Лабы / L 3 / LF5

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5.
ДИСКРЕТНАЯ СВЕРТКА.
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.
Задание 1.
1.1 Проверьте пример вычисления линейной свертки двух пос-
ледовательностей.
Для этого задайте исходные вектора x1=[ ];x2=[ ](см.конец текста);
и посчитайте их свертку с помощью команды conv(x1,x2) (см.help conv).
1.2 Посчитайте ту же свертку на основе теоремы о свертке. Для этого
1) дополните исходные последовательности нулями до нужной длины;
2) Найдите их преобразования Фурье;
3) Найдите обратное преобразование Фурье этого произведения;
4) Выделите в ОДПФ действительную часть, которая и равна свертке.
5) Сравните результаты расчета свертки, полученные разным способом.

Задание 2.
Найдите преобразование Фурье заданной функции ,пользуясь 256-точечным
ДПФ (команда fft).
Покажите, что суперпозиция прямого и обратного преобразований да-
ет исходную функцию.

N=256;
T=0.01;
tm=N*T/2;
t=-tm:T:(tm-T);
f=exp(-100*t.^2);
% f=-200*t.*exp(-100*t.^2);
% f=sin(2*pi*10*t)./(2*pi*10*t);
% f=(sin(2*pi*10*t)./(2*pi*10*t)).^2;
% f(N/2+1)=1;
ff=fft(f);
k=0:N-1;
fi=ifft(ff);
clg;
subplot(221),plot(f);xlabel('k');ylabel('real(X(k)),imag(X(k))');
pause;
subplot(223),plot(k,real(ff),k,imag(ff));xlabel('k');
ylabel('real(X(k)),imag(X(k))');
pause;
subplot(222),plot(real(fi));xlabel('k');ylabel('real(X(k)),imag(X(k))');
pause;

Чтобы увидеть связь между полученным дискретным и ожидаемым классичес-
ким преобразованием Фурье , внесите в программу следу-
ющие изменения:
1) Вторую половину частотной оси, соответствующую при ДПФ отрица-
тельным частотам, поставьте перед первой.
clg;
k1=1:N/2-1;
k2=-N/2:0;
k=[k2 k1];
F=k/(N*T);
subplot(221),plot(k,real(ff),k,imag(ff));xlabel('k');
ylabel('real(X(k)),imag(X(k))');
pause;
subplot(223),plot(F,real(ff),F,imag(ff));xlabel('v');
ylabel('real(X(v)),imag(X(v))');
pause;


2) Высокочастотные осцилляции можно устранить, если выяснить
причину их появления. Временной интервал [-tm,tm] получается из
интервала [0,2tm]s сдвигом аргумента t на -tm=-TN/2. СОГЛАСНО СВОЙСТВУ СДВИГА,
СМЕЩЕНИЕ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ ПРИВОДИТ К УМНОЖЕНИЮ НА КОМПЛЕКСНУЮ ЭКС-
ПОНЕНТУ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ: x(n-h)~ exp(-i 2pi kh/N)X(k) . В данном
случае т.к. N=256,h=N/2=128, то фазовый множитель равен exp(-i*pi*k). Поэ-
тому ,если домножить образ Фурье X(k) на сопряженную экспоненту, то тем
самым обратим полный фазовый множитель в единицу.

for k=1:N
ff(k)=ff(k)*exp(i*pi*(k-1));
end;
subplot(222),plot(F,real(ff),F,imag(ff));xlabel('v');
ylabel('real(X(v)),imag(X(v))');

2.2.Найдите ДПФ на исходном временном интервале для следующих функций:
а) Производная колокола f(t)=-200*t*exp(-100*t*t);
б)f1(t)= sin (2*pi*10*t)/(2*pi*10*t) (образ-прямоугольный импульс);
в)f2(t)=f1(t)*f1(t) (образ- треугольный импульс) ;
В точке t=0 ( номер отсчета N/2+1) , чтобы избежать деления на
нуль ,задайте f(N/2+1)=1.

