Математика / 3353

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный технический университет имени П.О. Сухого»

Кафедра «Высшая математика»

АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ПРАКТИКУМ

по курсам «Математика» и «Высшая математика»

для студентов заочной формы обучения

Гомель 2006

УДК 512+514.12(075.8) ББК 22.14;22.151.5я73

А45

Рекомендовано научно-методическим советом заочного факультета ГГТУ им. П. О. Сухого

(протокол № 1 от 23.09.2005 г.)

Авторы-составители: Л. Л. Великович, В. И. Лашкевич, М. В. Задорожнюк

Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доц. каф. «Высшая математика» ГГТУ им. П. О. Сухого С. Л. Авакян

Алгебра и аналитическая геометрия : практикум по курсам «Математика» и «ВысА45 шая математика» для студентов заоч. формы обучения / авт.-сост.: Л. Л. Великович, В. И. Лашкевич, М. В. Задорожнюк. – Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2006. – 26 с. – Систем. требования: PC не ниже Intel Celeron 300 МГц ; 32 Mb RAM ; свободное место на HDD 16 Mb ; Windows 98 и выше ; Adobe Acrobat Reader. – Режим доступа:

http://gstu.local/lib. – Загл. с титул. экрана.

Практикум содержит 32 варианта задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. Подробно разобраны все типы задач, предложенных в практикуме, что поможет студентам усвоить данный материал.

Для студентов заочной формы обучения.

УДК 512+514.12(075.8) ББК 22.14;22.151.5я73

© Учреждение образования «Гомельский государственный технический

университет имени П. О. Сухого», 2006

Задание 1. Найти значение многочлена f (x) от матрицы A .

1.			1				2
	f (x) = x2 − x +5; A =							;
			−2				1
2.			−2							4
	f (x) = 2x2 −3x −1; A =											;
					1			−
											3
3.	f (x) = 3x2 + 2x −7; A =				0			3
											;
								1
				−2
4.	f (x) = −x2 + 4x −8; A =				4			−2
													;
					−1			−			2
5.	f (x) = 2x2 − x +6; A =			2			0
									;
				4			−	6
6.	f (x) = −x2 +3x +3; A =				4					2
												;
					−3
								−1
7.		2		−1
	f (x) = x3 −2x; A =					;
		3		0
8.					1			−1
	f (x) = 4x2 −5x +1; A =											;
									1
			−2
9. f (x) = −2x2 + 2x +3; A =							1					3
													;
						−2
											−1
10.					0			2
	f (x) = 5x2 − x +1; A =									;
								1
			−1
11.	f (x) = −4x2 +3x −3; A =						3				5
													;
							0			−
												1
12.	f (x) = 2x2 −5x + 4;	A =			−1						−3
													;
						−2
												2
13.	f (x) = 3x2 +3x −7;			1				1
		A =						;
				1				3
14.	f (x) = −x2 −5x +3;	A =				2				1
													;
						0		−			2
15.		1		4
	f (x) = x3 + 4; A =					;
		0
				−2

3

16.f (x)

17.f (x)

18.f (x)

19.f (x)

20.f (x)

21.f (x)

22.f (x)

23.f (x)

24.f (x)

25.f (x)

26.f (x)

27.f (x)

28.f (x)

29.f (x)

30.f (x)

= 2x2 + 2x + 4; A =	−1					−3
									;
							1
	− 2
= −2x2 + x +1; A =		3			4
							;
					1
	−3
= −x2 +3x +7; A =	−			4			1
									;
			2
						−3
= 3x2 + 2x −5; A =		1			1
								;
		0		−5
	2			−	4
= 3x2 + x −2; A =						;
	0			−	5
= −2x2 + 4x +1; A =				4				0
									;
			−3
							−2
= −3x2 +3x + 4; A =				2			−1
									;
			−1
						−3
= −3x2 − x +6; A =		2					0
									;
		−2
						−3
= 3x2 +3x +5; A =	−1					1
								;
		5
					−3
= 2x2 + 4x −7; A =	−3				0
								;
		2			6
= −2x2 −6x +5; A =				4				2
									;
			−3
								−1
= 3x2 −2x +6; A =		2		− 2
								;
		1			4
= 2x2 +6x −8; A =		3				0
								;
		− 2
					−1
				1	− 2
= −4x2 + 3x +3; A =									;
				2	−3
	4				0
= x2 +6x −2; A =								;
	−3 −3

4

31. f (x) = 3x2 + x −1;		0	1
	A =		;
		−2
			1

32.	f (x) = −x2 +3x + 2;		2	1
		A =		;
			−1
				3

Задание 2. Решить систему уравнений матричным методом, с помощью правила Крамера и методом Гаусса.

