Глава 2. Преобразование фурье. Свойства преобразования фурье.

2.1 Интегральная формула Фурье как предельный случай ряда.

Как следует из теории ряда Фурье, он применим при обращении с периодическими функциями и с функциями с ограниченным интервалом изменения независимых переменных ( поскольку этот интервал может быть расширен на всю ось путем периодического продолжения функции). Однако периодические функции сравнительно редки на практике. Эта ситуация требует создания более общего математического аппарата для обращения с непериодическими функциями, а именно интеграла Фурье и на его основе, преобразования Фурье.

Рассмотрим непериодическую функцию f(t) как предел периодической с периодом T=2l при l®¥.

Периодическая функция с периодом 2l может быть представлена в виде разложения в ряд Фурье ( воспользуемся комплексной его формой)

(1)

где выражения для коэффициентов имеют вид:

(2)

Введем следующее обозначение для частот:

(3)

Запишем разложение в ряд Фурье в виде одной формулы, подставив в (1), выражение для коэффициентов (2) и для частоты (3) :

(4)

Спектр периодической функции с периодом 2l дискретный

.

Обозначим минимальное расстояние между точками спектра, равное основной частоте колебаний за , т.е.

и введем это обозначение в (4):

(5).

В таких обозначениях ряд Фурье напоминает интегральную сумму для функции .

Переходя к пределу при T=2l®¥ к непериодической функции, получим, что частотный интервал становится бесконечно малым ( обозначим его за dw), а спектр становится непрерывным. С математической точки зрения это соответствует замене суммирования по дискретному набору интегрированием по соответствующей переменной в бесконечных пределах.

(5)

Это выражение и есть интегральная формула Фурье.

2.2 Формулы преобразования Фурье.

Интеграл Фурье удобно представить в виде суперпозиции двух

формул:

(6)

(7)

Функция F(w), сопоставляемая по первой формуле функции f(t), называется ее преобразованием Фурье. В свою очередь, вторая формула, позволяющая найти исходную функцию по ее образу, называется обратным преобразованием Фурье. Обратим внимание на симметрию формул для прямого и обратного преобразования Фурье с точность до постоянного множителя 1/2p и знака в показателе экспоненты.

Символически прямое и обратное преобразование Фурье будем обозначать как f(t)~F(w).

Проводя аналогию с тригонометрическим рядом Фурье, можно прийти к выводу, что образ Фурье (6) является аналогом коэффициента Фурье (см.(2)), а обратное преобразование Фурье (7) является аналогом разложения функции в тригонометрический ряд Фурье (см.(1)).

Отметим, что множитель вместо обратного преобразования можно отнести к прямому преобразованию Фурье или сделать симметричные множители для прямого и обратного преобразований . Главное, чтобы оба преобразования вместе составляли интегральную формулу Фурье (5), т.е. произведение постоянных множителей при прямом и обратном преобразовании должно быть равно ..

Отметим, что для прикладных целей более удобной оказывается не угловая частота w, а частота n, связанная с первой соотношением w=2pn. и измеряемая в герцах (Гц). В терминах этой частоты формулы преобразования Фурье будут иметь вид:

(6б),

(7б).

Сформулируем без доказательства достаточные условия существования преобразования Фурье.

1) f(t) - ограничена при tÎ(-¥,¥);

2) f(t) - абсолютно интегрируема на tÎ(-¥,¥);

3) Число точек разрыва, максимума и минимума функции f(t) конечно.

Другим достаточным условием является требование квадратичной интегрируемости функции на свей действительной оси, что физически соответствует требованию конечной мощности сигнала.

Таким образом, с помощью преобразования Фурье мы имеем два способа представления сигнала: временное f(t) и частотное F(w).

2.3 Свойства преобразования Фурье.

1. Линейность.

Если f(t)~F(w),g(t)~G(w),

то аf(t)+bg(t) ~aF(w)+bG(w).

Доказательство основано на линейных свойствах интегралов.

2. Четность.

2.1 Если f(t) действительная четная функция и f(t)~F(w), то F(w) также действительная четная функция.

Доказательство:

Используя определение (6), а также формулу Эйлера

получим

-четная функция.

2.2 Если f(t) -нечетная действительная функция,то F(w)- нечетная мнимая функция.

2.3 Если f(t) произвольная действительная функция, F(w) имеет четную действительную часть и нечетную мнимую часть.

Доказательство:

Cвойства четности 2 можно суммировать в формуле :

3. Подобие

Если f(t)~F(w), то f(at) ~ .

4. Смещение.

4.1 Если f(t)~F(w), то f(t-a) ~.

Т.е. запаздыванию во времени соответствует умножение на комплексную экспоненту в области частот.

4.2 Если f(t)~F(w), то~.

Т.е. смещение по частоте соответствует умножению на комплексную экспоненту во временной области.

5. Если f(t)~F(w),то

5.1 f’(t)~iwF(w),~

если f(t) имеет n непрерывных производных .

Доказательство:

5.2 ~,~,

если F(w) имеет n непрерывных производных.

Доказательство:

2.4 Важнейшие примеры нахождения преобразования Фурье.

1) ~

где - прямоугольный импульс

2) ~

3) ~

При этом мы учли, что - интеграл Пуассона.

Нахождение последнего интеграла можно пояснить следующим образом. Контур интегрирования С есть прямая в комплексной плоскости (t,w), параллельная действительной оси (w-постоянное число). Интеграл от скалярной функции по замкнутому контуру равен нулю. Образуем замкнутый контур, состоящий из прямой С и действительной оси t, замыкающихся на бесконечности. Т.к. на бесконечности подинтегральная функция стремится к нулю, то интегралы по замыкающим кривым равны нулю. Значит интеграл по прямой С равен интегралу, взятому по действительной действительной оси, проходимой в положительном направлении.