1.Предел последовательности.

Пусть аргумент принимает все значения изнатурального ряда

(1)

члены которого мы представляем себе упорядоченными по возрастанию (т.е. большее число следует за меньшим). Если каждомупо некоторому правилу или закону поставлено в соответствие, то говорят, что задана последовательность.

(2)

Например:

(3)

Определение 1.Числоназывается пределом последовательности, если для любого сколь угодно малого положительногонайдется такой номер, что для всехвыполняется неравенство:

. (4)

Тот факт, что число является пределом последовательности, записывается так:

. (5)

Неравенство (4) эквивалентно неравенствам или. Последние неравенства означают, что элементнаходится в-окрестности числа.-окрестностьючисланазывается интервал. Поэтому определение предела последовательности можно сформулировать также и следующим образом:

Определение 2. Последовательностьимеет предел, если существует числотакое, что в любой-окрестности числанаходятся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера.

Теоремы о пределах последовательности.

Теорема 1.Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Теорема 2.Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 3.Предел суммы (разности) двух последовательностей равен

сумме (разности) пределов этих последовательностей.

.

Теорема 4.Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов этих последовательностей.

.

Теорема 5. Предел частного двух последовательностей равен частному пределов этих последовательностей (при условии, что знаменатель не обращается в нуль).

.

Теорема 6.Если для двух последовательностейии, члены последовательностиудовлетворяют неравенству, тогда.

Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

Определение 3.Последовательностьназывается бесконечно малой, если. Последовательностьназывается бесконечно большой, если.

• Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

• Произведение конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

• Произведение конечной величины на бесконечно малую величину есть величина бесконечно малая.

• Сумма конечного числа бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая.

• Произведение конечного числа бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая.

• Произведение конечной величины на бесконечно большую величину есть величина бесконечно большая.

• Если является бесконечно большой величиной, то ее обратная величинабудет бесконечно малой.

Предел последовательности Число.

Предел данной последовательности равен

где число -основание натурального логарифма.

При вычислении пределов типа (6) следует использовать следующие свойства:

1.(7)

2.(8)

3.(9)

4.(10)

Приведем несколько примеров вычисления пределов последовательности.

Пример 1

Вычислить предел последовательности.

Решение:

В данном примере последовательность представляет собой рациональную дробь, для вычисления пределов такого вида необходимо знаменатель и числитель дроби разделить на в наивысшей степени. В нашем примере это.

Так как , если, а- ограниченная величина.

Ответ:

Пример 2

Вычислить предел последовательности

Решение:

Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей, содержащих иррациональности.

Ответ:

Пример 3

Вычислить предел последовательности .

Решение:

Для вычисления подобных пределов с неопределенностью , необходимо умножить и разделитьна его сопряженное. Это необходимо для того, чтобы воспользоваться формулой «разность квадратов»и, избавившись от квадратного корня, получить дробь.

Ответ:

Пример 4

Вычислить предел последовательности .

Решение:

Для вычисления подобных пределов необходимо умножить и разделить на неполный квадрат суммы. Это необходимо для того, чтобы воспользоваться формулой «разность кубов»и, избавившись от кубических корней, получить дробь. Неполным квадратом суммы в нашем примере является:

Ответ:

Пример 5

Вычислить предел последовательности

Решение:

Последовательность - является арифметической прогрессией с разностью. Суммапервых членов арифметической прогрессии находится по формуле:

(11)

Т.е. тогда

Ответ:

Пример 6

Вычислить предел последовательности

Решение:

Напомним, что

(12)

(13)

Ответ:

Пример 7

Вычислить предел последовательности

Решение:

Для вычисления предела преобразуем к виду (6). С этой целью выделим в числителе выражение, стоящее в знаменателе и почленно разделим, а затем воспользуемся свойствами (7)-(10):

Ответ: