лекции / LEKKURS3

Глава 3.

Понятие обобщенной функции.

d-функция и ее свойства.

3.1 Необходимость введения понятия обобщенной функции при описании дискретных величин.

Необходимость обобщения классического понятия функции, характеризуемого заданием значений функции при всевозможных значениях аргумента, возникает при описании сосредоточенных величин (точечная масса, точечный заряд, точечный источник тепла, мгновенный импульс и т.д.).

Покажем, что с классической точки зрения описать такие величины нельзя. Для примера, попытаемся определить плотность создаваемую материальной точкой массы 1. Считаем, что эта точка совпадает с началом координат. Чтобы определить эту плотность, распределим массу 1 равномерно по отрезку длины e с центром в точке 0. В результате получим среднюю плотность

(1)

Cтягивая отрезок к точке ( при этом e 0 ), мы должны в пределе получить искомую плотность ( обозначим ее за d(x)), т.е. (2)

От плотности d(x) естественно требовать, чтобы интеграл от нее по любому отрезку , содержащему материальную точку ,давал бы массу, т.е.

(3)

Очевидно, что с классической точки зрения равенства (2) и (3) несовместны: функцию d(x) надо считать либо неинтегрируемой, либо , либо с интегралом , равным нулю на любом отрезке ( в смысле несобственного интеграла). Полученное противоречие показывает, что поточенный предел функциональной последовательности не может быть принят в качестве плотности материальной точки.

С другой стороны, плотность материальной точки ( как и плотность точечного заряда и т.п.) являются идеализированными понятиями. Реально нельзя, например, измерить плотность вещества в точке, а можно лишь измерить его среднюю плотность в достаточно малой окрестности этой точки и объявить эту величину плотностью в данной точке. Т.е. при описании сосредоточенных величин имеет смысл не сама плотность распределения, а некоторый интеграл от нее.

3.2 d-функция как слабый предел функциональной последовательности.

Для того, чтобы подойти к другому определению d-функции, изучим одно свойство семейства функций .

А именно, вычислим слабый предел последовательности функций ,e 0, т.е. для любой непрерывной функции найдем предел числовой последовательности

приe 0.

Покажем, что

Действительно, в силу непрерывности функции для любого h>0 существует такое ,что , при условии, что . Отсюда при всех получаем

что и требовалось доказать.

Поэтому искомую функцию d(x) можно интерпретировать как предельный элемент последовательности функций в смысле слабой сходимости,т.е.

Таким образом, в отличие от классических функций, ставящих в соответствие каждому числу x некоторое числовое значение y(x) , дельта-функция устанавливает зависимость между функцией и числом, а именно каждой непрерывной функции ставит в зависимость число - значение ее в точке x=0. Функции , определенные на множествах, элементами которых также являются функции, называют функционалами. Можно показать, что построенный функционал является линейным и непрерывным, т.е. удовлетворяет свойствам

1) линейность:

2) непрерывность: если

Можно построить много функциональных последовательностей, имеющих пределом d-функцию.

Покажем, например, что можно рассматривать d-функцию как предел функциональной последовательности приm ¥,т.е.

В силу непрерывности функции для любого h>0 существует такое ,что , при условии, что . Отсюда при всех получаем

Другие аналогичные примеры можно построить, взяв произвольную функцию F(x) , имеющую максимум при и быстро убывающую в обе стороны от нуля и такую, что . Если ввести в такую функцию параметр m по правилу , то при m ¥ значение функции при растет , а ширина линии во столько же раз уменьшается , так что условие выполняется. Слабый предел любой такой функциональной последовательности можно рассматривать как представление d-функции.

Например,

и т.д.

Все предыдущие построения можно вести, используя бесконечно убывающий параметр .

3.3 Свойства d-функции.

Основные свойства d-функции.

1)

Получается при воздействии функционалом d(x) на =1

2)

т.к.

3)

Для доказательства введем новую переменную y=ax.

Если а>0

Если а<0

4) если g(x)=0 только при x=0.

Доказательство:

Разложим g(x) вблизи x=0:

g(x)=g(0)+g’(0)x=g’(0)x

Здесь мы учли , что g(0)=0. Т.к. g’(0)=const, то используя свойство 3 получаем

4a) Если уравнение g(x)=0 имеет s простых корней, то

Если имеются кратные корни уравнения g(x)=0, то эти выражения теряют смысл также, как не имеет смысла произведение d(x) j(x) , если j(x) имеет особенность при x=0.

3.4 Понятие обобщенной функции.

Итак, посредством непрерывных функций d-функция определяется как линейный непрерывный функционал на этих функциях. Непрерывные функции при этом, как говорят, являются основными функциями для d-функции. Эта точка зрения берется за основу определения произвольной обобщенной функции как линейного непрерывного функционала на пространстве основных функций D. При этом за пространство основных функций D принимается множество всех бесконечно дифференцируемых финитных ( равных нулю вне некоторого интервала) функций. Сходимость в пространстве D определяется следующим образом:

Последовательность функций из D сходится к

из D если

1) существует отрезок , вне которого все и обращаются в ноль;

2) на этом отрезке последовательности функций и всех ее производных равномерно сходится к и .

