Математика / 4015

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Гомельский государственный технический

университет имени П. О. Сухого»

Кафедра «Высшая математика»

В. И. Гойко, В. Г. Тепляков

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

КУРС ЛЕКЦИЙ

по дисциплинам «Высшая математика» и «Математика» для студентов всех специальностей

заочной формы обучения

Электронный аналог печатного издания

Гомель 2010

УДК 514.12+512.743(075.8) ББК 22.151.5+22.143я73

Г59

Рекомендовано к изданию научно-методическим советом заочного факультета ГГТУ им. П. О. Сухого (протокол № 7 от 30.03.2010 г.)

Рецензент: зав. каф. «Высшая математика» БелГУТ канд. физ.-мат. наук, доц. С. П. Новиков

Гойко, В. И.

Г59 Аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры : курс лекций по дисциплинам «Высшая математика» и «Математика» для студентов всех специальностей заоч. формы обучения / В. И. Гойко, В. Г. Тепляков. – Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2010. – 65 с. – Систем. требования: PC не ниже Intel Celeron 300 МГц ; 32 Mb RAM ; свободное место на HDD 16 Mb ; Windows 98 и выше ; Adobe Acrobat Reader. – Режим доступа: http://lib.gstu.local. – Загл. с титул. экрана.

ISBN 978-985-420-965-4.

Изложены основы аналитической геометрии и элементы линейной алгебры. Приведены решенные задачи и примеры, иллюстрирующие основные положения, формулы и определения аналитической геометрии и линейной алгебры.

Для студентов всех специальностей заочной формы обучения.

	УДК 514.12+512.743(075.8)
	ББК 22.151.5+22.143я73
ISBN 978-985-420-965-4	© Гойко В. И., Тепляков В. Г., 2010
	© Учреждение образования «Гомельский
	государственный технический университет
	имени П. О. Сухого», 2010

Глава 1 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим на прямой l две различные точки O и E. Будем говорить, что точка M прямой l, отличная от точки O, и точка E лежbт

по одну сторону относительно O, если точка O не лежит между E и M. Точки E и M лежат по разные стороны от точки O, если O лежит между ними.

Лучом (O, E) называется совокупность точек, состоящих из O, E и всех точек M прямой l, лежащих по одну сторону с точкой E отно-

сительно точки O. Точка O называется началом луча (рис. 1.1).

О М Е

Рис. 1.1

Рассмотрим на прямой l две точки O и E. Точка O делит прямую l на два луча. Точка O называется началом системы координат, прямая l – осью координат. Выберем отрезок OE в качестве единицы масштаба. Возьмем на прямой l произвольную точку M. Этой точке поставим в соответствие число x, определяемое следующим образом:

1) | x | – длина отрезка OM, измеренного при помощи единично-

го отрезка OE;

2) x 0 , если точки M и E принадлежат одному лучу (O, E), и x 0 , если точки M и E принадлежат разным лучам прямой l относительно точки O;

3) x 0 , если точка M совпадает с точкой O.

Число x называется координатой точки M и записывается M(x). Обратно, всякому числу x ставится в соответствие на прямой l точка M, для которой число x есть координата, если даны начало системы координат O и единица масштаба OE.

§ 1.1. Вычисление длины отрезка на прямой. Деление отрезка в данном отношении

Пусть даны две точки A(x1) и B(x2 ).

Длина отрезка AB, измеренного единичным отрезком OE (рис. 1.2), вычисляется по формуле

d | x2 x1 |.

(1.1)

3

А	О Е	В
	Рис. 1.2

Разделить отрезок в данном отношении – это значит на пря-

мой AB найти такую точку C, что выполняются следующие условия:

длинадлина BCAC | |;

точка C принадлежит отрезку AB, если 0, и лежит вне отрезка AB,

если 0.

Пусть координаты точек A и B будут соответственно x1 и x2 .

Так как AC | x x1 | , CB | x2 x |, а знаки разностей x x1 и x2 x одинаковы, если точка C принадлежит отрезку AB, и различны в про-

тивном случае, то получим равенство

	x x1	.
	x2 x
Теперь получаем (1 )x x1 x2 . Если			1 0 , то

x (x1 x2 )/(1 ).