	−2x1 +4x2 + x3 = 3
1.		3x1 −2x2 −2x3 = −5
				x	+ x			−		3x		= −4
				1		2				3
				3x1 −3x2 = 9
3.		− x1 + x2						+5x3 = −8
									+ 4x3 = −6
	6x1 + 4x2
		x +4x						− x			= 6
				1		2				3
5.	−4x1 +3x2 + 2x3 = 4
	−			5x		+5x				+ 2x = 5
				1					2				3
	x			+6x			+ 2x				= 7
		1				2				3
7.		−5x1 + x2 −6x3 = 8
		2x − x						+		3x		= −2
				1		2				3
	4x −3x							+ x = −3
				1		2				3
9.			− x1 + x2 −4x3 = 2
				3x		− x			−5x				= 4
				1			2				3
		x − x					+ x = −1
				1		2				3
11.		6x1 −6x2 + x3 = −6
		2x				+ x			+3x				= −5
				1		2				3
		2x			+3x					+ x			= 6
				1				2		3
13.				4x1 −6x2 +5x3 = 9
						4x		+ x			=1
						1				2

x1 −4x2 + 2x3 =10

15.4x1 + 2x2 +5x3 = 42x1 +5x2 − x3 = −6

	3x		+ 2x	+ 2x	= −8
		1	2	3
2.		2x1 + 2x2 −2x3 = 5
			−6x	+5x	= −9
			2	3

=−7

4.2x1 −6x2 +6x3 = 23x1 − 5x3 = −13x2 + x32x2 +4x1 −

			6x +2x		= 4
6.			1	3
	2x1 +6x2 −3x3 = −2
		x +3x −			4x = 9
			1	2	3
	x		+ x	+6x = −3
		1	2		3
8.		3x1 −4x2 +5x3 = 6
			x	− x	= −6
			1	3

x1 +6x2 −5x3 = 3

10.−6x1 + 4x2 +4x3 = −2x1 4x3 = 4+5x2 −

	−3x + x					+ x				=		3
		1		2				3
12.		5x1 + x2 + x3 = −9
		−5x	+ x				+5x					= 5
		1			2					3
	2x +		3x	2		+ 2x				3		= −3
		1
14.		4x1 +5x2 + x3 = 0
		x + 2x			2		+	4x			3	= −9
		1
	2x −5x					+ x			= −7
		1	2				3
16.		−3x1 +2x2 + 2x3 = 7
		− x	−3x				+ x					= 2
		1				2				3

5

	x +3x			−3x		= 7
		1	2		3
17.	−3x1 +4x2 +3x3 = 5
		3x	+ x		−4x		= 5
		1		2	3
	3x + 4x				+6x		= 3
		1		2	3
19.		3x1 + 2x2 +6x3 = −3
		x	+3x		+ x		=10
		1		2	3

=0

21.− x1 +6x2 −4x3 =12x1 + 3x3 = 65x2 + x3x2 +4x1 −

	2x + 4x							−5x = 4
		1				2				3
23.		x1 +2x2 −2x3 = 6
		−6x			+6x				+5x = 4
				1				2		3
		x			+6x				= 5
25.			1					3
	−3x1 + 2x2 + x3 =10
		−2x				+ x			− x = 0
				1				2		3
	5x		−4x					+ x		= −4
		1				2			3
27.		−4x1 +6x2 + 2x3 = 6
		− x		+4x					+5x = 0
			1					2		3
	− x			+ x			− x			=1
		1				2			3
29.	x1 +5x2 −3x3 = −9
		4x	−		2x			+	5x = 5
		1				2				3
	3x		+ 2x					− x		= 4
		1				2			3
31.		− x1 + x2 +3x3 = 3
				2x − x					2	=1
						1

x1 −3x2 + 4x3 = −7

18.x1 + 4x2 +3x3 = −43x1 −6x2 +4x3 = 3

4x1 +6x2 + x3 = 6

− x1 + x2 −2x3 = 6

3x1 +5x2 +6x3 = 620.

