опеределенный игтеграл

Si ≈ 12 ri2 ϕi .

Площадь интересующей нас фигуры может быть найдена как сумма площадей всех элементарных треугольников:

n		1	n
S = ∑	Si ≈		∑ri2 ϕi .	(4)
i=1		2 i=1

Выражение (4) представляет собой интегральную сумму функции r = r(ϕ) на отрезке ϕ [α, β]. Теперь осталось совершить предельный переход: устремить к бесконечности число n, одновременно устремив к нулю максимальный из углов

ϕi . Для непрерывной функции r = r(ϕ) в результате такого предельного пе-

рехода интегральная сумма (4) даст определенный интеграл:

		1	n		1	β
lim			∑ri2	ϕi =		∫ r2dϕ .
max	ϕi →0	2 i=1			2	α
i

Таким образом, приходим к формуле для площади фигуры, ограниченной в по-

лярных координатах кривой r = r(ϕ) и лучами ϕ = α и ϕ = β:

	1	β
S =		∫ r2dϕ .	(5)
	2	α

Замечание. Проведенная здесь процедура, имеет чрезвычайно важное значение в различных геометрических и физических приложениях определенного интеграла, и будет дальше применяться в еще более схематичном виде. Суть процедуры состоит в том, что на первом ее этапе "малый" криволинейный объект заменяется на прямолинейный. Понятие "малости" при этом не носит универсального характера − оно относительно. Так, несмотря на криволинейность поверхности Земли, никому не придет в голову учитывать ее при строительстве дома: его характерный размер много меньше земного радиуса. На втором, заключительном этапе процедуры сумма большого числа "малых" слагаемых (интегральная сумма) заменяется определенным интегралом.

71

ПРИМЕР 5. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = a (1 −cosϕ) , (рис. 16).

		a
2a	O	r

a

Рис.16. Кардиоида.

В силу четности функции r = a (1 −cosϕ) фигура обладает симметрией относительно горизонтальной оси. Достаточно найти площадь ее верхней поло-

вины, отвечающей диапазону изменения полярного угла 0 ≤ ϕ ≤ π:

π

2 π

2 π

S

=

1

∫r2dϕ = a

∫(1−cosϕ)2dϕ = a

∫(1−2 cosϕ +cos2

ϕ) dϕ =

2

2

0

2

0

2

0

=

a2

ϕ

π

−

2sinϕ

π

+

1

π

(1+cos 2ϕ) dϕ

=

∫

2

0

0

2 0

=	a2		π +	1	ϕ		π	+	1	sin 2ϕ		π		=	3πa2	.
							0					0
	2			2					4						4

Таким образом, искомая площадь S = 3π2a2 . (Заметим, что площадь фи-

гуры, ограниченной кардиоидой, оказалась в 1,5 раза больше площади круга радиуса a).

4. Длина дуги кривой в декартовых координатах.

Решим задачу о нахождении длины L плоской кривой, описываемой уравнением y = f (x), между точками с абсциссами x = a и x = b (рис. 17). Бу-

72

дем считать, что функция y = f (x) непрерывна и имеет непрерывную производную на отрезке [a, b].

Примéним уже знакомую нам процедуру разбиения отрезка [a, b] на мел-

кие отрезки xi. Обозначим через Ai длину элементарной дуги кривой y = f (x),

расположенной над отрезком xi. Теперь, как уже делалось ранее, можно при-

ближенно заменить эту малую дугу кривой отрезком прямой линии. Тогда по теореме Пифагора

A	i	≈ ( x )2		+( y )2 ,
			i	i
где yi − приращение функции f (x) на отрезке					xi. Из определения производ-
ной y' = lim			yi следует, что для малых xi		справедливо приближенное ра-
xi →0			xi
венство

yi ≈ y'(xi ) , xi

где точка xi − некоторая точка интервала xi (например, его левая граница).

y	y = f (x)

Ai

yi

x

a

xi

b

Рис.17. К выводу формулы длины дуги кривой.