Если 1, то x (x1 x2 ) / 2 . В этом случае делящая точка C(x) будет серединой отрезка.

§ 1.2. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости

Рассмотрим на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые

(рис. 1.3).

y

M2		M
E2
О E	M	1	x
1

Рис. 1.3

4

Пусть точка O – точка пересечения этих прямых и E1, E2 – две точки на этих прямых, удовлетворяющих условию

| OE1 | | OE2 |.

Точка O называется началом системы координат, ось Ox назы-

вается осью абсцисс, ось Oy – осью ординат. На рисунках ось абсцисс проводится горизонтально, а ось ординат – вертикально. На оси абсцисс положительным направлением считается направление слева направо, а на оси ординат положительным направлением считается направление снизу вверх.

Пусть M – произвольная точка плоскости. Проведем перпендикуляры из точки M к осям Ox и Oy и найдем точки M1 и M 2 пересече-

ния этих перпендикуляров с соответствующими осями. Координатами точки M называются числа x0 OM1 , y0 OM 2 . Запись M (x0 , y0 )

обозначает, что x0 , y0 есть координаты точки M. Теперь мы скажем,

что на плоскости построена декартова прямоугольная система коор-

динат, которая обозначается символом Oxy. Каждой точке M плоскости поставлена в соответствие вполне определенная пара вещественных чисел, взятых в определенном порядке, короче, упорядоченная пара чисел – ее координаты x и y. Обратно, каждой упорядоченной паре действительных чисел x и y соответствует единственная точка M, координаты которой равны x и y.

§ 1.3. Вычисление длины отрезка на плоскости

Вычислим длину d отрезка AB, если заданы координаты точек A(x1, y1) и B(x2 , y2 ) . Проведем через точки A и B прямые, параллель-

ные осям координат, до пересечения с ними в точках			A1, A2 , B1, B2
(рис. 1.4).
	y
C2	B2	B
A	A2	C1
A1	О	B1	x
		Рис. 1.4

5

Рассмотрим прямоугольный треугольник AC1B. Используя теорему Пифагора, получим:

| AB |2 | AC1 |2 | BC1 |2 | A1B1 |2 | A2 B2 |2 ; d 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .

Отсюда получаем следующую формулу:

d (x	x )2	( y	2	y )2 .	(1.2)
2	1			1

Если прямая AB параллельна одной из осей координат, например, оси Ox, или совпадает с ней, то длина отрезка AB равна длине отрезка A1B1 . Следовательно, | AB | | x2 x1 |, и т. к. в этом случае

y2 y1 , то d вычисляется по формуле (1.2). Формула (1.2) является

общей формулой, справедливой для любого положения точек A, B на плоскости.

Пример 1.1

Вычислить длину отрезка AB, если A( 2; 3) , B(6; 12) . Решение. Используем формулу (1.2):

d[6 ( 2)]2 [( 12) 3]2 64 225 17.

§1.4. Деление отрезка в данном отношении

Пусть даны точки M1(x1, y1) ,

M 2 (x2 , y2 ) . Требуется найти точ-

ку M (x, y) , которая делит отрезок

M1M 2

в отношении 1 : 2 , т. е.

удовлетворяющую соотношению

M1M

1

. Тогда

координаты

M M 2

2

точки М вычисляются по формулам:

x

x1 2

x2 1

;

y

y1 2

y2 1

.

(1.3)

1

2

1 2

Пусть M (x, y) – середина отрезка M1M2. Легко видно, что координаты точки М вычисляются по следующим формулам:

x	x1 x2	;	y	y1 y2	.	(1.4)
2			2

6

Пример 1.2

Найти центр тяжести M (x, y) треугольника ABC (рис. 1.5), ес-

ли A(1, 5), B(7, 8), C(4, 2) .

