Funktsionalny_ANALIZ_MO_2014
.pdfФункциональный анализ (специальность МО, 3-ий курс). Осенний семестр 2014 г. Лектор И.В. Виденский.
1.Метрические и нормированные пространства. Примеры: m(A), C(K), C[a,b] с интегральной нормой.
2.Метрические и нормированные пространства. Примеры: пространства последовательностей: l^p, c, c_0, F.
3.Определение пространств L^p . Неравенства Юнга, Гельдера, Минковского.
4.Полные пространства. Свойства фундаментальных последовательностей. Полнота m(A), C(K).
5.Критерий полноты нормированного пространства. Полнота L^p, пространств последовательностей.
6.Примеры не полных нормированных пространств.
7.Теорема о вложенных шарах с замечаниями.
8.Всюду плотные множества. Сепарабельные пространства. Примеры: m(A), C[a,b], пространства последовательностей. Сепарабельность подпространства.
9.Нигде не плотные множества. Теорема Бэра о категориях.
10.Свойства метрики. Теорема о пополнение метрического пространства. Примеры.
11.Полные системы элементов, примеры. Полнота характеристических функций в L^p.
12.Полнота характеристических функций элементов полукольца в L^p. Сепарабельность L^p по мере Лебега.
13.Плотность непрерывных функций в L^p для регулярной меры. Следствие.
14.Определение алгебры. Теорема Стоуна-Вейерштрасса, вещественный случай. Леммы о приближении | x | , о свойствах замыкания подалгебры.
15.Теорема Стоуна-Вейерштрасса, вещественный случай. Леммы об интерполяции, об одностороннем приближении, о приближении непрерывной функции. Примеры.
16.Теорема Стоуна-Вейерштрасса, комплексный случай. Примеры.
17.Компакты в метрических пространствах. Определение и примеры вполне ограниченных множеств.
18.Свойства вполне ограниченных множеств. Лемма о разбиении.
19.Теорема Хаусдорфа: критерий компактности в терминах вполне ограниченности. Следствия.
20.Теорема Арцела-Асколи: критерий относительной компактности множества в пространстве C(K).
21.Достаточные условия равностепенной непрерывности подмножества в C(K).
22.Линейные операторы. Примеры. Простейшие свойства.
23.Непрерывность и ограниченность линейного оператора. Определение нормы.
24.Формула для вычисления нормы линейного оператора. Примеры непрерывных и не непрерывных операторов.
25.Теоремы вложения для l^p и для L^p. Полнота пространства операторов, действующих из нормированного пространства в банахово.
26.Линейные функционалы. Примеры. Вычисление нормы интегрального оператора в C[a,b].
27.Изоморфизм пространств, эквивалентные нормы.
28.Изоморфизм конечномерных пространств, эквивалентность норм, полнота, характеристика относительно компактных и компактных множеств, непрерывность линейных операторов, сопряженное пространство.
29.Конечномерные подпространства: замкнутость, существование элемента наилучшего приближения. Примеры единственности и не единственности элемента наилучшего приближения. Существование многочлена наилучшего приближения.
30.Лемма Рисса о почти перпендикуляре, следствия из нее. Теорема Рисса: критерий конечномерности пространства.
31.Распространение линейного оператора со всюду плотного множества.
32.Фактор-пространство нормированного и банахова пространства.
33.Гильбертово пространство. Примеры. Непрерывность скалярного произведения, тождество параллелограмма. Замкнутость ортогонального дополнения.
34.Существование и единственность ближайшего элемента в подпространстве гильбертова пространства. Теорема о проекции на подпространство. Следствия.
35.Критерий принадлежности оператора множеству ортогональных проекторов.
36.Проектор на конечномерное подпространство. Критерий полноты семейства элементов. Неравенство Бесселя.
37.Теорема о разложении элемента гильбертова пространства в ряд Фурье, условие полноты ОНС.
38.Существование ОНБ и изоморфность сепарабельных гильбертовых пространств.
39.Теорема Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве.
40.Геометрический смысл линейного функционала, гиперплоскости. Теорема о норме линейного функционала.
41.Формулировка теоремы Хана-Банаха о продолжении линейного функционала для вещественного пространства. Продолжение линейного функционала с подпространства на линейную оболочку подпространства и вектора.
42.Лемма Цорна. Доказательство теоремы Хана-Банаха для вещественного пространства (без леммы о продолжении линейного функционала с подпространства на линейную оболочку подпространства и вектора).
