3. Частотный анализ цифровой фильтрации.

Чтобы глубже раскрыть понятие фильтрации, рассмотрим

теперь этот процесс , пользуясь частотным представлением сигналов. При переходе от временного представления к частотному будем пользоваться преобразованием Фурье в дискретном времени чтобы иметь дело с физической величиной- частотой, а не с ее отсчетами.Т.е. образом временной последовательности h(n) будет непрерывная функция частоты :

(6)

Обозначим Фурье-образы входного сигнала x(n) , выходного сигнала y(n) , и функции отклика h(n) , соответственно, как . Согласно теореме о свертке, равенство (6) в частотной области примет вид:

(7).

Т.е. при фильтрации спектр входного сигнала всегда претерпевает изменения в соответствии с видом функции .

Функция , равная отношению выходного сигнала к входному в частотном представлении носит название передаточной функции системы : (8).

Т.к. преобразование Фурье даже действительных последовательностей есть комплексная величина, то

(9).

Величина (10)

называется коэффициентом усиления фильтра. Фаза передаточной функции определяется по формуле: (11).

Поскольку передаточная функция является образом Фурье функции отклика h(n), то в силу эквивалентности частотного и временного представления сигналов она также может рассматриваться как полная характеристика системы (фильтра).

К этому факту можно прийти и с другой точки зрения.

Рассмотрим реакцию системы на комплексную синусоиду .

Дискретизуя такой входной сигнал с единичным временным интервалом, и подставляя полученную входную последовательность в (5), получим:

(12).

Т.е. у линейных инвариантных к сдвигу систем отклик на комплексную синусоиду есть синусоида той же частоты с амплитудой и фазой , определяемой системой .

Т.к. любой сигнал может быть представлен как суперпозиция комплексных экспонент, то полностью определяет реакцию системы на любой сигнал. Отметим, что как раз это свойство линейных инвариантных к сдвигу систем и объясняет выбор в качестве ортогонального базиса для представления сигналов именно синусоид ( или комплексных экспонент).

Сравнивая же оба подхода (временной и частотный) к объяснению цифровой фильтрации, можно отметить несомненное преимущество в данном случае частотного подхода.

Процедура умножения психологически воспринимается легче, чем операция свертки, и делает частотный подход значительно более понятным по сравнению с временным.

Обратимся к частотному подходу, чтобы показать, что сигнал неизбежно подвергается фильтрации ,т.е. его спектр подвергается изменению, даже если он просто регистрируется прибором. При этом становится более понятным смысл функции отклика как характеристики фильтра.

Пусть входной сигнал представляет собой импульс бесконечно малой продолжительности (n). Образ Фурье такого сигнала есть константа, т.е. спектр такого сигнала есть вся частотная ось. Но ни один реальный прибор не в состоянии зарегистрировать или передать всю полосу частот. Даже самый совершенный аппарат не воспринимает частоты выше некоторой максимальной частоты . Поэтому на выходе спектр сигнала оказывается урезанным, и ширина его спектра , равная ширине передаточной функции как раз и является характеристикой возможностей прибора. Чем больше ширина пропускания системы, тем более широким будет спектр выходного сигнала, тем, согласно принципу неопределенности ,он будет более локализован во времени, т.е. тем более узкой будет функция отклика такой системы.

Если регистрировать тот же сигнал другим устройством , то на выходе он будет выглядеть иначе ( согласно его функции отклика) .

Таким образом, всегда необходимо иметь в виду , что сигнал на выходе любой системы определяется не только входным сигналом, но и характеристиками этой системы, согласно формуле (6) .