Тогда

A	i	≈ 1 +		yi 2	x ≈ 1 +(y'		)2 x .
				x	i	i	i
				i
						73

Длина всей кривой может быть получена суммированием длин всех элементар-

ных дуг Ai : L = ∑ Ai .	Осуществляя в полученной интегральный сумме пре-
i
дельный переход max	xi → 0,	получим окончательную формулу для длины
i
дуги кривой:
L = b∫ 1 +(y' )2 dx .		(6)
a

Замечание. Формула (6) справедлива только для кривых, задаваемых дифференцируемыми функциями. В частности, если у кривой имеются точки с вертикальными касательными (там y′ = ∞), то для вычисления ее длины можно либо использовать формулу (6), рассматривая соответствующий интеграл как несобственный (о них будет идти речь в главе 5), либо записав уравнение кривой в параметрической форме, для которой требование существования произ-

водной f′(x) не обязательно.

ПРИМЕР 6. Найти длину дуги астроиды x2 / 3 + y2 / 3 = a2 / 3 (рис. 18).

y

a

x

a

Рис.18. Астроида.

Продифференцируем уравнение астроиды как неявную функцию:

74

2 x−1/ 3	+	2 y−1/ 3 y' = 0	y' = −	y1/ 3	.
3		3		x1/ 3

Астроида имеет две оси симметрии. Найдем по формуле (6) длину ее четвертой части, лежащей в первом квадранте:

L

a

1+(y' )

2

a

y1/ 3

2

a

x2 / 3 + y2 / 3

=

∫

dx =

∫

1+

−

dx

=

∫

dx

=

1/ 3

2 / 3

4

x

0

0

x

0

a

a2 / 3

1/ 3 a

−1/ 3

3

1/ 3

2 / 3

a

3

= ∫

dx = a

∫x

dx

=

a

x

=

a.

x2 / 3

2

0

2

0

0

Тогда длина всей астроиды L = 6a.

5. Длина дуги кривой в полярных координатах.

Получим теперь формулу для длины дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением r = r(ϕ) между точками с полярными углами ϕ = α и ϕ = β. Следуя стандартной процедуре, разобьем интервал углов [α, β] на малые

углы ϕi (рис. 19). Каждую элементарную дугу						Ai заменим отрезком прямой,
длину которого вычислим по теореме косинусов:
A2	≈ r2	+(r +	r )2	−2r (r +	r ) cos	ϕ	i	.
i	i	i	i	i i	i
			ri + ri			Ai

ϕi

ri

Рис. 19. К выводу формулы (7).

75

	Воспользовавшись известным разложением cos x ≈1 −	x2	, справедливым для
		2
	малых значений аргумента, получим

A2

≈ r2

+(r

+

r )2

−2r

(r

+

1

−

(

ϕi )

2

r )

.

i

i

i

i

i

i

i

2

Отсюда после упрощения и отбрасывания членов более высокого порядка ма-

лости по сравнению с ( ri )2 и ( ϕi )2 имеем

A2i ≈ ( ri )2 + ri2 ( ϕi )2 ≈ (ri2 +(r'i )2 )( ϕi )2 .

Длина искомой дуги кривой получается при суммировании длин всех элементарных дуг:

L = ∑ Ai ≈ ri2 +(r'i )2 ϕi .

i

После уже описанного предельного перехода в интегральной сумме приходим к окончательной формуле для длины дуги, заданной в полярных координатах:

β
L = ∫ r2 +(r')2 dϕ .	(7)

α

ПРИМЕР 7. Найти длину кардиоиды r = a (1 −cosϕ) , (рис. 16).

Имеем

r2 +(r')2 = a 2(1 −cosϕ)2 + a 2sin2 ϕ = a 2(2 −2 cosϕ) = 4a 2sin2 ϕ2 .

Длину верхней половины кардиоиды найдем по формуле (7):

L	π	r2	π	ϕ	dϕ = −4a cos	ϕ		π	= −4a(0	−1)	= 4a .
2	= ∫		+(r')2 dϕ = 2a ∫sin	2		2		0
	0		0

Тогда, окончательно, получаем длину целой кардиоиды: L = 8a. (Достаточно странный на первый взгляд результат: кривая "более сложная", чем ок-

ружность, не содержит числа π в выражении для своей длины!).

76

6. Длина дуги кривой, заданной параметрически.

