Линейнаалгебра (Методические указани,часть 2

prL x ortL x , ortL x prL x .

(6)

Если L L a1, a2 ,..., ak , то

y 1a1

2 a2 ... k

ak

(7)

и тогда

x 1a1 2 a2

... k

ak z .

Умножаем последнее равенство скалярно на

a j

, 1 j k , с

учетом a j , z 0 , получаем

a , a

a , a ...

a , a

x, a ,

1

1 1

2

2

1

k

k

1

1

1 a1, a2 2

a2 , a2 ... k

ak , a2 x, a2

,

(8)

...

a , a

a , a

...

a , a

x, a

.

2

k

k

1

1 k

2

k

k

k

Эта система в силу существования представления

(7) совместна. Определитель матрицы этой системы есть определитель Грама G a1, a2 ,..., ak . Если a1, a2 ,..., ak - ли-

нейно независима, то G a1, a2 ,..., ak 0 и система (8) име-

ет единственное решение. В противном случае у системы

(8) решений бесконечно много. Но нам достаточно найти одно (все другие решения дадут нам те же векторы y и z ). Если система (8) получилась несовместной, ищите ошибку. Вычисления сокращаются, если известны базисы L и L и если, опираясь на соотношения (6), выбрать то подпространство, размерность которого меньше.

Умение находить prL x и ortL x позволит успешно

справиться с большинством задач на вычисление длин, расстояний и углов.

Задача 2.3. Вычислить расстояние от вектора

x 4, 2, 5,1 до плоскости H , заданной системой уравнений

21

2x1 2x2		x3 2x4	9,	.
	4x2	2x3 3x4 12.
2x1

Решение. Напомним: плоскостью (линейным многообразием) называется множество векторов вида

H x0 L x0 y | y L ,

где x0 - вектор сдвига, L - данное (направляющее) подпро-

странство. Любая плоскость может быть задана как множество решений некоторой системы линейных уравнений. Частное решение этой системы дает координаты вектора сдвига. Общее решение приведенной системы - направляющее подпространство. Учитывая это, находим, что

H x0 L , где

x0 3,0,3,0 , L L a1, a2 , a1 1,0, 1, 4 , a2 0,1, 1,6 .

Расстояние от вектора x до плоскости H определяется как

inf x, z или как inf x, x0 y .

z H

y L

Так как

2 x, x0 y

x x0 y

2

prL x x0 y ortL x x0

2

prL x x0 y

2

ortL x x0

2

(применена теорема Пифагора), то

inf 2 x, x y

ort

L

x x

2 .

y L

0

0

Мы получили формулу x, H

ortL x x0

.

Остается вычислить ortL x x0 и его длину.

x x0 1, 2, 8,1 .

prL x x0 y 1a1 2 a2

и тогда

x x0 1a1 2 a2 z .

22

Умножаем последнее равенство скалярно на a j , 1 j 2 , с

учетом a j , z 0 , получаем

18 1 25 2 13,25 1 38 2 16.

Решая систему, находим 1 9459 , 2 3759 . Тогда

prL x x0 9459 1, 0, 1, 4 3759 0,1, 1, 6

		94					37					57			154
					,				,					,				.
							59					59			59
		59
ort		x x						35		,	155			,			415		,	95	.
	L
		0					59					59			59					59

x, H ortL x x0 105935.

3.ОПЕРАТОРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.

Пусть X и Y	- два произвольных линейных про-
странства. Как известно, оператором, действующим из X в
Y называется отображение пространства X в пространство
Y . Если отображение обозначить символом A , то это запи-
сывают так:
	A : X Y .
Образ вектора x обозначают Ax или A x и называют
значением оператора	A на векторе x . По определению
Ax Y .

Оператор A : X Y называют линейным оператором, если X и Y - пространства над одним и тем же полем

P и при этом
1. A x1 x2 A x1 A x2	x1, x2 X

23

(аддитивность оператора);

2. A x A x x X , P

(однородность оператора).

Понятие линейного оператора является одним из важнейших в математике. Это подтверждается хотя бы тем, что основные операторы, изучаемые в математическом анализе и алгебре (предельный переход, дифференцирование, интегрирование, проектирование на подпространство, умножение на матрицу и др.) являются линейными.