	5x +4x			−6x = 4
		1	2	3
22.		3x1	+ 2x2 −6x3 = 4
		x	+ x	−2x = 2
		1	2	3

2x1 − x3 = 3

24.4x1 +5x2 −6x3 =10= 2x1 +3x2 − x3

	−4x		+3x					+ 4x		=1
		1					2		3
26.		5x1 +4x2 + 4x3 = 0
		− x		+ x				+4x		= 3
		1					2		3
	−2x		+5x					+6x		= 3
		1					2		3
28.		− x1 +3x2 +5x3 = 6
		4x	+		4x			+	5x		= 3
		1					2		3
	x +2x				+6x				= 2
		1		2				3
30.		−4x1 +4x2 + x3 = 6
		3x −4x +4x = 0
		1				2			3
		2x + x			2		+ x		= 4
		1						3
32.	−2x1 + 2x2 − x3 = −1
		x −	3x				+ 2x = 3
		1			2				3

6

Задание 3. Даны				векторы a(a1 , a2 , a3 ),								(b1 , b2 , b3 ), c(c1 , c2 , c3 ),
											b
		(d1 , d2 , d3 ) в некотором базисе. Показать,								что векторы a ,						, c об-
	d													b
разуют базис и найти координаты вектора											в этом базисе.
									d
			a			b					c				d
1			3, 3, 1		4, 2, 3			6, 6,		1			3, -3, 10
2			4, -1, 3		6, 2, 5			6, 6,		6			6, 6, 6
3			4, -1, 2		-5, 6, 1			0, 1,		6			0, 1, 6
4			5, 3, 1		4, 2, 1			-6, -6, -2					4, 4, 2
5			2, 1, -6		4, 2, 6			-5, -2, 5					4, 6, 4
6			2, 4, 1		0, 5, 3			-1, -6, -1					3, 10, 2
7			1, -3, -2		0, 2, 1			6, 1, -1					5, 10, 0
8			-4, 5, -1		3, 4, 1			4, 4,		4			1, 0, 3
9			5, -4, -1		-4, 6, 4			1, 2,		5			-4, 6, 0
10			-2, -1, 4		5, 3, 4			6, 5,		5			3, 6, 3
11			-1, 1, 4		1, 5, -2			-1, -3, 5					1, -9, 5
12			1, -4, 3		2, 4, -4			6, 1,		4			2, 6, 0
13			-2, 3, 1		4, -2, 1			1, -2, -3					3, -5, -4
14			3, 2, -6		2, 1, 0			2, -2, 5					-8, 5, -9
15			3, -1, 6		-3, 1, 4			0, 5,		4			9, -8, -6
16			4, 2, 3		-3, -6, -2			1, 6,		5			-7, 2, -1
17			1, -4, -5		4, 3, 5			-1, 2, 2					6, 4, 5
18			6, 2, 1		0, 6, 3			2, -3, -4					4, -2, 9
19			1, -5, 2		6, 1, -1			2, -6, 3					7, 8, -2
20			1, 3, 1		1, -4, 0			6, 5, -1					-3, 6, -6
21			4, -1, 3		-3, 1, -1			1, -4, -5					-3, 2, 4
22			1, -6, 1		6, 4, 5			-5, 4, -4					3, -2, 4
23			1, 6, 2		-1, -6, 1			1, 1,		3			-1, -6, -5
24			-3, 1, -5		1, 1, 1,			1, 1,		5			3, -9, 5
25			2, 4, 4,		3, -6, 1			1, 5,		0			6, 9, 1
26			2, 4, 1		3, 5, 2			2, 1,		4			-3, 0, -9
27			1, 4, 2		-4, 2, 5			2, 5,		-1			10, 4, -6
28			2, -3, -1		-5, 2, -3			1, 2,		1			-7, 7, 2
29			1, -3, 3		3, 4, 1			-3, 3, -4					7, 5, 5
30			1, 1, 3		-3, 4, -6			4, 3,		4			-7, -4, 3
31			2, -2, 1		1, 2, -3			1, -1, 2					4, -1, 3
32			3, -1, 2		2, 1, -1			-1, 3, 0					4, 3, 1

7

Задание 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a , b .

	a		b					p			q		(p, ^ q )
1	3 p + 2q		p − 2q				2			3			3π 4
2	2 p −3q	4 p + 3q					1			2			π 6
3	3 p + 3q	3 p + 4q					3			2			π 2
4	p + q	5 p − 2q					1			4			π 3
5	3 p − q	3 p − 2q					3			5			2π 3
6	4 p + 2q	3 p + 2q					1			3			3π 4
7	p − 4q	4 p + 3q					2			4			π 2
8	3 p − q	2 p + 3q					4			3			5π 6
9	p − 4q	2 p + q					6			1			π 3
10	2 p + q	3 p − q					2			3			π 4
11	3 p +3q	2 p − 4q					3			1			π 6
12	2 p − q	4 p + 3q					1			5			π 2
13	2 p + 5q		p + 2q				3			1			5π 6
14	p + q	3 p			−	2q	5			1			π
													3 4
15	3 p + q		p − 4q				2			2			π 3
16	p − q	2 p + 4q					4			2			π 3
17	p + 4q		p − q				4			1			π 6
18	2 p + q	3 p − 2q					2			6			π 4
19	3 p − 2q	2 p − q					3			4			π 2
20	3 p − q		p + 4q				3			2			π 6
21	2 p + q	2 p − q					4			7			2π 3
22	p +3q	3 p − q					2			1			π 2
23	2 p −5q		p + 3q				4			1			π 6
24	p − 2q	2 p − q					5			4			π 6
25	p + 3q	2 p + q					2			4			π 4
26	2 p − q	3 p − q					4			3			π 3
27	3 p + q	4 p − q					1			6			3π 4
28	p −5q		p + q				5			1			π 2
29	2 p −3q	3 p + 4q					3			5			π 4
30	p + 6q	2 p − q					4			6			π 6
31	2 p +q	3 p −2q					3			5			π 2
32	7 p + 2q		p −q				1			3			5π 4

