задачник по математике Белый / ГЛАВА_14_А5_2004
.docГЛАВА 14. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО.
- комплексное число.
§1. Линии и области на комплексной плоскости.
В задачах 14.1-14.12 указать на комплексной плоскости множества точек, удовлетворяющих указанным соотношениям:
14.1 14.2 14.3
14.4 14.5 ; 14.6
14.7 ; 14.8 14.9 ;
14.10 14.11 , ,
14.12
§2. Элементарные функции.
14.13 Найти :
a) ; б) ; в) ; г) .
14.14 Доказать формулы
;
14.15 Найти:
a) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
§3. Условия Коши-Римана.
В задачах 14.16-14.22 найти по заданной действительной или мнимой части аналитическую функцию . 14.16 , .
14.17 , .
14.18 , .
14.19 , .
14.20 , .
14.21 .
14.22 .
14.23 Существует ли аналитическая функция, для которой
а) ; б) ; в) ; г) .
14.24 Доказать, что для аналитической функции справедливо равенство: .
§4. Конформные отображения.
14.25 Найти коэффициенты растяжения и угол поворота отображений в заданных точках :
а) , , ; б) , .
14.26 Определить области сжатия и растяжения
а) ; б) ; в) .
14.27 Найти области, для которых коэффициент растяжения .
а) ; б) ; в) .
14.28 Найти области, для которых угол поворота :
а) ; б) .
14.29 Проверить конформность отображений указанных областей:
а) , ;
б) , ; в) , ;
г) ; .
14.30 Повернуть круг на и увеличить его радиус вдвое.
14.31 Перевести круг на круг .
14.32 Отобразить область на верхнюю полуплоскость с соответствием бесконечно удаленных точек .
14.33 Отобразить плоскость с разрезами ; на верхнюю полуплоскость.
14.34 Отобразить верхнюю полуплоскость на себя с соответствием точек: ; ;.
14.35 Найти ширину полосы, в которую переходит круг при отображении .
14.36 Найти отображение круга на полуплоскость с соответствием точек: ; ; .
14.37 Найти образы линий при отображении
а) ; б) ; в) .
14.38 Отобразить верхнюю полуплоскость с разрезом на верхнюю полуплоскость.
14.39 Найти образы областей D при заданном отображении :
а); ; б); ;
в);; г) ; .
14.40 Отобразить заданную область на верхнюю полуплоскость:
а) ; б) ;
в) ; г) .
14.41 Пусть - комплексный потенциал течения жидкости. Найти эквипотенциальные линии (, линии тока ( и скорость , течения:
а) ; б) .
14.42 Найти комплексный потенциал безграничного потока жидкости со скоростью на бесконечности, если в него поместить:
а) источник мощности ; б) вихрь интенсивности Г.
14.43 В задаче 14.42 найти критические точки () и линии раздела течений.