Уравнения математической физики

Лектор: Кароль Андрей Игоревич

Выражаю благодарность Диме Фомушкину, Серёге Серебрякову и Кате Бойковой за предоставленные конспекты, на основе которых создавался сей документ.

19 мая 2011 г.

Оглавление

0	Введение		3
1	Постановка задач		5
	1.1	Вывод уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
	1.2	Постановка задачи для уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . .	7

1.3Вывод волнового уравнения (уравнения колебаний). Вариационный принцип. 8

1.4 Струна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5Многомерное обобщение. = 2 - мембрана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Постановка задачи для волнового уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.7Классификация уравнений второго порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8Замены переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9Постановка задачи Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.10Распрямление поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.11Вычисление производных на . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.12 Теорема Коши-Ковалевской. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.13 Корректность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Интегральные операторы.

25

2.1Фан фанский. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Ограниченность интегральных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3Операторы со слабой особенностью. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Задача Штурма-Лиувилля.

30

3.1Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2Функция Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3Задача ШЛ и интегральное уравнение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4Задача на собственные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Гармонические функции	38
4.1 Формулы Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	38

1

4.2 Фундаментальное решение оператора Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.3Интегральное представление функций класса (2). . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4Принцип максимума. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.5Постановка краевых задач. Теоремы единственности. . . . . . . . . . . . . . . 45

4.6Постановка задачи Неймана. Теоремы единственности. . . . . . . . . . . . . . 46

4.7Решения задачи в шаре. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.8	Следствия из формулы Пуассона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	52
4.9	Объемный потенциал и его свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	55
4.10	Теоремы о разрешимости краевых задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	58
5 Обобщенные функции		59
5.1	Пространство ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	59

5.2Пространство ′( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3 -образные последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.4Действия с обобщенными функциями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.5Фундаментальное решение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 Пространства Соболева.

73

6.1Соболевские производные. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2Соболевские производные на отрезке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.3Замкнутость дифференцирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.4	Пространство 1( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	79
6.5	Пространство 1( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	79

6.6Продолжение нулем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.7 След функции на границе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

6.8Неравенство Фридрихса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.9Эквивалентные нормы в 1( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.10 Теорема Реллиха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.11 Пространства −1( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7 Обобщенное решение краевой задачи.

89

7.1Стандартный эллиптический оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2	Решение краевой задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	90
7.3	Теоремы единственности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	92
7.4	Энергетическое пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	93

7.5Абстрактное уравнение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.6Исследование абстрактного уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.7Разрешимость абстрактного уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2

Глава 0

Введение

Для уравнений в частных производных, в отличие от Д.У., не существует теорем существования и единственности, так как частных производных очень много и уравнений очень много. Получается, что в общем нельзя сказать, имеет ли уравнение решение. Есть теорема КошиКовалевской о разрешимости уравнений в частных производных (рассматривается отдельный класс уравнений и задача Коши для него).

Будем рассматривать уравнения, которые приходят из физики, т.е. описывают какие-то процессы природы.

Формула интегрирования по частям

Фундаментальная формула!!!

Рассмотрим область R . Область - открытое связное множество. Любые две точки

области можно соединить путем в области.= ∂ ; (2) ( - граница)

S задается уравнением ( ) = 0, причем если = = ( 1 , 2 , . . . , ) (градиент,

n-мерный вектор из частных производных), то ̸= 0 и (2), т.е., если есть гладкая
поверхность, то любая окрестность точки на этой поверхности						может быть изображена как
график функции класса (2).							*
Если			( *) = 0					можно выразить
			̸ , то, по теореме о неявной функции, в окрестности
: = ( 1, 2, . . . , −1)				(2)

Пусть ( ) (1)( ) (Имеются производные вплоть до границы). Тогда:

∫ ∫

( ) = ( ) cos( , ) ( ),

где - единичный вектор нормали, смотрящий наружу. В разных вариантах: формула Грина, Стокса, Гаусса-Остроградского.

3

При = 1: = ( , ). Граница - две точки, получаем формулу Ньютона-Лейбница:

∫

′( ) = ( )

cos( , )

+ ( ) cos( , )

−1

1

Направление нормалей на границах:

-

a

b

Другой вариант этой формулы:

( ) (1)(

);

( ),

( ) = ( ) ( );

= + ;

Ω∫

= − Ω∫

+

∫

cos( , ) ( ).

Это и есть формула интегрирования по частям.

4