				K			B
			A	1
				M
				2
				C
				Рис. 1.5
	Решение. Известно, что искомая точка М лежит на пересечении
медиан треугольника				и делит каждую из них в отношении						2:1
(считая		от	вершины	треугольника).	Так	как	CK –	медиана,		то
K(x , y )		–	середина стороны AB . Тогда			x 1 7 4;		y 5 8 6,5 .
1	1					1	2	1	2
Теперь используем формулы (1.3). Делим отрезок CK в отношении 2:1,
получим:
			x 4 1 4 2 4; y		2 1 6,5 2		5.
				1 2	1 2

Итак, M(4; 5).

§ 1.5. Полярные координаты точки

Рассмотрим на плоскости луч (O, E) с начальной точкой O и некоторой точкой E. Луч называется полярной осью, точка O – полюсом,

точка E – единичной точкой.

Пусть M – произвольная точка плоскости. Длину отрезка OM, измеренного единичным отрезком OE, называют длиной полярного радиуса точки M и обозначают r. Положительный угол от луча (O, E) до луча (O, M) называют полярным углом точки M и обозначают буквой (рис. 1.6). Пара чисел и r называется полярными координа-

тами точки M. Последний факт записывается следующим образом:

M( , r).

7

M

r

O E

Рис. 1.6

Если известны полярные координаты , r точки M, то по формулам:

x r cos ; y r sin

(1.5)

вычисляются декартовы координаты. Обратно, если известны декартовы координаты x, y точки M, то ее полярные координаты вычисляются по формулам:

	r	x2 y2 ;
				x				x
	cos									;	(1.6)
				r				x2 y2
			y					y
	sin								.
			r					x2 y2

§ 1.6. Элементы векторной алгебры

Одни физические величины, такие как масса, температура, время, можно вполне характеризовать численным значением. Такие величины называются скалярными, а числа, выражающие значения этих величин, называются скалярами. Другие же величины, такие как сила, скорость, ускорение, характеризуются не только численным значением, но и направлением. Такие величины называются векторными.

Под скалярами мы будем понимать вещественные числа. Вектором называется отрезок, концы которого рассматриваются в определенном порядке.

Если за первую точку отрезка AB принять точку A, а за вторую –

точку B, то вектор записывается символом AB . Точка A называется

начальной точкой вектора, а точка B – конечной. Иногда вектор обо-

8

значают одной буквой (прописной латинской) с черточкой вверху, например, a . На чертежах вектор изображается отрезком со стрелкой, направленной к концу отрезка (рис. 1.7).

M

A B C

D N

Рис. 1.7

Если конечная точка B вектора совпадает с начальной точкой A, то вектор AB называется нулевым вектором. Длина отрезка AB назы-

вается модулем вектора AB и обозначается символом | AB |. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Два вектора называются равными, если они имеют общее направление и равные модули.

Два вектора называются коллинеарными, если они принадлежат одной прямой или параллельным прямым.

Проекция вектора на ось

Пусть задан вектор AB и ось L (рис. 1.8).

				B
		A
					B1 L
		A
1
Рис. 1.8

Пусть A1 и B1 – проекции точек A и B на эту ось. Проекцией вектора AB на ось L называется длина вектора A1B1 , взятая со знаком «+», если направление A1B1 совпадает с направлением оси L, и взятая

9

со знаком «–», если направления A1B1 и L противоположны. Проекция вектора AB на L ось вычисляется по формуле

ПрL AB | A1B1 | cos ,

где – угол между вектором AB и осью L.

Сложение и вычитание векторов

Сумма векторов a1 a2 ... an определяется следующим обра-

зом: совместим начало второго вектора с концом первого, начало третьего вектора с концом второго и т. д., начало n-го вектора с концом (n –1)-го вектора (рис. 1.9).

a2

a	a3
1

d an 1

an

Рис. 1.9

Вектор d , начало которого совпадает с началом вектора a1 , а конец совпадает с концом вектора an , называется суммой векторов a1 , a2 , ..., an и записывается следующим образом:

d a1 a2 ... an .

При сложении двух векторов можно воспользоваться правилом параллелограмма, смысл которого состоит в следующем: возьмем два вектора a1 и a2 , совместим их начала и достроим до параллелограмма

(рис. 1.10). Вектор-сумма d a1 a2 совпадает с большей диагональю

параллелограмма и направлен от общего начала этих векторов в сторону противоположной вершины параллелограмма.

10