2.3.a) Для любой из 4-х функций задайте несимметричный временной ин-
тервал [T1;T2] и измените соответствующим образом фазовый
множитель, чтобы полная фаза равнялась нулю;

1 вариант 1 задание x1=[1 2 3 5] x2=[2 4 6 8 7 1]
2 задание f(t)=exp(-100*t^2)
3 задание [-64*T;191*T]

2 вариант 1 задание x1=[2 4 6 1] x2=[1 3 5]
2 задание f(t)=-200*t*exp(-100*t^2)
3 задание [-20*T;235*T]

3 вариант 1 задание x1[3 4 5 6 7] x2=[1 3 5]
2 задание f(t)=sin(2*pi*10*t)/(2*pi*10*t)
3 задание [-25*T;230*T]

4 вариант 1 задание x1=[ 3 6 7 2] x2=[7 6 5 4 3]
2 задание f(t)=(sin(2*pi*10*t))^2/(2*pi*10*t)^2
3 задание [-15*T;240*T]

5 вариант 1 задание x1=[2 3 6 7];x2=[3 5 2 4 6]
2 задание f(t)=exp(-200*t^2)
3 задание [-10*T;245*T]

6 вариант 1 задание x1=[1 3 5 7];x2=[ 7 6 5 4 3 2]
2 задание f(t)=exp(-50*abs(t))
3 задание [-32*T;223*T]

7 вариант 1 задание x1=[1 4 2 5 3];x2=[ 1 2 3]
2 задание f(t)=1 при -2<t<2 f(t)=0 при t<-2,t>2
3 задание [-16*T;239*T]

8 вариант 1 задание x1=[3 4 5 6 7];x2=[ 5 3 1 ]
2 задание f(t)=1-abs(t) при -1<t<1;f(t)=0 при t<-1,t>1
3 задание [-8*T;247*T]

9 вариант 1 задание x1 =[7 5 3 1] ;x2=[2 4 6 ]
2 задание f(t)=2 при -3<t<3;f(t)=0 при t<-3,t>3
3 задание [-5*T;250*T]

10 вариант 1 задание x1=[ 9 8 7 6 5];x2=[ 4 3 2]
2 задание f(t)=2-2*abs(t) при -1<t<1; f(t)=0 при t<-1,t>1
3 задание [-48*T;207*T]

11 вариант 1 задание x1=[ 7 5 3];x2=[ 1 2 3 4 5 6]
2 задание f(t)=exp(-150*abs(t))
3 задание [-50*T;205*T]

12 вариант 1 задание x1=[1 3 2 6];x2=[ 2 4 2 4]
2 задание f(t)=exp(-150*t^2)
3 задание [-55*T;200*T]

13 вариант 1 задание x1=[ 3 5 3 5 ];x2= [1 3 5]
2 задание f(t)=sin(2*pi*20*t)/(2*pi*20*t)
3 задание [-65*T; 190*T]

14 вариант 1 задание x1=[2 4 3 5];x2=[ 1 2 3 4 5]
2 задание f(t)=sin(2*pi*25*t)/(2*pi*25*t)
3 задание [-75*T;180*T]

15 вариант x1=[ 5 6 7] x2=[5 4 3 2 1 0]
2 задание f(t)=sin(2*pi*15*t)/2*pi*t)
3 задание [-80*T;-175*T]

16 вариант 1 задание x1=[1 1 1];x2=[4 2 4 2 4 2]
2 задание f(t)=(sin(2*pi*5*t)/(2*pi*t))^2
3 задание [-85*T;-170*T]

17 вариант 1 задание x1=[1 3 1 3];x2=[2 2 2 2 2]
2 задание f(t)=(sin(2*pi*15*t)/(2*pi*t))^2
3 задание [-51*T;204*T]

18 вариант 1 задание x1=[ 5 4 2 1];x2=[ 6 5 4]
2 задание f(t)=exp(-250*t^2)
3 задание [-21*T;234*T]

19 вариант 1 задание x1=[ 4 3 4];x2=[ 1 4 1 4 1 4]
2 задание f(t)=exp(-300*t^2)
3 задание [-8*T;247*T]

20 вариант 1 задание x1 =[5 5 5 ];x2 = [5 1 5 1]
2 задание f(t)=exp(-200*abs(t))
3 задание [-7*T;248*T]