Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1 практика геометрия

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
16.04.2015
Размер:
221.82 Кб
Скачать

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я векторы

ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru

Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики – процессов управления

Санкт-Петербург 2013г.

ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)

2013г. 1 / 11

Основные определения I

Определение

Вектором (геометрическим вектором) называется отрезок, для которого

указано, какая из его граничных точек является начальной и какая конечной.

ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)

2013г. 2 / 11

Основные определения II

Определение

Длина или модуль вектора, есть длина соответствующего отрезка,

определяющего данный вектор.

ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)

2013г. 3 / 11

Основные определения III

Определение

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают.

Определение

Вектор называется единичным, если его длина равна единице в принятой

системе измерения.

ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)

2013г. 4 / 11

Основные определения IV

Определение

Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости

или в параллельных плоскостях.

Определение

Векторы коллинеарны, если они лежат либо на одной прямой, либо на

параллельных прямых.

ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)

2013г. 5 / 11

Основные определения V

Определение

Коллинеарные векторы одинаково направлены (сонаправлены), если у векторов,

имеющих общее начало и длины, равные длинам исходных векторов, и расположенных на прямой, параллельной прямым, на которых находятся исходные векторы, концы расположены по одну сторону от общего начала. В противном случае коллинеарные векторы противоположно направлены.

ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)

2013г. 6 / 11

Основные определения VI

Определение

Ортом произвольного ненулевого вектора называют единичный вектор,

коллинеарный исходному и имеющий то же направление, что и исходный вектор.

Определение

Векторы равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое

направление.

Определение

Векторы противоположны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину, но

направления их противоположны.

ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)

2013г. 7 / 11

Сумма векторов

Определение

Суммой векторов, следующих друг за другом, называется вектор, начало

которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом последнего вектора.

→−

−−→

−→

−−→

−−→

−→

−−→

 

 

s

= AK

= AB

+ BC

+ CD

+ DL

+ LK

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

Суммой произвольно расположенных векторов называется сумма векторов, следующих друг за другом, построенных, начиная с некоторой точки O, и

равных соответственно данным векторам.

Свойства суммы векторов

1

→−

 

→−

 

→−

→−

 

 

a

+ b

= b

+ a (коммутативность);

2

→−

→−

→− →−

→−

→−

( a

 

+ b ) + c = a

+ ( b

+ c ) (ассоциативность);

3

→−

 

→−

 

→−

(нулевой вектор);

a

+ 0

= a

4

→−

 

 

→−

 

→−

 

 

a

+ (− a ) = 0 (свойство противоположного вектора).

ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)

2013г.

8 / 11

Произведение вектора на число

Определение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→−

 

 

 

 

 

Произведением вектора a на вещественное число α называется вектор

 

 

→−

→−

 

 

 

 

 

 

 

→−

→−

,

p

= α a , определяемый следующим образом: вектор p коллинеарен вектору

a

имеет направление вектора

−→

 

 

 

 

a , если α > 0, и направление, противоположное

 

 

 

→−

 

 

 

 

→−

→−

 

 

 

вектору

a , если α < 0, при этом | p

| = |α| · | a |.

 

 

 

Теорема.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−→

−→

 

 

 

 

Если ненулевые векторы a

и b коллинеарны, то любой из них представим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→−

→−

 

 

через другой, т. е. найдётся такое число α =6 0, что вектор b

= α a .

 

 

Свойства произведения вектора на число

 

 

 

1

→−

 

 

→−

(ассоциативность);

 

 

 

λ(µ a ) = (λµ) a

 

 

 

2

(λ +

 

 

→−

 

→−

→−

 

 

 

 

 

µ) a

= λ a + µ a (дистрибутивность относительно суммы чисел);

 

 

3

→−

+

→−

 

→−

→−

 

 

 

 

 

λ( a

b ) = λ a

+ λ b (дистрибутивность относительно суммы векторов);

 

 

 

→−

 

→−

(свойство единицы).

 

 

 

 

4

1 · a

 

= a

 

 

 

 

 

ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)

 

 

2013г. 9 / 11

Деление вектора в заданном отношении I

Определение

 

 

 

−→

в отношении λ =6 −1,

Точка M , не совпадающая с точкой B, делит вектор AB

если

−−→

−−→

 

 

 

 

 

 

 

 

AM

= λM B.

 

 

 

 

 

 

 

 

→− →−

→− →−

 

→−

 

→−

 

 

→−

 

 

 

 

 

или

 

r

A + λ r

B

 

 

 

 

 

r M − r

A = λ( r B − r M )

r

M =

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

1 + λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если M лежит внутри отрезка AB, то λ > 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если M лежит вне отрезка AB, то λ < 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если M совпадает с A, то λ = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2013г. 10 / 11