ТОЭ3 / Примеры решения задач по Теме 1

ПРИМЕР РЕ ЕНИ ЗАДАЧ

ТЕМА 1. ЭКВИВАЛЕНТН Е ПРЕОБРАЗОВАНИ В ЛИНЕ Н ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ЦЕП . МЕТОД УРАВНЕНИ КИР ГОФА

Вводные положения

Ток I и напряжение Uab участка ab, имеющего электрическое сопротивлениеR (рис. 1.1, а), связаны законом Ома: Uab = RI. Вели-

чину, обратную сопротивлению, называют электрической проводимостью: G =1R . Закон Ома применяется для ветви или для однокон-

турной схемы; при его написанииследует прежде всеговыбрать произвольно некоторое положительное направление тока. Для ветви, не содержащей ЭДС (например, для ветви ab на рис. 1.2), при положительном направлении тока от точки a к точке b

I = (ϕa − ϕb ) Rab =Uab Rab ,

где ϕa

и ϕb

– потенциалы точек a и b; Uab – разность потенциалов

(напряжение) между точками a и b; Rab = R4 + R5 .

а

а

а

а

I

а

E

R

I

Uab

Uab

R

Uab

I

Uab

Uab

G =

1

J

R

I

J

I

b

b

b

b

b

а)

б)

в)

г)

д)

Рис. 1.1

e

а

а

R3

R8

R4

R6

E1

E3

I

R10

R

U1

R5

1

d

I1

U

R2

U 2

R

R

E2

1

9

b

b

c

Рис. 1.2

1

Для ветви схемы, содержащей ЭДС и резисторы, например, для ветви acb на рис. 1.2:

I	= ϕa −ϕb + ∑ E	=	Uab + E1 − E2	,
1	Racb		Racb

где Racb = R1 + R2 + R9.

Первый закон Кирхгофа:

n

∑ Ik = 0 .

k =1

Второй закон Кирхгофа:

n	n
∑Uk = 0	либо ∑ Ek
k =1	k =1

n

= ∑ Rk Ik .

k =1

Для написания первого закона Кирхгофа необходимо задаться положительными направлениями токов каждой ветви. Токи, направленные к узлу, принимаются положительными, а направленные от узла – отрицательными (или наоборот). Для написания второго закона Кирхгофа необходимо произвольно выбрать положительное направление обхода контура. Со знаком «+» берут падения напряжения в тех ветвях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода (независимо от направления ЭДС в этих ветвях), а со знаком «–» берут падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода. Величины ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода(независимо от направления тока, протекающего через них), принимаются положительными, а ЭДС, направленные против выбранногонаправления обхода, – отрицательными.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать контуры, не содержащие источников тока !

Идеальный источник электродвижущей силы характеризуется напряжением U ab , которое не зависит от тока I и называется элек-

тродвижущей силой E (рис. 1, б): Uab = E.

Реальный источник электродвижущей силы имеет внутреннее сопротивление и изображается схемой последовательного соединения ЭДС E и внутреннего сопротивления R (рис. 1.1, в).

2

Идеальный источник тока: ток J источника не зависит от напряжения U ab ; внутренняя проводимость источника тока равна нулю,

сопротивление источника тока бесконечно велико (рис. 1.1, г). Реальный источник тока (с внутренней проводимостью

G = 1R ) может быть изображен в виде параллельной схемы, содер-

жащей источник тока J и проводимость G (рис. 1.1, д).

Переход от схемы реального источника ЭДС к эквивалентной схеме реального источника тока осуществляется по формулам:

J = ER, E = JG , R = 1G.

Эквивалентные преобразования схем не должны привести к из-

менению токов или напряжений на участках схемы, не подвергшихся преобразованию.

Замена последовательно соединенных сопротивлений одним эквивалентным: эквивалентное сопротивление схемы, состоящей из n последовательно соединенных сопротивлений, равно сумме этих сопротивлений, т. е.

n

Rэк = ∑ Rk .

k =1

При этом сопротивления соединены последовательно, если они обтекаются одним и тем же током (например, на рис. 1.2 последовательно соединены сопротивления R1, R2 и R9 ).

Замена параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным: эквивалентное сопротивление схемы, состоящей из n параллельно соединенных сопротивлений определяется по формуле

	1	n	1	n
		= ∑		или Gэк = ∑Gk .
	Rэк
		k =1 Rk		k =1

При этом сопротивления соединены параллельно, если все они при-

соединены	к одной паре узлов,	например,	сопротивления
R45 = R4 + R5	и R10 (см. рис. 1.2).

При параллельном соединении n ветвей (рис. 1.3, а) ток каждой из ветвей вычисляется через ток I неразветвленной части схемы:

Ik = I	Gk	.
	n
	∑Gk
	k =1

3

В частном случае двух параллельных ветвей (рис. 1.3, б):

I2 = I1

G3

=

I1

R3

I3 = I1

G3

= I1

R3

;

.

