно, является периодической функцией от.

Однако из-за исходной дискретизации с временным интервалом Т=1 частотный интервал Найквиста равен 1/T=1 и передаточная функция имеет смысл лишь на этом интервале. кроме того, поскольку передаточная функция является четной относительно нулевой частоты, то имеет смысл рассматривать ее на положительной половине частотного интервала Найквиста.

Для сглаживания по m точкам получим передаточную функцию :

(19).

На рис.3 показан график передаточной функции для m=3,5,9.

Рис.3 Передаточная функция сглаживающего фильтра по методу скользящего среднего.

Из рисунка видно, что нулевая частота передается через сглаживающий фильтр без изменения, а остальные частоты претерпевают ослабление . При этом чем больше слагаемых используется для сглаживания, тем значительнее ослабляются высокие частоты. Если посмотреть с частотной точки зрения другие формулы сглаживания, приняв при этом предположение, что такие формулы исходно предназначены для удаления случайных флуктуаций данных (шума)

таким образом сглаживание данных есть не что иное как ослабление высокочастотных составляющих сигналов, с которыми ( как будет показано ниже ) отождествляются шумовые составляющие . Другими словами , сглаживающий фильтр осуществляет удаление случайной шумовой компоненты из входного сигнала, выделяя из него информативную часть- собственно сигнал.

Иногда удобнее задавать фильтр в частотной области, а затем определить его вид во временной. Хорошим примером такой системы, которая эффективно описывается в частотной области, является низкочастотный фильтр, пропускающий только полосу частот , где-частота среза , пределы изменения которой, где- частота Найквиста. Очевидно, что передаточная функция такого фильтра будет иметь следующий вид:

(9),

Легко видеть, что такой фильтр полностью удаляет из входного сигнала компоненты с частотой вне заданной полосы.

6. Расчет нерекурсивных цифровых фильтров.

Определение временной последовательности h(n) по известной передаточной функции и составляет понятие расчета нерекурсивных фильтров. Согласно (6) , h(n) и являются парой преобразования Фурье в дискретном времени. Поскольку вследствие временной дискретизации является периодической функцией частоты с периодом, равным частотному интервалу Найквиста , то преобразование (6) можно рассматривать как разложение в ряд Фурье, а h(k) - коэффициенты Фурье этого разложения. Таким образом, расчет рекурсивных фильтров фактически сводится к разложению передаточной функции в ряд Фурье.

Рассчитаем для примера вышеупомянутый низкополосной фильтр, т.е. фильтра, пропускающего без изменения интервал частот от 0 до частоты, называемой частотой среза , которая не должна превышать половину частоты Найквиста, и подавляющего все остальные частоты.

Для удобства расчета, перенормируем ось частот ,приняв половину частоты Найквиста за единицу.

(25a).

При этом пределы изменения частота срезабудут.

Таким образом, передаточная функция такого фильтра имеет вид прямоугольного импульса , периодически продолженного за пределами интервала Найквиста. Разложение в комплексный ряд Фурье в частотной области имеет вид:

(26)

Соответственно, выражения для коэффициентов следующие:

(27).

Вычисляя по этой формуле коэффициенты Фурье, подставив получим следующее разложение нашей передаточной функции:

(28).

Учитывая тот факт, что , получим выражение для идеальной передаточной функции низкочастотного фильтра:

(29).

Чтобы преобразовать низкочастотный фильтр в высокочастотный , необходимо вычислить только x(n)-y(n) в качестве нового фильтра. Такой фильтр , наоборот, будет пропускать частоты выше и подавлять ниже частоты среза. Комбинируя низкочастотные фильтры, можно построить полоснопропускающие или полоснозапирающие фильтры.

Так , чтобы построить высокочастотный фильтр, т.е. фильтр, пропускающий полосу и подавляющий полосу, необходимо взять x(n)-y(n) в качестве нового фильтра.

Идеальная передаточная функция полосового фильтра получается комбинированием двух полоснопропускающих фильтров.

(32).

Для практических целей всегда приходится ограничивать формируемый ряд Фурье N членами разложения. Как известно(см.гл.2), усечение ряда Фурье приводит к эффекту Гиббса: осцилляциям вблизи точек разрыва в графике суммы усеченного ряда Фурье разрывной функции. Поскольку этот эффект будет вносить искажения в передаточную функцию фильтра, то требуется найти способ борьбы с этим эффектом. Кроме того, усечение ряда Фурье приводит еще к одному фактору, который надо учитывать при построении цифровых фильтров - это обязательное наличие между полосой пропускания и полосой запирания фильтра так называемой переходной полосы.

Чтобы показать способы влияния на величину переходной полосы, а также устранения эффекта Гиббса, разберемся более детально в причине их появления.