Оператор A : X X ( X Y ) называют также преоб-

разованием пространства X .

Основные типы задач по этой теме:

a)проверка линейности заданного оператора;

b)нахождение образа, ядра, ранга и дефекта линейного оператора;

c)построение матрицы линейного оператора в данных базисах (в данном базисе);

d)нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора (№№14651484);

e)построение канонического базиса и жордановой нормальной формы линейного оператора

(№№1529-1536).

Основная трудность задач первой группы состоит в том, что примеры операторов могут быть взяты из различных разделов математики и требуют от студента эрудиции и определенной математической культуры. Приведем несколько примеров.

Задача 3.1. Проверьте линейность следующих операторов:

24

1

1.A : 4 ;

3 3 44

2.B : M2 t M2 t ; ( M 2 t -пространство мно-A 2 1 2 .2

гочленов степени n 2 над некоторым полем).

Bf t f t t2 .

1

3.

C :W

3

; C i

j

k

1

1 .

3

1

2

3

2

3

4. D :W3

1

;

Dx

x, k , j .

5. F : M2 t M2 t ;

Ff t f

1 u f 1 u du .

t

1

u

6.

X L1

L2 . Определим оператор P так: если

x X

и x x1 x2

xi

Li , то

Px x1

(опе-

ратор проектирования на L1

параллельно L2 ).

Q :W3 W3 ;

Qx

7.

x

a ( a

0

- фиксирован-

ный вектор).

Решение.

1. A :

4

2 является отображением. Проверим аддитив-

ность и однородность.

x x ,..., x T , y y ,..., y

n

T

4 ,

1

n

1

x

y

x y

A x y

x1

y1

x y

A x2

y2

1

1

2

2

x3

y3

x3 y3

x4

y4

4

4

x x y y

x x

y y

A x A y .

x1

x2

y1 y2

x1 x2

y1 y2

3

4

3

4

3

4

3

4

25

x

A

x

x1

x

x

x x

x .

A

x2

x1

x2

x1 x2

A

x3

3

4

3

4

4

Все условия выполнены, значит,

A

является линейным

оператором.

5. f t

M

2

t

f t

0

t

2

t2 .

1

f 1 t

f 1 t

0

1 t

2

1 t 2

1

0 1 1 t 2 1 t 2

2 1 4 2 t ,

f 1 t f 1 t

2 4

.

2

t

1

t

t

f 1

u f 1 u

du 21 42 du 21 42 u

1t

u

1

1

2 1 4 2 t 1 .

Ff t M2 t . Теперь проверяем аддитивность и однород-

ность. Напомним: если t f1 t f2

t , то

f1 f2 и 1 u f1 1 u f2 1 u .

Находим

f1 1 u f2 1 u f1 1 u f2 1 u

t

F

f1 f2

du

u

1

t

f 1 u f 1 u

t

f

1 u f

1 u

1

1

du

2

2

du

u

u

1

1

Ff1 t Ff2 t .

Точно так же

f t f

1 u f 1 u du

F

t

1	u

26

f 1 u f 1 u du F f t .
t
1	u

Все условия определения линейного оператора выполнены. F - линейный оператор.

Линейный оператор нулевой вектор отображает в нулевой ( A0 A 0x 0A x 0 ). Поэтому, если A0 0 , то

A нелинейный. Рекомендуем в подозрительных случаях прежде, чем начинать проверку аддитивности и однородности, вычислить значение оператора на нулевом векторе. Так

в упражнении 2												B - нелинейный. В упражне-
					B	0	t2				0
			1					0
нии 3 C	0		1					0		C - нелинейный.
			0					0

Для доказательства нелинейности достаточно привести пример двух векторов, для которых нарушена аддитивность, или пример вектора или скаляра, для которых не вы-

полнена однородность (равенство A0 0 может иметь место и для нелинейных операторов). Например: в упражнении 7 настораживает то, что текущий вектор x находится

под знаком . . Поэтому проверку ведем на конкретных векторах.

Q
	i		j		i		j		a	2 a ,

Q i Q j i a j a 2 a.

Очевидное неравенство 2 2 доказывает неаддитивность Q и его нелинейность.