Пусть плоская кривая описывается в декартовых координатах параметрическими уравнениями

x = x(t),	(8)
y = y(t).
Найдем длину дуги этой кривой между точками, соответствующими зна-
чениям параметра t = t1 и t = t2, считая функции	x(t) и y(t) дифференцируемы-

ми на отрезке [t1, t2]. Воспользуемся уже полученным выражением для длины элементарной дуги в декартовых координатах, лежащей над отрезком xi:

A

i

≈

( x )2

+( y )2

=

xi 2

+

yi 2

t .

i

i

t

t

i

i

i

При малых

ti справедливы равенства

xi

′

yi

′

ti

≈ x (ti ),

ti

≈ y (ti ) .

Тогда,

суммируя

длины

всех

элементарных

дуг, в пределе при

max ti → 0 получим искомую длину всей дуги:

i

L =

lim

∑ Ai .

max ti →0

i

i

Отсюда приходим к выражению для длины дуги кривой, заданной параметрически:

	L =	t2	(x'	)2 +(y'	)2 dt .	(9)
		∫
			t	t
		t1

Замечание. Формула (9) справедлива и для кривых, имеющих точки, где x′(t) = 0 . В этих точках, как уже было отмечено, производная функции (8)

77

y′x = yt′ обращается в бесконечность, касательная к кривой на плоскости OXY xt′

оказывается вертикальной, и формула (6), вообще говоря, оказывается неработоспособной.

ПРИМЕР 8. Найти длину эвольвенты (развертки) окружности (рис. 20):

x = a(cos t +t sin t),	t [0,2π].
y = a(sin t −t cos t),

(Такую кривую описывает конец нити, разматывающейся с окружности радиу-

са a.)

y

x

a

Рис.20. Развертка окружности.

Получим вначале выражения для производных x't и y't :

x't	= a(−sin t +sin t +t cos t) = at cos t,
y'	= a(cos t −cos t +t sin t) = at sin t.
t

Теперь по формуле (9) может быть найдена искомая длина кривой:

L =	2π	(x'	)2 +(y'	)2 dt =a	2π	(t cos t )2	+(t sin t )2 dt =
	∫	t	t		∫
	0				0
			2π			2π		1 at2		2π	= 2aπ2.
			= a ∫ t	cos2 t +sin2 t dt =a ∫			t dt =
			0			0		2		0
						78

Вращение вокруг оси OX.

7. Объем тел вращения.

Здесь мы познакомимся с еще одним геометрическим приложением определенных интегралов, связанным с вычислением объемов тел вращения. В этом пункте будут рассмотрены два основных типа таких задач, различающихся вы-

бором оси вращения − горизонтальной или вертикальной.

В задаче этого типа криволинейная трапе-

ция, ограниченная графиком функции y = f (x), осью ОХ и прямыми y = a и y

= b, вращается вокруг оси OX (т.е. вокруг стороны трапеции, перпендикулярной ее основаниям). Исходная трапеция при этом представляет собой половину сечения тела вращения плоскостью OXY (рис.21).

y	y = f (x)

O	x
a	b

Рис.21. Тело вращения вокруг оси OX.

Выведем формулу объема получающегося тела вращения, проведя стандартную процедуру его разбиения на малые элементы. Рассмотрим элементар-

ную трапецию, расположенную над отрезком xi оси OX. При вращении этой фигуры вокруг оси OX возникает тело (слой) толщины xi. Как и ранее, прове-

дем спрямление полученного тела, отрезав его криволинейный край. Это соответствует тому, что вместо элементарной криволинейной трапеции, вращению подвергается прямоугольник с основанием xi и высотой yi (рис. 22).

79

y

yi x

xi

Рис.22. К выводу формулы (10).

В результате получается цилиндр с высотой xi и радиусом основания yi.

При малой величине xi объем элементарного слоя приблизительно равен объ-

ему этого цилиндра:

V ≈π y2		x .
i	i	i

Объем всего тела вращения получается при сложении объемов всех элементарных слоев:

Vx = ∑ Vi ≈ ∑π yi2 xi .

i	i
Осуществляя в полученной интегральной сумме предельный		переход (при
xi → 0, n → ∞), найдем объем тела вращения вокруг оси OX.
b
Vx =π ∫ y2dx ,	где y = f ( x) .	(10)

a

ПРИМЕР 9. Найти объем шара радиуса R.

Будем считать, что шар образован вращением полукруга радиуса R с цен-

тром в начале координат вокруг оси OX (рис. 23). Запишем уравнение верхней границы полукруга:

y = R2 − x2 .

80