Пусть реальная передаточная функция получается простым усечением соответствующего ряда Фурье. Это усечение можно рассматривать как умножение коэффициентов ряда на множители, равные единице когда индекс по модулю не превосходит N. Таким образом приходим к понятию естественного временного окна.

(32)

Где

(33)

Таким образом, реальную передаточную функцию, полученную обрезанием ряда Фурье, можно представить как свертку идеальной передаточной функции с образом Фурье естественного прямоугольного окна (33).

Т.е. реальная передаточная функция , полученная из идеальной простым усечением, связана с ней следующим образом:

(34).

Чтобы геометрически рассмотреть процесс такой свертки, прежде

оценим ширину центрального лепестка спектрального окна.

Теперь покажем, что усечение ряда Фурье передаточной функции приводит не только к осцилляциям, но и непременно к существованию некоторой переходной полосы от полосы пропускания к полосе непропускания.

Представим себе геометрически свертку прямоугольной функции (9) с окном (33).

Будем изменять частоту , начиная от некоторого . Так как прямоугольная функция при таких частотах пересекается только с осциллирующим хвостом синусоиды, то значения свертки для таких частот равно нулю. Как только, т.е. главный лепесток (33) войдет в прямоугольный импульс, значение свертки (34) при дальнейшем увеличении частоты начнет расти. Приполовина главного лепестка войдет в прямоугольный импульс . Значение свертки будет расти до значения частоты, а далее, т. к. значения окна приобретают осциллирующий характер, значения реальной передаточной функции сначала начнет падать, далее снова расти и т.д., повторяя осциллирующий характер хвоста окна на фоне некоторого плато. При дальнейшем увеличении частоты мы в конце концов подойдем к правому краю рассматриваемого фильтра и аналогичным образом сформируется положительно-частотный фронт передаточной функции. Таким образом, в силу конечности используемых на практике фильтров между полосой подавления и полосой пропускания всегда имеется переходная полоса, ширина которой равна ~1/N. Таким образом, чтобы уменьшить переходную полосу, нужно учитывать как можно больше членов разложения передаточной функции в ряд Фурье. На практике ,так как мы хотим иметь как можно меньше членов в разложении и одновременно иметь хорошие характеристики фильтра, необходимо прибегать к некоторому разумному компромиссу. Поэтому при расчете фильтров обычно ширина переходной полосы задается как параметр, который можно реализовать соответствующим выбором порядка фильтра.

Естественной помехой вследствие усечения ряда будем не только переходная полоса, по эффект Гиббса, который приводит к пульсациям передаточной функции. Из теории ряда Фурье нам известно, что такая неравномерная сходимость может быть уменьшена за счет менее резкого усечения ряда Фурье. Если вместо естественного прямоугольного окна использовать окно, постепенно сходящее к нулю с каждой стороны, то можно достичь сглаживания этих колебаний, правда за счет увеличения ширины переходной полосы.

Возьмем ,к примеру, вместо прямоугольного окна треугольное, которое называется окном Бартлетта.

Как известно треугольный импульс можно представить как свертку двух прямоугольных импульсов вдвое меньшей ширины.

Поэтому спектральный вид такого окна можно найти как произведение образов Фурье двух одинаковых прямоугольных окон (33), но с шириной N/2. Кроме того, чтобы максимум треугольного импульса был нормирован на единицу, нужно умножить свертку и ее преобразование на множитель 1/(N/2). Таким образом, окно Бартлетта в частотной области имеет вид

(36).

Сравним это окно с , что главный максимум этого окна равен N/2, в то время как прямоугольного окна N. Ширина центрального лепестка равна 2/N, ширина боковых лепестков 1/N ,что в два раза больше соответствующих расстояний для прямоугольного окна. Отношение главного максимума к первому оказывается на порядок большим, чем для прямоугольного . В результате применения треугольного окна получим, что амплитуда пульсаций в полосе пропускания и в полосе запирания оказывается на порядок ниже, чем для прямоугольного окна, но зато переходная полоса оказывается в два раза шире.

Таким образом мы опять должны выбирать некоторый компромиссный вариант, чтобы обеспечить требуемую ширину переходной полосы и , одновременно, чтобы колебания в полосе пропускания и в полосе запирания не превышали заданного значения.

Еще на порядок лучшего сглаживания можно добиться применением окна Хеннинга:

4.Окно Кайзера

где -модифицированная функция Бесселя первого рода т нулевого порядка. Окна Кайзера являются оптимальными в смысле обладания наибольшей энергией в главном лепестке при данной амплитуде пика бокового лепестка. Параметр альфа можно подобрать так, чтобы обеспечить компромисс между шириной главного лепестка и пиком амплитуды бокового лепестка.

Соседние файлы в папке лекции