43.Обобщенный предел в пространстве ограниченных последовательностей. Теорема Боненблюста-Собчика о продолжении линейного функционала для комплексного пространства.
44.Теорема Хана-Банаха для нормированного пространства. Следствия: о гиперплоскостях, о достаточном числе линейных функционалов, формула для нормы элемента пространства, формула для расстояния до подпространства, критерий полноты системы элементов.
45.Сепарабельность пространства, у которого сопряженное пространство сепарабельно.
46.Принцип равномерной ограниченности. Сильная сходимость линейных операторов, оценка нормы сильного предела.
47.Теорема Банаха-Штейнгауза: критерий сильной сходимости операторов.
48.Существование непрерывной функции с не сходящимся равномерно рядом Фурье. Существование непрерывной функции с расходящимся в точке рядом Фурье.
49.Теорема Банаха об открытом отображении.
50.Следствия из теоремы Банаха об открытом отображении. Непрерывность обратного оператора. Эквивалентность норм, в которых пространство банахово.
51.Обратный оператор к I – A , где A – сжатие. Множество обратимых операторов открыто.
52.Замкнутый оператор. Примеры замкнутых, но не непрерывных операторов. Теорема о замкнутом графике.
53.Общий вид линейного функционала в L^p для конечных p.
54.Сопряженные пространства к пространствам последовательностей c, c_0, l^p.
55.Вещественные и комплексные заряды. Разложение Хана. Разложение Жордана. Полная вариация заряда. Интеграл по заряду. Нормированные пространства вещественных и комплексных зарядов.
56.Теорема Рисса-Маркова-Какутани: общий вид линейного функционала в C(K). Непрерывность и норма положительного линейного функционала.
57.Второе сопряженное пространство. Каноническое вложение. Рефлексивность. Примеры.
58.Слабая топология. База окрестностей. Слабая топология слабее сильной. Критерий слабой сходимости для последовательности.
59.Слабая сходимость в конечномерных пространствах, в l^p, в L^p, в C(K), в гильбертовом пространстве.
60.Слабая* топология. База окрестностей. Слабая* сходимость последовательности. Критерий слабой* сходимости. Пример слабой* сходимости в пространстве зарядов. Слабая и слабая* сходимость в l^1.
61.Теорема Банаха-Алаоглу (единичный шар сопряженного пространства – компакт в слабой* топологии). Доказательство для сепарабельного пространства.
62.Существование и свойства сопряженного оператора в нормированных пространствах.
63.Теорема об интегральном операторе с ядром из L^p и сопряженном к нему.
64.Теорема о втором сопряженном к оператору. Обратимость оператора и его сопряженного.
65.Существование и свойства эрмитово-сопряженного оператора в гильбертовом пространстве. Примеры. Теорема об ортогональном дополнении инвариантного подпространства.
66.Спектр оператора. Теорема о свойствах резольвенты.
67.Теорема о компактности и не пустоте спектра. Формула для спектрального радиуса. Следствие о спектре сопряженного оператора.
68.Компактные операторы. Компактность оператора конечного ранга. Размерность замкнутого подпространства образа компактного оператора. Компактность интегрального оператора с непрерывным ядром.
69.Теорема об арифметических действиях с компактными операторами. Следствия. Предел компактных операторов.
70.Компактность интегрального оператора с ядром из L^2.
71.Компактность оператора эквивалентна компактности сопряженного оператора.
72.Компактность и свойство оператора переводить слабо сходящиеся последовательности в сходящиеся по норме.
73.Конечность числа линейно независимых собственных векторов компактного оператора, соответствующих собственным числам, модули которых равномерно отделены от нуля. Следствия.
74.Условие разрешимости уравнения Фредгольма.
75.Альтернатива Фредгольма: инъективность оператора Фредгольма эквивалентна его сюръективности.
76.Теорема о числе линейно независимых решений однородного уравнения Фредгольма. Следствие о спектре компактного оператора.
77.Простейшие свойства самосопряженного оператора.
78.Существование собственного числа у компактного самосопряженного оператора.
79.Теорема Гильберта-Шмидта о представлении компактного самосопряженного оператора в виде суммы ортогональных проекторов.
80.Теоремы Гильберта-Шмидта о существовании ОНБ из собственных векторов компактного самосопряженного оператора.
81.Положительные операторы, теорема об операторе T*T. Каноническая форма компактного оператора в гильбертовом пространстве.