- •Глава 9. Дифференциальные и разностные уравнения.
- •§1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •§2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •§3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •§4. Разностные уравнения. В задачах 9.281-9.288 найти общие решения следующих однородных разностных уравнений:
- •В задачах 9.293-9.308 найти общие решения следующих неоднородных разностных уравнений
- •§5. Дифференциальные уравнения в частных производных.
Глава 9. Дифференциальные и разностные уравнения.
§1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
первого порядка.
В задачах 9.1-9.12 найти общие решения следующих ДУ с разделяющимися переменными:
9.1. 9.2.
9.3 . 9.4
9.5. 9.6.
9.7 9.8 9.9 . 9.10
9.11 .
9.12 .
В задачах 9.13-9.16 найти общие решения уравнений, приводящихся к ДУ с разделяющимися переменными:
9.13 9.14
9.15 9.16
В задачах 9.17-9.22 найти частные решения ДУ, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
9.17 ; .
9.18 ; .
9.19 ; .
9.20 ; .
9.21 ; .
9.22 ; .
В задачах 9.23-9.36 найти общие решения следующих однородных дифференциальных уравнений:
9.23 . 9.24 .
9.25 . 9.26 .
9.27 . 9.28
9.29 . 9.30. 9.31 . 9.32 .
9.33 . 9.34
9.35. 9.36.
В задачах 9. 37-9.40 найти общие решения уравнений, приводящихся к однородным дифференциальным уравнениям:
9.37 . 9.38 . 9.39.
9.40 .
В задачах 9.41-9.46 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
9.41 ; .
9.42 ; .
9.43 ; . 9.44 ;
9.45 ; .
9.46 ; .
В задачах 9.47-9.62 найти общие решения следующих линейных дифференциальных уравнений:
9.47 . 9.48 .
9.49 . 9.50 .
9.51 . 9.52 .
9.53 . 9.54 .
9.55. 9.56 .
9.57 . 9.58 .
9.59 . 9.60
9.61 . 9.62 .
В задачах 9.63-9.70 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
9.63;. 9.64 ; .
9.65;. 9.66; .
9.67;.
9.68; . 9.69 ; .
9.70 ;.
В задачах 9.71-9.78 найти общие решения уравнений Бернулли:
9.71 9.72
9.73 . 9.74 .
9.75 . 9.76 .
9.77 . 9.78
В задачах 9.79-9.86 решить следующие уравнения, предварительно убедившись, что они являются уравнениями в полных дифференциалах:
9.79 .
9.80 .
9.81 . 9.82 .
9.83 .
9.84 .
9.85 ; .
9.86 ; .
В задачах 9.87-9.92 разрешить следующие уравнения относительно и найти их общее решение:
9.87 . 9.88 .
9.89 . 9.90 .
9.91 . 9.92 .
В задачах 9.93-9.98 решить следующие уравнения методом введения параметра:
9.93 . 9.94
9.95 . 9.96 .
9.97 . 9.98 .
В задачах 9.99-9.120 найти общие решения следующих дифференциальных уравнений первого порядка:
9.99 . 9.100 .
9.101 . 9.102
9.103 . 9.104
9.105 9.106
9.107 . 9.108
9.109 9.110
9.111 . 9.112
9.113 9.114
9.115 . 9.116
9.117 9.118
9.119 9.120
В задачах 9.121-9.128 найти решения, предварительно составив дифференциальное уравнение.
9.121 Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания.
9.122 Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания , есть величина постоянная, равная .
9.123 Найти атмосферное давление на высоте , если на повер-хности Земли давление равно и плотность воздуха (Указание: использовать закон Бойля-Мариотта, согласно которого плотность пропорциональна давлению).
9.124 Тело охладилось за 10 мин от С до С. Температура окружающего воздуха поддерживается равной С. Когда тело остынет до С? (Указание: принять, что скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды).
9.125 На материальную точку массы действует постоянная сила, сообщающая точке ускорение . Окружающая среда оказывает движущейся точке сопротивление, пропорциональное скорости её движения, коэффициент пропорциональности равен . Как изменяется скорость движения со временем, если в начальный момент точка находилась в покое? (Указание: воспользоваться вторым законом Ньютона ).
9.126 Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент точка находилась на расстоянии от начала отсчёта пути и имела скорость . Определить пройденный путь и скорость точки через секунд после начала движения.
9.127 Имеется некоторое количество радиоактивного вещества. Известно, что через дней распадается 50% этого вещества. Через сколько дней останется 1% начального количества вещества? (Указание: из эксперимента известно, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству вещества).
9.128 Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости . Начальная стоимость оборудования равна . Найти стоимость оборудования по истечении лет.
9.129 Численность населения некоторого города удовлетворяет уравнению , где -время (в годах). В начальный момент население города составляло 10 тысяч человек. Через сколько лет население увеличится в 10 раз?
9.130 Функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид: и . Найти зависимость равновесной цены от времени , если в начальный момент времени цена ден.ед.