В этом же примере можно поступить и так:

Q

i

i

a a,

a

a.

Q

i

i

a a,

Поэтому оператор Q неоднороден, следовательно, и нелинеен.

27

Проверку линейности операторов из упражнений 4 и 6 предоставляем читателю.

Чтобы глубже понять определение линейного оператора, придумайте примеры:

1.оператора аддитивного, но не однородного;

2.оператора однородного, но не аддитивного.

3.1.Образ, ядро линейного оператора.

Образом линейного оператора			A называется множе-
ство всех векторов вида		Ax, x X . Если A : X Y ,		то
образ A есть подмножество из Y . Его обозначают AX или
Im A .
Если	A -	линейный	оператор,	то

Im A L Ae1, Ae2 ,..., Aem , где e1, e2 ,..., em - какой-либо базис пространства X .

Ядро линейного оператора A : X Y - это множество тех x X , для которых Ax 0 . Ядро линейного оператора (обозначается Ker A ) – подпространство пространства X .

Полезно уметь находить ядра и образы линейных операторов, их размерности (дефект и ранг).

Задача 3.2. Найти образ, ядро, ранг и дефект операто-

	A :W W , Ax x ,					,
ра				j			k		(оператор двойного век-
	3	3

торного умножения).

Решение. Будем считать, что мы уже убедились в линейности оператора A .

Вычисление образа. Возьмем стандартный базис пространства W3 : i , j , k . Находим

28

Ai

i , j

, k

k , k

0,

Im A L

L

0, 0, j

j

Aj j , j , k

0, k 0,

Ak

k

,

j

,

k

i

,

k

j

,

(подпространство одномерное).

rA dim Im A dim L j 1 .

Вычисление ядра. Пусть x 1

i

2

j

3

k

,

x Ker A .

Ax x,

Это означает, что

j

, k

0

или

Ax
		i			j			k	,	j		,	k							0				0					j .
	1			2	3											1					2							3
	x Ker A 3										0 x 1												2				, где 1, 2 .
Отсюда																						i				j
Другими словами Ker A L																	,		,		а дефект nA 2 .
															i			j

(В нашем примере Im A Ker A , но это не общее правило).

Можно было воспользоваться формулой для двойного векторного произведения. Но решение вряд ли упростилось бы от этого.

Как правило, нахождение ядра в конце концов сводится к решению системы линейных однородных уравнений относительно координат произвольного вектора ядра. В рассмотренном нами примере эта система оказалась очень простой

0 1 0 2 1 3 0,

что позволило нам сразу записать общее решение

1, 2 , 0 .

3.2. Матрица линейного оператора в данных базисах.

Обязательно нужно научиться строить матрицу линейного оператора в данных базисах. Но кроме этого, еще раз обратим наше внимание на следующую теорему: каждый линейный оператор из X в Y однозначно определяется своими значениями на каком-либо базисе пространства

29

X . Эта теорема позволяет строить примеры различных операторов, удовлетворяющих наперед заданным свойствам.

Задача 3.3. Для каждого из нижеперечисленных условий постройте пример линейного оператора A : 4 4 :

1.Ker A Im A .

2.Ker A Im A, Ker A Im A .

3. Ker A Im A 4 .

4.AL L , где L L e1, e2 .

5. На L L e1, e2 , e3 A действует как тождественный, но A E .

6.Каждое L e1 , L e2 , L e3 , L e4 переводит в себя, но A E .

Решение. 1. Возьмем какой-либо базис в							4 , напри-
мер, стандартный
e1 1,0,0,0 , e2 0,1,0,0 , e3 0,0,1,0 , e4							0,0,0,1 .
Так как rA nA 4 , то из условия Ker A Im A следу-
ет rA nA 2 . Для определенности возьмем
Ker A Im A L e1, e2 . Определим						A на базисе так:
Ae1		0,
Ae2	0,
Ae3 e1 ,
Ae	e .
4	2

Этими условиями линейный оператор A полностью определен.

Если x 1, 2 , 3 , 4 1e1 2e2 3e3 4e4 , то по нашему определению

A 1, 2 , 3 , 4 3e1 4e2 3 , 4 ,0,0 .

30