задачник по математике Белый / ГЛАВА_10_А5_2004
.docГЛАВА 10. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
§1. Двойной интеграл.
В задачах 10.1-10.8 вычислить повторные интегралы:
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
В задачах 10.9-10.16 изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах:
10.9
10.10
10.11
10.12
10.13
10.14
10.15
10.16
В задачах
10.17-10.26 вычислить
следующие двойные интегралы по областям
,
ограниченным указанными линиями:
10.17
,
,
,
.
10.18
,
,
.
10.19
,
,
,
.
10.20
,
,
,
.
10.21
,
,
,
.
10.22
,
,
,
.
10.23
,
,
,
.
10.24
,
,
,
.
10.25
,
,
,
.
10.26
,
,
,
,
.
В задачах
10.27-10.32 в
двойном интеграле
перейти к полярным координатам (
),
полагая
,
,
и расставить пределы интегрирования,
если:
10.27
10.28
10.29
10.30
10.31
10.32
В задачах 10.33-10.42 перейти к полярным координатам и вычислить следующие двойные интегралы:
10.33
10.34
10.35
10.36
10.37
10.38
10.39
10.40
10.41
10.42
§2. Некоторые приложения двойного интеграла.
В задачах
10.43-10.48 найти
площадь области
,
ограниченной указанными линиями:
10.43
,
.
10.44
,
,
.
10.45
,
,
.
10.46
,
.
10.47
,
.
10.48
,
,
,
.
В задачах
10.49-10.52 используя
полярные координаты, найти площадь
области
,
ограниченной указанными линиями:
10.49
,
,
,
.
10.50
,
,
,
.
10.51
,
.
10.52
,
(
).
В задачах
10.53-10.56 найти
среднее значение функции
в области
,
ограниченной указанными линиями, если:
10.53
,
,
.
10.54
,
,
.
10.55
,
,
,
.
10.56
.
В задачах
10.57-10.62 найти
объёмы тел
,
ограниченных следующими поверхностями:
10.57
,
,
,
,
.
10.58
,
,
,
.
10.59
,
,
,
.
10.60
,
,
.
10.61
,
,
,
.
10.62
,
,
.
В задачах
10.63-10.66 перейти
к полярным координатам и найти объёмы
тел
,
ограниченных поверхностями:
10.63
,
,
,
.
10.64
,
.
10.65
,
,
.
10.66
,
.
В задачах
10.67-10.70 найти
массу пластинки плотности
,
ограниченной указанными линиями:
10.67
,
,
,
.
10.68
,
,
,
,
.
10.69
,
,
,
,
.
10.70
,
,
,
.
10.71 Найти
массу круглой пластинки радиуса
,
если плотность её
пропорциональна квадрату расстояния
точки от центра и равна
на краю пластинки.
10.72 Плоское
кольцо ограничено двумя концентрическими
окружностями, радиусы которых равны
соответственно
и
.
Зная, что плотность материала
пропорциональна расстоянию от центра
окружностей, найти массу кольца, если
плотность на окружности внутреннего
круга равна
.
10.73 Найти
статические моменты следующих однородных
плоских фигур (плотность
):
а) прямоугольника
со сторонами
и
относительно
стороны
;
б) полукруга
радиуса
относительно диаметра;
в) круга
радиуса
относительно касательной;
г)
четверти эллипса с полуосями
и
относительно полуоси
.
В задачах
10.74-10.77 найти
координаты центра масс однородной
пластинки плотности
,
ограниченной линиями:
10.74
,
,
.
10.75
,
,
.
10.76
,
.
10.77
,
.
10.78 Найти
моменты инерции следующих однородных
плоских фигур (плотность
):
а) прямоугольника
со сторонами
и
относительно
стороны
;
б) круга
радиуса
относительно касательной;
в) треугольника,
ограниченного прямыми
,
,
относительно оси
;
г)
фигуры, ограниченной эллипсом
относительно оси
.
10.79 На
пластинке, лежащей в плоскости
и занимающей область
,
распределён электрический заряд с
поверхностной плотностью
.
Найти полный заряд пластинки
,
если:
а)
,
,
,
;
б)
,
,
,
.
10.80 Распределение
давления тела на площадку
смятия
даётся формулой
.
Определить среднее давление тела на
эту площадку.
§3. Тройной интеграл.
В задачах 10.81-10.88 вычислить повторные интегралы:
10.81
10.82
10.83
10.84
10.85
10.86
10.87
10.88
В задачах
10.89-10.94 вычислить
тройные интегралы по областям
,
ограниченными указанными поверхностями:
10.89
,
.
,
,
,
10.90
,
.
,
,
,
.
10.91
,
.
,
.
10.92
,
.
10.93
,
,
,
,
.
10.94
,
,
,
,
В задачах
10.95-10.98 в
тройном интеграле
перейти к цилиндрическим координатам
,
полагая
,
,
и
расставить пределы интегрирования:
10.95
10.96
10.97
10.98
В задачах
10.99-10.102
в тройном
интеграле
перейти к сферическим координатам
,
полагая
,
,
и расставить пределы интегрирования:
10.99
10.100
10.101
10.102
В задачах 10.103-10.108 перейти к цилиндрическим координатам и вычислить следующие тройные интегралы:
10.103
,
,
,
.
10.104
,
.
10.105
,
.