Математика / 4020

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Гомельский государственный технический

университет имени П. О. Сухого»

Кафедра «Высшая математика»

В. И. Гойко, С. М. Евтухова, А. В. Емелин

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ПРАКТИКУМ для студентов всех специальностей заочной формы обучения

Гомель 2010

УДК 514.12(075.8) ББК 22.151.5я73

Г59

Рекомендовано научно-методическим советом заочного факультета ГГТУ им. П. О. Сухого

(протокол № 7 от 30.03.2010 г.)

Рецензент: зав. каф. «Высшаяматематика» БелГУТа канд. физ.-мат. наукС. П. Новиков

Гойко, В. И.

Г59 Аналитическая геометрия : практикум для студентов всех специальностей заоч. формы обучения / В. И. Гойко, С. М. Евтухова, А. В. Емелин. – Гомель : ГГТУ

им. П. О. Сухого, 2010. – 34 с. – Систем. требования: PC не ниже Intel Celeron 300 МГц ;

32 Mb RAM ; свободное место на HDD 16 Mb ; Windows 98 и выше; Adobe Acrobat Reader. – Режим доступа: http://lib.gstu.local. – Загл. с титул. экрана.

Приведены задачи и примеры для самостоятельного решения по следующим темам: «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве», «Векторная алгебра, матрицы и определители», «Системы линейных уравнений».

Для студентов всех специальностей заочной формы обучения.

УДК 514.12(075.8) ББК 22.151.5я73

©Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет

имени П. О. Сухого», 2010

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

1.1. Уравнение прямой

Пример 1. Построить прямую по данному уравнению y 3x 1.

Решение.

Для построения прямой достаточно найти любые две точки, принадлежащие этой прямой (так как через две точки проходит только одна прямая).

Так как прямая задана своим уравнением, найдем любые два решения, которые и будут определять искомые точки.

Пусть x1 0 . Подставляя в уравнение получим:

y1 3 0 1 1

Пусть x2 1

y2 3 1 1 2

Итак, прямая проходит через точки A(0; –1) и B(1; 2). Удобно составить таблицу вида:

x		0		1
y		–1		2

Изображая точки в декартовой системе координат, строим пря-

мую.

3

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точ-

ки A(1; –3) и B(3; 2).

Найти угловой коэффициент и длину отрезка, отсекаемого на оси OY.

Найти уравнение отрезка AB.

Решение.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две данные точки:

x x1				y y1			;
x	2	x		y	2	y
		1				1

Пусть А – первая точка, В – вторая. Подставляя в уравнение, получим:

	x 1			y ( 3)	;	x 1				y 3	;
	3 1			2 ( 3)		2				5
5(x 1) 2( y 3) ; 5x 5 2 y 6 ;									5x 2 y 11 0 .

Для нахождения углового коэффициента и длины отрезка приведем уравнение к виду: y kx b .

Тогда k – угловой коэффициент, а | b | – длина отрезка.

Получаем: 2 y 5x 11;										y	5 x	11	;
	5							11		11.	2	2
Тогда k		,		b
	2							5		5

Найдем уравнение отрезка AB.

Воспользуемся параметрическим уравнением прямой:

x a1t x0 , t R , где

y a2t y0

(a1; a2) – координаты вектора, параллельного прямой, M(x0; y0) – любая точка, принадлежащая прямой.

В качестве направляющего вектора возьмем вектор AB . Найдем его координаты, вычитая от координат точки B координаты точки A.

AB (2; 5). В качестве точки M возьмем A.

x 2t 1

Получаем: y 5t 3

При t 0;1 полученные равенства задают все точки отрезка AB.

4

Пример 3. Составить уравнение оси OX.

Решение.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку

M(x0; y0) перпендикулярно вектору n (A; B), т.е. уравнением вида:

A(x x0 ) B( y y0 ) 0 .

В качестве нормального вектора возьмем вектор j(0;1), а в качестве точки, принадлежащей прямой, точку M(1;0). Подставляя в уравнение получим:

0 (x 1) 1 ( y 0) 0 или y 0 .

Итак, уравнение оси OX имеет вид: y 0 .

Пример 4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку

A(–1; 3) и образующей с осью OX угол, равный								3		.
									4
			Решение.
Воспользуемся уравнением вида:
y y0		k(x x0 ) ,				где k tg .
В нашем случае		3	. Найдем k.
		4
	3
									1.
k tg	4	tg			4	ctg	4
			2

Подставляя в уравнение координаты точки A и k 1 получа-

ем:

y 3 ( 1) (x ( 1)) или y x 2 .

Задачи для самостоятельного решения.

1.	Построить прямую по данному уравнению.
	а) y 4x 1;		б) y 2x 3;		в) y 3 x 2 ;
	г) y 3x ;		д) y 3;		4
					е) x 2 .
2.	Составить уравнение прямой, проходящей через точки:
	а) A(–1; 2),	B(3; 5);		б) A(0; 0), B(2; 1);
	в) A(1; 4),	B(1; 7) .

Найти числовой коэффициент и отрезок, отсекаемый на оси OY.

5

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку

A(–3; 2):

а) параллельно вектору a (1; 3); б) параллельно вектору i (1; 0);

в) перпендикулярно вектору n (–2; 5); г) перпендикулярно вектору j (0; 1).

4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(2; 1) и образующей с ось абсцисс угол, равный:

а) 4 ; б) 23 .

5. Составить уравнение отрезка AB, если:

а) A(–2; 1), B(2; 4) ;		б) A(3; –2), B(–1; 6).
6. Составить уравнение		прямой, проходящей через точку
M(–1; 2):
а) перпендикулярно прямой 3x 2 y 4 4;
б) параллельно к прямой	x 2			y 1	.
		3		2

1.2. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

Пример 1. Найти один из углов между прямыми

x 2 y 4 0 и x 1 y 2 . 2 3

Решение.