Таким образом, d-функцию можно рассматривать как обобщенную функцию. Любая классическая локально интегрируемая функция ( абсолютно интегрируемая на любом конечном отрезке) функция f(x) может также рассматриваться как обобщенная функция, если на множестве основных функций D определить линейный непрерывный функционал

Обобщенная функция, определяемая классической функцией,называется регулярной обобщенной функцией. Остальные обобщенные функции называются сингулярными обобщенными функциями.

Функция - регулярная обобщенная функция,

-сингулярная обобщенная функция.

3.5 Произведение обобщенных функций.

Пусть a(x) - бесконечно дифференцируемая функция.

Тогда произведение а(x)f(x) обобщенной функции f(x) с бесконечно дифференцируемой функцией a(x) определим следующим образом

Примеры

1)

2) ; где

Нельзя определить произведение двух произвольных обобщенных

функций, чтобы оно обладало свойством коммутативности и ассоциативности. В качестве примера можно привести противоречивую цепочку равенств

3.6 Производная обобщенной функции

Определим понятие производной d-функции. Предварительно введем понятие производной обобщенной функции. Определим, что представляет собой производная обычной непрерывно дифференцируемой функции f , рассматриваемой как функционал. Интегрируя по частям и учитывая финитность , получим

Производной обобщенной функции f называется функционал на D, обозначаемый f’, такой что .

Можно проверить линейность и непрерывность нового функционала и , следовательно,, что производная обобщенной функции есть обобщенная функция. Согласно сделанному определению, обобщенные функции имеют производные любых порядков.

Покажем, что d-функция есть производная от разрывной ( локально-интегрируемой) функции Хевисайда (единичной функции)

если последнюю рассматривать как обобщенную функцию (классическую разрывную функцию вообще продифференцировать нельзя).

По определению производной обобщенной функции

т.е. или

Подобно этому примеру при дифференцировании любых разрывных функций появляются d-слагаемые.

Пусть , где

непрерывно дифференцируемы и существуют пределы

. Покажем, что

Здесь - классическая производная там, где она определена,

- скачок функции в точке.

Эта формула будет очевидна, если в разрывной функции f(x)

явно выделить ступеньку с разрывом в точке .

Здесь

Учитывая, что и тот факт, что , приходим к исходному утверждению.

Эта формула может быть доказана и непосредственно.

Воспользуемся определением обобщенной производной и тем фактом, что f(x) непрерывна на полуинтервалах

d-функцию как обобщенную функцию также можно дифференцировать, причем любое число раз:

Чтобы геометрически представить производную d-функции, воспользуемся каким-либо приближенным ее представлением, например, при большом m. Тогда для d(x) получаем представление ее в виде функции

Эта функция принимает экстремальные значения при ,

равные по абсолютной величине . Эти значения пропорциональны уже , а не m , как при представлении дельта-функции. Таким образом, производная дельта-функции имеет еще более острую особенность чем сама функция, причем принимает значения обоих знаков.

Интеграл от дельта-функции с переменным верхним пределом есть единичная ступенька.

3.7 Преобразование Фурье обобщенных функций.

Рассмотрим преобразование Фурье функций .

Все эти функции не удовлетворяют условиям существования преобразования Фурье. Мощность таких сигналов ,т.к. они не стремятся к нулю на бесконечности, не ограничена. Поэтому в классическом смысле преобразования Фурье таких функций не существует. Но чистая синусоида и постоянный сигнал, продолжающиеся бесконечно долго во времени, являются понятиями идеализированными, также как плотность материальной точки, описываемой обобщенной функцией . Более того, согласно принципу неопределенности, преобразованием Фурье бесконечно длинных во времени сигналов должны быть функции , локализованные в частотной области.

Поэтому преобразование Фурье функций с бесконечной мощностью естественно искать в классе обобщенных функций.

Покажем, что имеют место следующие пары преобразования Фурье:

1) 1~~.

Т.е. .

Преобразование Фурье единичной функции найдем через ее обратное преобразование Фурье, воспользовавшись при этом определением d-функции.

2) ~

3) ~

4) ~1.

4a)

~.

5) ~

Чтобы получить это преобразование, представим единичную функцию как слабый предел функциональной последовательности

6) ~

Эту пару преобразования можно получить , используя пары преобразований 1 и 5:

Используя понятие функции, докажем теоремы Винера -Хинчина и Парсеваля.

3.8 Теорема Винера-Хинчина и ее доказательство.

Плотность спектра мощности сигнала f(t) равна Фурье-образу автокорреляционной функции

~

Доказательство:

Доказательство проведем для плотности спектра мощности. Для плотности кросс-спектра доказательство аналогичное.

Воспользуемся определением прямого и обратного преобразования Фурье, а также автокорреляционной функции. Изменяя долее порядок интегрирования и пользуясь определением d-функции, получим:

3.9 Теорема Парсеваля и ее доказательство.

Пользуясь введенной автокорреляционной функцией, докажем теорему Парсеваля.

При t=0 имеем равенство

которое и составляет содержание теоремы Парсеваля.

10