G

2

+ G

R

+

R

G

2

+ G

R

+ R

3

2

3

3

2

3

R1

I

I1

U

R1

R

R

R

U

R

R3

2

l

n

2

I

I

2

Il

I

n

I2

I3

1

а)

б)

Рис. 1.3

Преобразование треугольника сопротивлений (рис. 1.4, а) в эквивалентную звезду сопротивлений(рис. 1.4, б) производится по формулам:

R1 =	R12 R31	; R2	=	R23R12	; R3	=		R31R23		.
	R12 + R23 + R31			R12 + R23 + R31
							R + R + R
							12	23	31

Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник сопротивлений производится по формулам:

R = R + R + R1R2					;	R = R + R +			R2 R3		;	R = R + R +					R3R1	.
12	1	2	R3			23	2	3	R1			31		3		1	R2
			1									1
												R1
		R31				R12						0
									R							R2
										3
	3			R23			2		3							2
				а)										б)
							Рис. 1.4

4

Баланс мощностей: для любой замкнутой электрической схемы сумма мощностей PИ , развиваемых источниками электрической энергии,

равнасумме мощностей PП , расходуемых вприемниках энергии, т. е.

	∑PИ = ∑PП	или ∑(Ek Ik	+Uk Jk )= ∑Ik2 Rk .
Здесь	∑Ek Ik – алгебраическая сумма,		в	которойположительны те
слагаемые, для которых направления ЭДС				Ek и соответствующего
тока	I k совпадают(в	противном случаеслагаемое отрицательно);

∑Uk Jk – алгебраическая сумма, в которой положительны те слагаемые, для которых напряжение на источнике тока и его ток J k противонаправлены; в противном случае слагаемое отрицательно; ∑Ik2 Rk –

арифметическая сумма, в которой учитываются как внешние сопротивления, так и сопротивления самих источников энергии.

Примеры решения задач

Эквивалентные преобразования в электрических цепях

1. Для схемы рис. 1.1.1 найти эквивалентные сопротивления

между зажимамиa и b, с и d,

d и b, если

R1 = 6 Ом; R2 =5 Ом;

R3 =15 Ом; R4 = 30 Ом; R5 = 6 Ом.

c

d

a

R1

R2

R3

R4

R5

b

b

Рис. 1.1.1

Решение

Рассчитаем эквивалентное сопротивление Rab . Расчет начинаем

с элементов, наиболее удаленных от зажимов a и b, а именно с сопротивлений R4 и R5 , которые присоединены параллельно к узлам b и d.

Эквивалентное сопротивление участка bd равно

5

	R4,5	=	R4 R5	=	30	6	= 5 Ом.
			R4 + R5		30 + 6

Сопротивление R4,5 соединено последовательно с R2 (рис. 1.1.2). Общее сопротивлениеучастка cbd равно

R′ = R2 + R4,5 = 5 +5 =10 Ом.

Эквивалентная схемы показана на рис. 1.1.3. Схема состоит из сопротивления R1 , последовательно с которым на участке cb соединены два

параллельных сопротивления R′		и R3 :
	R′R			10 15
R =	3	=			= 6	Ом.
cb	R′+ R		10 +15
	3

Эквивалентное сопротивление Rcb соединено последовательно с сопротивлением R1 (рис. 1.1.4). В итоге имеем:

Rab = R1 + Rcb = 6 + 6 = 12 Ом.

R1	c	R2	d	a	R1	c		R1
a								a
		R3 R4,5				R	R′	Rcb
						3
b				b				b
	Рис. 1.1.2				Рис. 1.1.3			Рис. 1.1.4

c	R2	d	d
		c
			R 2
R3	R4,5
		b	R′′
Рис. 1.1.5			Рис.1.1.6

6

Рассчитаем эквивалентное сопротивление Rcd . На его величину сопротивление R1 не влияет. В данном случае схема содержит уча-

сток bd, который был рассмотрен в предыдущем случае. Его эквивалентное сопротивление R4,5 было найдено выше. Это сопротивление

соединено последовательно с сопротивлением R3 (рис. 1.1.5):

R′′ = R3 + R4,5 =15 +5 = 20 Ом.

Сопротивление Rcd состоит из двух параллельно соединенных сопротивлений R2 и R′′(рис. 1.1.6):

	R R′′			5 20
R =		2	=		= 4	Ом.
cd	R	+ R′′		5 + 20
	2

Рассчитаем сопротивление Rdb . По отношению к зажимам d и b схема состоит из трех параллельно соединенных сопротивлений R5 ,

R4 и R2,3 = R2 + R3 = 5 +15 = 20 Ом (рис. 1.1.7 и 1.1.8) .

d

R2

d

R

R4

R5

2,3

R3

R4

R5

b

b

Рис. 1.1.7

Рис.1.1.8

С учетом этого

1

=

1

+

1

+

1

=

1

+

1

+

1

=

1

См,

R

R

R

R

30

20

4

6

db

5

4

2,3

откуда Rdb = 4 Ом.