Приведем уравнение второй прямой к общему виду: 3(x 1) 2( y 2) или 3x 2 y 7 0 . Найдем угол между прямыми,

как угол между нормальными векторами этих прямых.

Для первой прямой n1 (1; 2) , для второй прямой n2 (3; 2) .

cos			(n1 n2 )									1 3 ( 2) ( 2)		7	;
			n1					n2				12 ( 2)2 32 ( 2)2		65
Тогда arccos		7				30 .
		65

6

Пример 2. Найти расстояние от точки A(–2; 3) до прямой x 2 y 1 0.

Найти проекцию данной точки на данную прямую.

Решение.			Ax0 By0	c
Найдем решение по формуле:	d					.
			A2 B2

Подставляя координаты точки A и параметры прямой в формулу получаем:

d			2 2 3 1				7	.
			12 ( 2)2				5

Найдем проекцию точки.

Так как проекция – это точка пересечения перпендикуляра проведенного из данной точки на данную прямую, найдем уравнение прямой проходящей через точку A, перпендикулярно данной. Так как

прямые перпендикулярны, то нормальный вектор n (1; –2) является направляющим для искомой прямой.

	Получаем:	x ( 2)		y 3	;	2(x 2) y 3 ;
		1		2

2x y 1 0 – уравнение искомой прямой.

Найдем точку пересечения этих двух прямых. Решим систему:

2x y 1 0x 2 y 1 0

По формулам Крамера получим:

									1		1										2	1
				x					1		2					3	;	y			1	1				1 .
										2	1					5						5
																										5
										1	2
Итак, B		3	;	1		– искомая проекция.
		5		5

7

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найти один из углов между прямыми:

а) x 2 y 1 0 и y 3x 2 ;
б) 2x y 3 0 и		x 3		y 4	;
				2
в) x 2t 1	1
	и y 6t 2
y t 2	y 3t 1

2.Найти расстояние от точки A(2; –1) до прямой 3x 2 y 1 0 .

3.Найти расстояние между прямыми

2x 3y 2 0 и 4x 6 y 0 .

1.3. Кривые второго порядка

1.3.1 Окружность

Пример 1. Найти центр и радиус окружности заданной уравнением x2 4x y2 5 0 .

	Решение.
Приведем данное уравнение к виду:
x x0 2 y y0 2	R2 , где O(x0; y0) – центр окружности, R – ради-

ус, выделяя полный квадрат по переменной x. Это можно сделать по формуле:

	2		2		2 p		p 2			p 2			p		2	p2
x		px q x				x						q x			q		;
					2		2			2			2			4

x2 4x y2 5 x2 2 2x 22 22 y2 5x 2 2 y2 4 4 x 2 2 y2 9

Получили следующее уравнение: x 2 2 y2 9 . Таким образом, центр окружности находится в точке O(–2; 0), радиус R = 3.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Изобразить в системе координат Oxy:

а) x2 y2 4;

б) x2 y2 6 y 1 0 ;

8

в) x2 y2 2x 4 y 2 0 .

2. Составить уравнение окружности имеющей центр в точке: а) (2; –5) и радиус, равный 4; б) (–3; 4) и проходящей через начало координат;

в) (0; 4) и проходящей через точку (5; –8).

1.3.2. Эллипс

Пример 1. Дано уравнение эллипса: 25x2 169 y2 4225 . Вычислить длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет.

Решение.

Приведем данное уравнение к виду:

x2

y2

1, разделив левую и

a2

b2

правую часть на 4225.

Получим:

25x2

169 y2

1 или

x2

y2

1 или

x2

y2

1.

4225

4225

169

25

132

52

Тогда большая ось 2a 2 13 26 , малая ось

2b 2 5 10 .

Из соотношения

b2 a2 c2

169 25

144 12 .

Таким образом, первый фокус имеет координаты (12; 0), второй

фокус имеет координаты (–12; 0).

Находим эксцентриситет:

e

c

12 .

a

13

Пример 2. Прямые x 8 служат директрисами эллипса, малая ось которого равна 8.

Найти уравнение этого эллипса.

Решение.

Из условия 2b 8 b 4 .

	Уравнения директрис: x	a	, тогда	a	8		a	8	a2	8.
		e		e			c a		c
	Так как a2 c2 b2 получим		c2 16	8 .
			c

Приходим к квадратному уравнению: с2 8с 16 0 . Решая, находим с=4. Тогда a2 42 42 32 .

9

Искомое уравнение: x2 y2 1. 32 16

Задачи для самостоятельного решения.

Составить каноническое уравнения эллипса, зная, что:

а) расстояние между фокусами равно 6 и большая полуось равна 5;

б) большая полуось равна 10 и e = 0,8; в) малая полуось равна 3 и e 22 ;

г) сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами также равно 8.

1.3.3. Гипербола

	Пример 1. Дана гипербола	x2			y2	1.
		9		16
	Найти координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асим-
	птот и директрис.	Решение.
	Из данного уравнения a 3; b 4.
	Для гиперболы c2 a2 b2 c2				9 16 25 .

Тогда c 5 и координаты фокусов: F(5; 0); F(–5; 0). Эксцентриситет e ac 53 .

Асимптоты: y ba x . В нашем случае: y 43 x . Уравнения директрис: x ae ; x 533 95 .

Задачи для самостоятельного решения.

Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси OX, если:

а) расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусами 10;

б) действительная полуось равна 5 и вершины делят расстояние между центрами и фокусами пополам;

10