Лабы / L 1 / 1

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ.
1. С помощью команды FFT найдите преобразование Фурье следующих
функций:
1) f(t)=sin(2*pi*v*t);
2) f(t)=cos(2*pi*v*t);
3) f(t)=1;
Т.к. преобразование Фурье является комплексной функцией, нарисуй-
те отдельно действительную и мнимую части преобразования Фурье. Для
функций 1 и 2 найдите преобразования Фурье при значениях частот v=1,3,5.
Преобразование Фурье константы f(t) =1 найдите как частный случай пре-
образования cos(2*pi*v*t) при v=0.
Обратите внимание на следующие факты:
1) Преобразование Фурье sin(2*pi*v*t) и cos(2*pi*v*t) имеют вид двух
дельта-функций, расположенных в частотах +v и -v Гц, преобразование
Фурье константы - дельта-функция в 0 Гц.
2) Преобразование Фурье действительной четной функции cos(2*pi*v*t)
есть действительная четная функция, а нечетной действительной функции
sin(2*pi*v*t) -чисто мнимая нечетная функция;
На рисунках сделайте подписи к осям.

Примерный вид m-файла:
ht=0.01;
t=-1:ht:1;
v=1;
f1=sin(2*pi*v*t);
F1=fft(f1);
N=max(size(t));
k1=0:N/2;
k2=-N/2:-1;
k=[k1 k2];
v1=k/(N*ht);
plot(t,f1);xlabel('t');ylabel('f(t)');
plot(v1,real(F1),v1,imag(F1)); xlabel('v');ylabel('F(v)');
pause;
clg;

2. Используя прямоугольный импульс и аналитическое выражение для его
преобразования Фурье продемонстрируйте действие принципа неопределен-
ности: чем более локализован сигнал во времени,тем он имеет более широкий
частотный спектр. Для наглядности , выводите графики функции и ее об-
раза Фурье на экран одновременно, пользуясь командой subplot.
for T=1:5
t=[-5 -T -T T T 5];
f=[0 0 1 1 0 0];
v=-1:0.01:1;
F=sin(2*pi*v*T)./(pi*v);
subplot (211); plot(t,f);xlabel('t');ylabel('f(t)');
subplot(212);plot(v,F);xlabel('v');ylabel('F(v)');
clg;
end;

3. Осуществите спектральный анализ заданного сигнала, используя
преобразование Фурье.
Для этого задайте сигнал в виде суммы трех синусоид различ-
ных частот, например, 60,100,150 гц. Интервал дискретизации возьмите
равным 0.001. Зашумите полученный сигнал.
С помощью процедуры FFT найдите преобразование Фурье и спектр мощности
сигнала.
Пусть У-вектор(комплексный), представляющий собой преобразование
Фурье исходного вектора y,т.е. Y=fft(y). Спектр мощности сигнала ( или
концентрация энергии на различных частотах) вычисляется как
P=Y.*conj(Y),где conj(Y)- операция комплексного сопряжения. Чтобы на-
рисовать спектральную плотность Р как функцию частоты, сформируйте ось
частот f . Убедитесь, что максимумы в спектре мощности соответствуют
частотам трех синусоид, составляющих сигнал.
Примерный вид m-файла:
t=0:0.001:0.25;
y1= sin(2*pi*60*t)+sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*150*t);
rand('normal');
y=y1+rand(t);
plot(t,y);
Y=fft(y,256);
Pyy=Y.*conj(Y);
f=1000/256*(0:127);
plot(f,Pyy(1:128))


Исследуйте зависимость качества выделения сигнала от уровня шума, уве-
личивая амплитуду шума (2*rand(t),3*rand(t) и т.д.).
1.f(t)=sin(2*pi*50*t)+cos(2*pi*90*t)+sin(2*pi*140*t)
2.f(t)= sin(2*pi*75*t)-cos(2*pi*150*t)
3.f(t)= sin(2*pi*60*t)+sin(2*pi*160*t)
4.f(t)= sin(2*pi*40*t)+sin(2*pi*70*t)+cos(2*pi*130*t)
5.f(t)=sin(2*pi*60*t)+cos(2*pi*140*t)
6.f(t)=sin(2*pi*60*t)+sin(2*pi*110*t)+sin(2*pi*160*t)
7.f(t)=cos(2*pi*20*t)+sin(2*pi*75*t)+sin(2*pi*t*100)
8.f(t)=sin(2*pi*40*t)+sin(2*pi*80*t)+cos(2*pi*t*120)
9.f(t)=cos(2*pi*60*t)+cos(2*pi*90*t)+cos(2*pi*t*140)
10.f(t)=cos(2*pi*75*t)+sin(2*pi*140*t)
11.f(t)=cos(2*pi*90*t)+cos(2*pi*160*t)
12.f(t)=sin(2*pi*90*t)+sin(2*pi*135*t)
13.f(t)=sin(2*pi*80*t)+sin(2*pi*120*t)
14.f(t)=sin(2*pi*40*t)-cos(2*pi*60*t)+sin(2*pi*120*t)
15.f(t)=sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*90*t)+cos(2*pi*130*t)
16.f(t)=sin(2*pi*50*t)+cos(2*pi*120*t)
17.f(t)=cos(2*pi*60*t)+sin(2*pi*120*t)+sin(2*pi*150*t)
18.f(t)=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*90*t)+cos(2*pi*130*t)
19.f(t)=cos(2*pi*30*t)+sin(2*pi*60*t)+sin(2*pi*120*t)
20.f(t)=sin(2*pi*20*t)+sin(2*pi*40*t)+cos(2*pi*120*t)
21.f(t)=sin(2*pi*40*t)+sin(2*pi*80*t)+cos(2*pi*140*t)
22.f(t)=cos(2*pi*60*t)+sin(2*pi*160*t)
23.f(t)=cos(2*pi*35*t)+sin(2*pi*75*t)+sin(2*pi*115*t)
24.f(t)=sin(2*pi*40*t)+cos(2*pi*80*t)-cos(2*pi*120*t)
25.f(t)=sin(2*pi*45*t)+sin*2*pi*75*t)+sin(2*pi*125*t)
26.f(t)=sin(2*pi*20*t)+cos(2*pi*120*t)