- •Кафедра «Информационные технологии»
- •Решение задач оптимизации и исследования операций в
- •1. Решение задач поиска экстремума функций
- •Общее замечание
- •1. Решение задач поиска экстремума функций 1.1. Сведения из математики
- •Равенство 0 производных является необходимым,
- •Поэтому в общем случае после нахождения
- •1.2. Решение задач поиска экстремума функций в пакете Mathcad
- •При приближенном численном решении задач
- •Правила использования Minerr такие же, как и Find (в блоке решения):
- •Примеры 1, 2 иллюстрируют, как численно решать задачи на поиск экстремума функций средствами
- •Пример 3.
- •Документ Mathcad – попытка 1 (неудачная)
- •Документ Mathcad – попытка 2 (удачная)
- •Самостоятельно: проверить, что здесь достигается именно минимум площади при
- •Также оно не
- •2. Решение задач математического программирования
- •2.1. Задача о смеси
- •Структура документа Mathcad
- •Документы Mathcad
- •2.2. Задача о раскрое
- •Документ Mathcad – пример решения задачи раскроя
- •Документ Mathcad – пример решения задачи раскроя (продолжение)
Кафедра «Информационные технологии»
Исследование операций
Курс лекций по дисциплине «Исследование операций»
для специальности направления 1-40 01 02 01 «Информационные системы и
технологии (в проектировании и производстве)»
Е.Г. Стародубцев, доцент, канд. физ.-мат. наук
Решение задач оптимизации и исследования операций в
пакете Mathcad
2
1. Решение задач поиска экстремума функций
2. Решение задач математического
программирования
2.1. Задача о смеси
2.2 Задача о раскрое
3
Общее замечание
Пакет Mathcad до версии 8.0 не имел встроенных специализированных средств для решения задач оптимизации. Начиная с версии 8.0 (Mathcad 8.0, 2000, 2001, …), в Mathcad появились специальные функции: maximize, minimize для решения таких задач.
В версиях Mathcad до 8.0 для решения этих задач
можно использовать блок решения (конструкции |
|
Given…Find, Given…Minerr). |
4 |
|
1. Решение задач поиска экстремума функций 1.1. Сведения из математики
Решение задач оптимизации часто связано с поиском экстремума (максимума или минимума) функций одной или нескольких переменных.
Вспомним некоторые сведения из математики.
Необходимым условием существования экстремума функции многих переменных
f(x1, x2, …, xn)
является выполнение в точке экстремума равенств:
f/ x1 = f/ x2 = … = f/ xn = 0,
т.е. частные производные по всем координатам в этой точке должны быть равны 0. В случае функции
одной переменной f(x) получим одно условие: f/ x =
0. 5
Равенство 0 производных является необходимым,
но не достаточным условием экстремума. Например,
для функции y = f(x) = x3 производная df/dx = 3x2 = 0
при x=0, но эта точка не является точкой экстремума:
6
Поэтому в общем случае после нахождения
точки, в которой частные производные
обращаются в 0 или не существуют (такие точки
называются критическими), нужно выполнить
дополнительные исследования, чтобы
определить, является ли эта точка максимумом
или минимумом. Кроме того, для нахождения наименьшего или наибольшего значения функции в некоторой области, нужно проверить значения
этой функции на границах области.
7
1.2. Решение задач поиска экстремума функций в пакете Mathcad
8
9
При приближенном численном решении задач
оптимизации в Mathcad (особенно когда решение
с помощью функции Find найти не удается) может быть полезна встроенная функция Minerr.
Эта функция очень похожа на Find по своему использованию. Различие этих функций в следующем: если в результате поиска решения не
может быть получено уточнение текущего
приближения к решению, то Minerr возвращает это текущее приближение в качестве решения. Функция Find в этом случае возвращает
сообщение: “решение не найдено”. |
10 |