2. Найти

распределение

токов

в

схеме

рис. 1.2.1, если

R1 = R2 = 0,5 Ом;

R3 = 6 Ом;

R4 = 6 Ом;

R5 = R6 =1 Ом; R7 = 2 Ом;

а напряжение на входе U =120 В.

7

I1			R1	a			I4
						I3
U							R3
			R2

c

R6 I6

R4

R7

b

R5 I5

Рис. 1.2.1

Решение

Определяем общее сопротивление схемы, заменяя ее отдельные участки эквивалентными сопротивлениями:

	R =			(R6 + R7 )R4			=	1(+ 2) 6	= 2 Ом;
	ab			R6	+ R7 + R4			1 + 2 + 6
	R =	(Rab + R5 )R3					= (2 + 1) 6 = 2 Ом.
	ac		Rab + R5 + R3					2 + 1 + 6
Общее	или				входное			сопротивление		схемы

Rвх = Rac + R1 + R2 = 2 + 5, +0 5, =0 3 Ом.

Ток в неразветвленной части схемы, т. е. на участках с резисторами R1 и R2 ,

I =	U	= 120 = 40 А.
1	Rвх	3

Напряжение Uac можно определить двумя способами: 1) Uac = U −(R1 + R2 )I1 =120 −( 5, +0 5,)0 40 = 80 В;

2) Uac = Rac I1 = 2 40 = 80 В.
В резисторе R3	ток определяется по закону Ома:
	I3		=	Uac	= 80 = 13 3, А.
				R3			6
В резисторе R5	ток
	I5 =		Uac			=		80	= 26 7, А.
							1 + 2
		R5 + Rab

8

Проверка: I1 = I3 + I5 , или 40 =13,3 +26,7 А.

Напряжение на участке ab

Uab = Rab I5 = 2 26,7 = 53,4 В

или

Uab =Uac − R5I5 = 80 − 26,7 = 53,3 В.

Врезисторе R4 ток

I4

=

Uab

= 53,3 =8,9 А.

R4

6

В резисторах R6 и R7 ток

I6 =

Uab

= 53,3

=17,8 А.

R6 + R7

1 + 2

Проверка: I5 = I4 + I6 , или 26,7 = 8,9 + 17,8.

3. Определить

входное сопротивление электрической схемы

(рис. 1.3.1) и все токи в ней, если U =114 В; R1 = 30 Ом; R2 = R3 = 10 Ом;

R4 = 26 Ом; R5 =11 Ом; R6 =10 Ом; R7 = 40 Ом;

R8 = 50 Ом.

I1

R1

b I4

R4

d I7

R7

a

g

I

R3

R6

R2

I3

R5

I6

R8

I2

I5

c

f

I8

+

U

Рис. 1.3.1

Решение

Заменим эквивалентными звездами треугольники сопротивлений с вершинами в узлах abc и dfg (рис. 1.3.2). Подсчитаем сопротивления r1 , r2 , r3 лучей звезды, эквивалентной треугольнику abc сопро-

тивлений R1, R2, R3:

9

r1

=

R1R2

=

30 10

= 6

Ом;

R1

+ R2 + R3

30

+ 10 + 10

r2

=

R1R3

=

30 10

= 6

Ом;

R1

+ R2 + R3

30

+ 10 +

10

r3

=

R2 R3

=

10 10

= 2

Ом.

R1

+ R2 + R3

30

+ 10 +

10

Определим сопротивления r4 , r5 , r6 лучей звезды, эквивалент-

ной треугольнику dfg сопротивлений R6, R7, R8:

r4

=

R6 R7

=

10 40

= 4

Ом;

R6

+ R7 + R8

10

+ 40 +

50

r5

=

R6 R8

=

10 50

= 5

Ом;

R6

+ R7 + R8

10

+ 40 +

50

r6 =

R7 R8

=

40 50

= 20 Ом.

R6

+ R7 + R8

10

+ 40 + 50

Эквивалентное сопротивление всей схемы:

R = r1 + RR′+′RR′′′′+ r6 = 6 + 3636+1818 + 20 = 38 Ом,

где

R′ = r + R + r = 36			Ом; R′′ = r + R + r =18 Ом.
2	4	4	3	5	5

r2

a r1

m

I

r3

b I4

R4

d

I5	R5
c	f

r4

r6 g

n

r5

+ U

Рис. 1.3.2

10