Примерный перечень вопросов к экзамену
для студентов 1 курса заочного факультета
Линейная алгебра
1. Линейное векторное пространство.
2. Скалярное произведение. Длина вектора. Угол между векторами. Коллинеарные и ортогональные векторы.
3. Системы векторов. Линейная зависимость векторов.
4. Ранг и базис системы векторов. Ранг и базис n‑мерного линейного векторного пространства.
5. Матрицы и их виды. Операции над матрицами.
6. Определители. Свойства определителей.
7. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы.
8. Ранг матрицы.
9. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы.
10. Условие совместности.
11. Решение системы с помощью формул Крамера. Решение системы с помощью обратной матрицы.
12. Решение произвольных систем линейных неоднородных уравнений. Метод и таблицы Гаусса.
13. Нахождение неотрицательных базисных решений системы.
14. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
15. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
16. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
17. Уравнение плоскости в пространстве.
18. Уравнение прямой в пространстве.
19. Эллипс. Окружность.
20. Гипербола. Парабола.
21. Решение систем линейных неравенств.
(2012-2013) Вариант № 0.
Контрольная работа №2.
Линейная алгебра
Задание
1.
Решить матричное уравнение
,
если
Задание 2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
Задание 3. Даны две системы векторов
1(2,1,3),
2(0,1,1),
3(2,0,2);
1(1,2,1),
2(3,0,1),
3(5,1,1).
Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует
базис.
Найти координаты вектора
(16,5,6)
в этом базисе
используя формулы Крамера.
Задание 4. Найти базисное неотрицательное решение системы
и сделать переход к другому неотрицательному базисному
решению. Выписать общее решение системы.
Задание 5. Дан треугольник АВС: А(0,1), В(2,5), С(5,0). Найти:
уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ;
систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Задание 6. Составить уравнение прямой проходящей через центр окружности x2+y2+4x-6y=12 и перпендикулярно прямой
5x+2y-10=0. Сделать чертеж.
(2012-2013) Вариант № 1.
Контрольная работа №2.
Линейная алгебра
Задание
1.
Решить матричное уравнение
,
если
Задание 2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
Задание 3. Даны две системы векторов
1(1,2,3),
2(-1,1,1),
3(0,3,4);
1(2,5,1),
2(1,1,0),
3(3,0,1).
Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует
базис.
Найти координаты вектора
(8,11,3)
в этом базисе
используя формулы Крамера.
Задание 4. Найти базисное неотрицательное решение системы
и сделать переход к другому неотрицательному базисному
решению. Выписать общее решение системы.
Задание 5. Дан треугольник АВС: А(-1,0), В(2,5), С(5,1). Найти:
уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ;
систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Задание 6. Составить уравнение окружности с центром в точке (5,5), проходящей через вершину параболы y=x2-4x+5. Сделать чертеж.
(2012-2013) Вариант № 2.
Контрольная работа №2.
Линейная алгебра
Задание
1.
Решить матричное уравнение
, если
Задание 2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
Задание 3. Даны две системы векторов
1(1,0,1),
2(2,1,0),
3(4,1,2);
1(-1,3,0),
2(2,1,1),
3(1,0,1).
Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует
базис.
Найти координаты вектора
(2,11,3)
в этом базисе
с помощью формул Крамера.
Задание 4. Найти базисное неотрицательное решение системы
и сделать переход к другому неотрицательному базисному
решению. Выписать общее решение системы.
Задание 5. Дан треугольник АВС: А(-1,1), В(3,5), С(6,1). Найти:
уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ;
систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Задание 6. Найти расстояние от фокусов гиперболы 9x2-16y2=144 до ее асимптот. Сделать чертеж.
(2012-2013) Вариант № 3.
Контрольная работа №2.
Линейная алгебра
Задание
1.
Решить матричное уравнение
, если
Задание 2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
Задание 3. Даны две системы векторов
1(2,3,1),
2(5,0,1),
3(-3,3,0);
1(1,0,3),
2(-1,2,0),
3(2,1,1).
Найти ранги данных систем и выяснить, какая из них образует
базис.
Найти координаты вектора
(0,7,4)
в этом базисе
с помощью формул Крамера.
Задание 4. Найти базисное неотрицательное решение системы
и сделать переход к другому неотрицательному базисному
решению. Выписать общее решение системы.
Задание 5. Дан треугольник АВС: А(0,1), В(4,6), С(6,0). Найти:
уравнение и длину высоты АD; уравнение и длину медианы СЕ;
систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Задание 6. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящей через
Точки А(5,0) и В(0,4). Сделать чертеж.