8

Задание		5.		Даны		две		плоскости		A1 x + B1 y +C1 z + D1 = 0 и
A2 x + B2 y + C2 z + D2						= 0 .	Найти: 1) косинусы углов между ними;
2) канонические уравнения прямой, по которой они пересекаются.
	A1		B1		C1			D1	A2		B2	C2	D2
1	3		2		-4			1	2		4	-3	5
2	-7		1		3			0	2		-4	8	6
3	4		-1		-6			7	-4		2	-3	1
4	3		-4		5			8	-3		2	4	7
5	2		0		7			1	3		-8	1	-4
6	-2		1		-4			5	3		-4	-3	1
7	1		-2		2			4	4		2	-3	-6
8	-5		-1		3			2	0		-3	1	4
9	4		0		1			-5	2		-3	3	7
10	2		-2		0			1	4		-3	-5	6
11	3		-3		4			6	2		-2	2	-5
12	2		-5		1			4	3		-2	5	6
13	-4		-3		-4			1	2		5	-3	7
14	5		2		1			-1	3		0	-2	1
15	4		-5		1			4	2		-2	3	8
16	1		-3		-1			7	3		1	4	5
17	-3		0		2			5	2		1	-4	-1
18	4		4		-3			1	2		-3	-1	5
19	-3		2		-3			5	2		-3	1	1
20	4		7		-1			3	5		2	-3	1
21	2		4		6			1	6		-3	0	7
22	-4		0		3			7	-2		1	1	5
23	3		6		-1			1	-7		-2	3	-4
24	5		-1		3			6	4		-5	-1	5
25	2		1		-3			4	1		5	-2	7
26	6		5		-4			2	-1		3	-2	8
27	1		7		1			2	3		-2	1	-1
28	3		-3		5			7	-5		3	3	-2
29	-8		-3		-1			5	4		1	1	3
30	4		8		3			3	1		-1	4	5
31	3		1		-2			-1	2		-3	0	4
32	4		-1		5			3	0		2	-2	1

9

Задание 6. Найти точку M , симметричную точке M относительно
		′
плоскости Ax + By +Cz + D = 0.
	M	А	В	С	D
1	1, -3, 2	3	-2	1	3
2	-2, 4, 3	2	0	1	4
3	3, 0, -8	6	1	-2	6
4	2, -2, -1	-1	4	3	0
5	5, -3, 0	-2	3	0	-7
6	4, 5, -3	1	-4	2	1
7	-2, 3, -1	0	3	-2	2
8	4, -1, 1	-3	2	-5	2
9	3, 3, 4	1	1	6	8
10	-6, -1, 0	3	0	-4	-7
11	4, -1, 1	5	-1	1	5
12	4, 0, 3	2	-2	3	0
13	7, 1, 5	1	0	4	7
14	0, -5, 5	-3	4	-5	-5
15	1, -4, 5	2	-2	1	3
16	1, 2, 0	2	-3	1	-10
17	3, -4, 3	4	-3	5	11
18	3, -5, -4	-3	1	2	-6
19	3, 0, -7	6	-2	-3	10
20	7, 0, -1	7	-1	1	3
21	0,5,1	-3	2	0	3
22	1, 5, 4	1	5	3	-3
23	-2, 4, 3	2	-2	-1	-3
24	-4, -5, -4	1	4	6	-4
25	1, -2, -3	3	0	-1	4
26	4, 4, -4	4	1	-6	8
27	2, -3, 2	-3	3	-2	-3
28	6, 0, -2	6	2	-3	7
29	2, -4, 5	2	-3	1	7
30	3, -1, -3	3	1	-4	6
31	1, -2, 3	2	-2	3	2
32	2, 1, -4	-2	1	1	1

10