Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
19
Добавлен:
17.04.2015
Размер:
279.04 Кб
Скачать

ГЛАВА 14. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО

ПЕРЕМЕННОГО.

- комплексное число.

§1. Линии и области на комплексной плоскости.

В задачах 14.1-14.12 указать на комплексной плоскости множества точек, удовлетворяющих указанным соотношениям:

14.1 14.2 14.3

14.4 14.5 ; 14.6

14.7 ; 14.8 14.9 ;

14.10 14.11 , ,

14.12

§2. Элементарные функции.

14.13 Найти :

a) ; б) ; в) ; г) .

14.14 Доказать формулы

;

14.15 Найти:

a) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

§3. Условия Коши-Римана.

В задачах 14.16-14.22 найти по заданной действительной или мнимой части аналитическую функцию . 14.16 , .

14.17 , .

14.18 , .

14.19 , .

14.20 , .

14.21 .

14.22 .

14.23 Существует ли аналитическая функция, для которой

а) ; б) ; в) ; г) .

14.24 Доказать, что для аналитической функции справедливо равенство: .

§4. Конформные отображения.

14.25 Найти коэффициенты растяжения и угол поворота отображений в заданных точках :

а) , , ; б) , .

14.26 Определить области сжатия и растяжения

а) ; б) ; в) .

14.27 Найти области, для которых коэффициент растяжения .

а) ; б) ; в) .

14.28 Найти области, для которых угол поворота :

а) ; б) .

14.29 Проверить конформность отображений указанных областей:

а) , ;

б) , ; в) , ;

г) ; .

14.30 Повернуть круг на и увеличить его радиус вдвое.

14.31 Перевести круг на круг .

14.32 Отобразить область на верхнюю полуплоскость с соответствием бесконечно удаленных точек .

14.33 Отобразить плоскость с разрезами ; на верхнюю полуплоскость.

14.34 Отобразить верхнюю полуплоскость на себя с соответствием точек: ; ;.

14.35 Найти ширину полосы, в которую переходит круг при отображении .

14.36 Найти отображение круга на полуплоскость с соответствием точек: ; ; .

14.37 Найти образы линий при отображении

а) ; б) ; в) .

14.38 Отобразить верхнюю полуплоскость с разрезом на верхнюю полуплоскость.

14.39 Найти образы областей D при заданном отображении :

а); ; б); ;

в);; г) ; .

14.40 Отобразить заданную область на верхнюю полуплоскость:

а) ; б) ;

в) ; г) .

14.41 Пусть - комплексный потенциал течения жидкости. Найти эквипотенциальные линии (, линии тока ( и скорость , течения:

а) ; б) .

14.42 Найти комплексный потенциал безграничного потока жидкости со скоростью на бесконечности, если в него поместить:

а) источник мощности ; б) вихрь интенсивности Г.

14.43 В задаче 14.42 найти критические точки () и линии раздела течений.

216

Соседние файлы в папке задачник по математике Белый