Практическое руководство для выполнения лабораторных работ по курсу "моделирование электронных устройств" для студентов специальности "промышленная электроника" дневного и заочного отделений

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N1

РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

1. Цель работы: получить навык в составлении матричных уравнений для расчета цепей методом узловых потенциалов.

2. Основные теоретические сведения

Формирование уравнений с помощью метода узловых потенциа­лов (МУП) базируется на законе Кирхгофа для токов, который гласит: алгебраическая сумма токов, вытекающих из узла, равна нулю.

В любом узле существуют токи 2-х типов: те, которые текут через пассивные компоненты, и те, которые текут через независимые источ­ники тока.

Запишем закон контурных токов для каждого узла:

Σ токов, вытекающих из узла через пассивные элементы

= Σ токов, втекающих в узел через независимые источники

Это соотношение непосредственно показывает, как формируется вектор токов J при составлении уравнений.

Рассмотрим многополюсник N, показанный на рис. 1.1. Допус­тим, он содержит элементы R,L и С и имеет n внешних выводов. Кроме того, есть отдельный (n+1)-й заземленный узел, обозначенный как нулевой. Напряжения на выводах измеряются по отношению к ну­левому узлу.

Рис. 1.1. Цепь с n выводами

Данную цепь можно описать системой уравнений, которая и матричной форме имеет вид: , или

Рассмотрим цепь, показанную на рис.1.2. Запишем Закон Кирхгофа для токов для узлов 1 - 3. Токи пассивных элементов в этих уравнениях представим в виде произведения проводимостей и разности узловых потенциалов.

Рис.1.2. Цепь с 3-мя незаземленными узлами

Сформулируем правила составления матрицы узловых проводимостей и вектора токов методом узловых потенциалов:

1. Диагональные элементы y_ii матрицы Y положительны и равны:

y_ii = Σ проводимостей, подключенных к j-му узлу.

2. Внедиагональные элементы y_jk матрицы Y отрицательны и равны:

y_jk = - Σ проводимостей, включенных между j-м и к-м узлами.

3. Произвольный элемент вектора токов J с номером j равен:

J_j = Σ токов независимых источников, втекающих в j-й узел.

Перегруппировав члены в составленных уравнениях согласно вышеизложенным правилам, получим уравнение для узловых потенциалов в матричной форме:

Если 3-й узел схемы соединить с нулевым(см.рис.1.3), то потенциал U₃ будет равен нулю.

Рис.1.2. Цепь с 2-мя незаземленными узлами

Так как элементы 3-го столбца матрицы Y всегда умножаются на величину U₃, это произведение вегда равно нулю, и 3-й столбец матрицы можно исключить. Кроме того, заземление 3-го вывода позволяет сразу определить протекающий через него ток, поскольку он равен взятой со знаком минус сумме токов, втекающих в нулевой узел (алгебраическая сумма токов, вытекающих из узла равна нулю). Следовательно, 3-ю строку матрицы Y можно исключить - она является линейной комбинацией других строк.

Таким образом, заземление j-гo узла схемы эквивалентно вычеркиванию j-x строки и столбца из матрицы Y.Полученную в результате матрицу называют матрицей узловых проводимостей; ее обычно записывают без лишней строки и столбца.

В дальнейшем, под матрицей Y будем подразумевать матрицу узловых проводимостей цепи, имеющей n узлов, в которой (n+1)-й узел заземлен и обозначен как нулевой.

Теперь, вернувшись к приведеной на рис. 1.3 цепи, получим следующую систему уравнений в матричной форме:

,

или:

Вектор узловых потенциалов определяется по формуле:

Векторный метод составления уравнений.

Сформулированные правила для со­ставления уравнений для узловых потенциалов полезны для составле­ния уравнений вручную. Они позволяют записать уравнения при по­следовательном переборе всех узлов. При составлении уравнений с помощью ЭВМ предпочтительней является подход, основанный на по­следовательном переборе элементов схемы.

Рассмотрим элемент с проводимостью у, включенный между j-м и k-м узлами (рис.1.3).

