Глава 3. Аналитическая геометрия.

§ 1. Аналитическая геометрия на плоскости.

1.1 Прямая линия на плоскости.

В задачах 3.1-3.3 требуется написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую:

3.1 Прямая задана точкойи нормальным вектором:а); б);

в) .

3.2 Прямая задана точкойи направляющим вектором:а)б)в).

3.3 Прямая задана двумя своими точкамии:а); б);

в).

3.4 Определить угловой коэффициент и отрезки, отсекаемые на осях координат прямой, заданной уравнением. Построить прямую.

3.5 Вычислить угол между двумя прямыми:

3.6 Через точку провести прямую, параллельную прямой

3.7 Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую

3.8 Написать уравнение прямой, которая проходит через начало координат и: а) параллельна прямой

б) образует угол в с прямой

в) перпендикулярна

г) образует угол в с прямой

3.9 Через точку провести прямую, отсекающую равные отрезки на осях координат.

3.10 Написать уравнение прямой, которая проходит через точку и параллельна: а) оси абсцисс;

б) биссектрисе координатного угла; в) прямой

3.11 Даны вершины треугольника: Через каждую из них провести прямую, параллельную противолежащей стороне.

3. 12 Даны вершины треугольника: Составить уравнения:а) трех его сторон;

б) высоты, опущенной из вершины на сторону ;

в) медианы, проведенной из вершины ;

г) биссектрисы угла .

3.13 Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой

3.14 Через точку провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного ею и осями, была равна.

3.15 Найти расстояние точки :

а) от прямой

б) от прямой

в) от прямой

3.16 На оси ординат прямоугольной системы координат найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от прямой

3,17 Доказать, что прямые па-раллельны между собой, и найти расстояние между ними.

3.18 Даны уравнения двух параллельных прямых: Составить уравнение прямой, им параллельной и проходящей посередине между ними.

3.19 Найти точку, симметричную с точкой относительно прямой

3.20 Написать уравнения биссектрис углов, образованных прямыми:

3.21 Даны уравнения сторон треугольника: Вычислить координаты его вершин.

3.22 Даны две вершины треугольника и точкапересечения его высот. Вычислить координаты третьей вершины

3.23 Составить уравнения высот треугольника, зная уравнения его сторон:

3.24 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух высот:и

3.25 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух медиан:

3.26 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения биссектрис двух его углов:

1.2 Кривые на плоскости.

3. 27 Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до оси Ox вдвое больше расстояния до оси Oy.

3.28 Написать уравнение кривой , расстояние от каждой точки которой до точки вдвое меньше расстояния до точки.

3.29 Найти центр окружности, проходящей через точку и касающейся оси абсцисс в точке

3.30 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет окружность, найти ее центр и радиус:

а) г)

б) д)

в) е)

3.31 Определить, как расположена прямая относительно ок-ружности: пересекает, касается или проходит вне ее, если прямая и окружность заданы уравнениями:

а)

б)

в)

3.32 Найти угол между радиусами окружности проведенными в точки пересечения ее с осью.

3.33 Даны точки и. Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок.

3.34 Окружность касается оси в начале координат и про-ходит через точку.Написать её уравнение и найти точки пересечения с биссектрисами координатных углов.

3.35 Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что:

а) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось ;

б) большая полуось , а эксцентриситет.

3.36 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, найти его центр , полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:

а)

б) ;

в) ; г).

3.37 Определить, как расположена прямая относительно эллипса: пересекает, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы уравнениями:

а) . б).

3.38 Написать каноническое уравнение эллипса, у которого расстояния одного из фокусов до концов большой оси равны 5 и 1.

3.39 Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки и. Написать его уравнение и найти расстояния точкиот фокусов.

3.40 Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси , проходит через точкуи имеет эксцентриситет. Написать уравнение эллипса и найти расстояния точкиот фокусов.

3.41 Построить гиперболу Найти:

а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет;

г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

3.42 Написать каноническое уравнение гиперболы, если: а) рас-стояние между фокусами , а между вершинами;

б) вещественная полуось , а эксцентриситет.

3.43 Установить, что каждое из следующих уравнений опре-деляет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис:

а)

б) ;

в) ; г).

3.44 На гиперболе взята точкас ординатой, равной 1. Найти расстояние ее от фокусов.

3.45 Гипербола симметрична относительно осей координат, про-ходит через точкуи имеет мнимую полуось. На-писать ее уравнение и найти расстояния точкиот фокусов.

3.46 Построить следующие параболы и найти их параметр:

а) б)в)г)

3.47 Написать уравнение параболы: а) проходящей через точки и, и симметричной относительно;

б) проходящей через точки и, и симметричной относительно.

3.48 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найти координаты ее вершины А и величину параметра р: а) б)

в) ; г).

3.49 На параболе найти точку, фокальный радиус-вектор которой равен 4,5.

3.50 Через фокус параболы проведена прямая под углом 120° к оси . Написать уравнение прямой и найти длину образовавшейся хорды.

3.51 На параболе найти точку, ближайшую к прямойи вычислить расстояние от точкидо этой прямой.

3.52 Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы - в вершинах эллипса .

3.53 Найти точки пересечения асимптот гиперболы с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы, и проходящей через начало координат.

В задачах 3.54-3.57 написать каноническое уравнение кривой второго порядка, определить её тип и найти каноническую систему координат.