Рис.1.3 Элемент цепи с проводимостью y_i

Допустим, что ток I течет от узла j к узлу k. Этот ток появится в уравнениях закона Кирхгофа для токов, записанных только для j-гo и k-го узлов, причем один раз со знаком плюс, а другой - со знаком ми­нус:

для j-ro узла: ... + I = ...;

для k-ro узла ... - I = ... .

Точками заменены токи через другие элементы и источники. Пред­ставим ток I в виде произведения разности потенциалов и проводимо­сти:

I = y(U_j - U_k).

Получим для j-гo узла: ... + yU_j …- yU_k= ...;

для k-го узла: ... - yU_j ... + yU_k = ....

Таким образом, проводимость двухполюсника, включенного между j-м и k-м узлами, появится только в столбцах и строках с номерами j и k, причем со знаком плюс в элементах с номерами (j,j) и (k,k) и со знаком минус в элементах с номерами (j,k) и (k,j). Это можно записать символически:

	j	k
j	y	-y
k	-y	y

или в форме произведения векторов:

, (1.1)

где т - индекс транспонирования. Вектор e_j - это j-й единичный вектор,все элементы которого, кроме j-гo, равны нулю, а j-й равен единице. Размер вектора e_j определяется числом n незаземленных узлов схемы.

Такой вектор можно представить как j-й столбец единичной матрицы. Результатом перемножения вектора-столбца и вектора-строки в выражении (1.1) является матрица.

Теперь можно составить матрицу Y, последовательно перебирая элементы схемы:

, (1.2)

где y_i - проводимость i-й ветви, включенной между j-м и k-м узлами.

Допустим, что независимый источник тока J_iвключен междуj-м иk-м узлами и направлен в сторону узлаk. Тогдаj-й иk-й компоненты вектораJ определяться следующим образом:

j	-Ji
k	Ji	,

или в векторной форме:

(1.3)

Стоит отметить, что при заземлении одного узла уравнений (1.2) и (1.3) будут содержать только один член в том случае, если данный элемент соединен с нулевым узлом. Однако, если допустить, что е₀ обозначает нулевой вектор, в котором все элементы равны нулю, то выражения (1.2) и (1.3) останутся без изменения.

Вернемся к цепи, представленной на рис.1.2 и выберем направление токов в ветвях (см.рис.1.4.)

Рис.1.4. Цепь с выбранными направлениями токов ветвей

Поскольку потенциалы узлов до решения системы уравнений неиз­вестны, направление токов ветвей соответствующих пассивных эле­ментов выбирается полностью произвольно.

Выберем направление токов в ветвях и, учитывая, что y_i - проводимость i-й ветви,включенной между узлами j и k, причем, ток течет от узла j к узлу k,составим следующую таблицу:

yi		pC1			pC2
j	1	1	1	1	2
k	0	0	2	2	0

Аналогичную таблицу составим для источников тока:

Ji	J1	J2	J3
j	0	2	2
k	1	1	0

Теперь, учитывая эти таблицы, составим матрицу проводимостей Y и вектор независимых источников тока J.

,

где:,,.

Так как элементы схемы R1, CI, С2, J₁, J₃ подключены к нулевому узлу,то элементы матрицы проводимости y_1,0 и y_2,0, а также вектор независимых источников тока J можно записывать в следующем виде:

,

,

.

Вектор узловых потенциалов определяется по формуле:

3. Порядок выполнения работы

1. Для схемы, выданной преподавателем, произвести необходимые преобразования (преобразовать источники ЭДС - в источники тока).

2. Пронумеровать узлы и выбрать направления токов в ветвях.

3. Составить матрицы для рассчета цепи МУП.

4. Найти узловые потенциалы и рассчитать токи в ветвях.

5. Сделать проверку правильности расчета по 1-му закону Кирхгофа.

6. Для той же схемы составить таблицу для проводимостей ветвей и независимых источников тока.

7. Найти узловые потенциалы векторным методом и сравнить с предыдущим результатом.

ПРИМЕЧАНИЕ. При проверке правильности расчета по 1-му закону Кирхгофа необходимо учитывать, что токи, вытекающие из узла, берутся со знаком плюс, а втекающие - со знаком минус. Ток течет от узла с наиболее высоким потенциалом к узлу с менее высоким потениалом.