задачник по математике Белый / ГЛАВА_5_А5_2004
.docГЛАВА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
§ 1. Производная.
1.1 Дифференцирование функций, заданных явно.
В задачах 5.1-5.10 найти производные следующих функций.
5.1 а)
б)
в)
5.2а)
б)
в)
5.3 а)
б)
в)
5.4 а)
б)
в)
5.5 а)
б)
в)
5.6 а)
б)
в)
5.7 а)
б)
в)
5.8 а)
б)
в)
5.9 а)
б)
в)
5.10 а)
б)
в)
5.11
Показать, что функция
удовлетво-ряет условию:
В задачах 5.12-5.21 найти производные следующих функций:
5.12 а)
б)
в)
5.13 а)
б)
в)
5.14 а)
б)
в)
5.15 а)
б)
в)
5.16 а)
б)
в)
5.17 а)
б)
в)
5.18 а)
б)
в)
5.19 а)
б)
в)
5.20 а)
б)
в)
5.21 а)
б)
в)
В задачах 5.22-5.49 найти производные следующих функций:
5.22
5.23
5.24
5.25
5.26
5.27
5.28
5.29
5.30
5.31
5.32
5.33
5.34
5.35
5.36
5.37
5.38
5.39
5.40
5.41
5.42
5.43
5.44
5.45
5.46
5.47
5.48
5.49
В задачах 5.50-5.59 найти производные функций, используя предварительное логарифмирование:
5.50
5.51
5.52
5.53
5.54
5.55
5.56
5.57
5.58
5.59
1.2. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически.
В задачах
5.60-5.64 для
функций
,
заданных неявно, найти
5.60
5.61
5.62
5.63
5.64
В задачах
5.65-5.71 для
функций
,
заданных параметрически, найти
5.65
5.66
5.67
5.68
5.69
5.70
5.71
1.3. Производные высших порядков.
В задачах 5.72-5.80 найти производные второго порядка от следующих функций:
5.72
5.73
5.74.
5.75
5.76
5.77
5.78
5.79
5.80
В задачах 5.81-5.84 найти производные указанного порядка от следующих функций:
5.81
5.82
5.83
5.84
В задачах 5.85-5.90 найти формулу для n-ой производной от следующих функций:
5.85
5.86.
5.87
5.88
5.89
5.90
В задачах 5.91-5.96 найти производные 2-го порядка следующих функций, заданных параметрически:
5.91
5.92
5.93
5.94
5.95
5.96
§2. Дифференциал.
5.97
Найти приращение
и дифференциал
функции
соответствующие
значению аргумента
и двум различным приращениям аргумента
5.98
Какое приращение получает функция
при
переходе независимой переменной от
значения
к значению
.
Каково значение соответствующей линейной
главной части? Найти отношение второй
величины к первой.
5.99
Найти приращение и дифференциал функции
при
0
и
Вычислить абсолютную
и относительную
погрешности, которые получаются при
замене приращения дифференциалом.
5.100
Найти приращение
и
дифференциал
площади S
квадрата, соответствующие приращению
стороны
x.
5.101
Найти приращение
объема V
шара при изменении радиуса R=2
на
.
Вычислить
,
если
.
Какова будет погрешность значения
,
если ограничиться членом, содержащим
в первой степени?
В задачах 5.102-5.113 найти дифференциалы функций:
5.102
5.103
5.104
5.105
5.106
5.107
5.108
5.109
5.110
5.111
5.112
5.113
В задачах 5.114-5.118 найти дифференциалы второго порядка следующих функций:
5.114
5.115
5.116
5.117
5.118
5.119 Найти
приближенное значение функции
при
.
5.120
Найти приближенное значение функции
при
В задачах 5.121-5.126 вычислить приближенно:
5.121
.
5.122
.
5.123
.
5.124
5.125
5.126
§3. Некоторые приложения производной.
3.1. Геометрические приложения производной.
В задачах 5.127-5.130 составить уравнения касательной и нормали к данным линиям в указанных точках.
5.127 а)
;
б)
,
;
в)
,
.
5.128 а)
;
б)
,
;
в)
.
5.129 а)
,
;
б)
,
,
;
в)
,
.
5.130 а)
; б)
,
,
;
в)
,
.
5.131. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии:
а)
б)
5.132
Составить уравнения касательных к
линии
в точках ее пересечения с осью абсцисс.
5.133
В какой точке
кривой
касательная перпендикулярна к прямой
?
5.134
Найти коэффициенты
в уравнении параболы
касающейся прямой
в точке
5.135
Показать, что касательные к гиперболе
в точках её пересечения с осями координат
параллельны между собой.
5.136 Составить
уравнение нормали к графику функции
в точке её пересечения с биссектрисой
первого координатного угла.
5.137
Составить уравнение нормали к параболе
которая перпендикулярна к прямой,
соединяющей начало координат с вершиной
параболы.
5.138
На линии
найти точки, в которых касательные к
ней параллельны оси абсцисс.
5.139
В каких точках линии
касательная к ней параллельна прямой
5.140
Составить уравнение касательной к линии
перпендикулярной к прямой
3.2 Механические приложения производной.
5.141Точка
движется прямолинейно по закону
Найти скорость
и ускорение
движения. Чему равны скорость и ускорение
в момент времени
?
5.142
Точка движется по прямой так, что ее
расстояние S
от начального пункта через время
t
равно
а) В какие моменты точка была в начальном пункте?
б) В какие моменты ее скорость равна нулю?
5.143
Тело массой 3кг движется прямолинейно
по закону
S-выражено
в сантиметрах, t-
в секундах. Определить кинетическую
энергию
тела через 5 секунд после начала движения
в Дж (
).
5.144
Угол
поворота шкива в зависимости от времени
t
задан функцией
Найти угловую скорость
в момент времени
5.145
Колесо вращается так, что угол поворота
пропорционален квадрату времени. Первый
оборот был сделан колесом за 8с. Найти
угловую скорость
через 32с после начала движения.
3.3 Применение понятия производной в экономике.
5.146 Зависимость
между издержками производства
и объёмом выпускаемой предприятием
продукции
задаётся функцией
.
Найти средние и предельные издержки
производства для указанного объёма
выпускаемой продукции
,
если;
а)
,
б)
,
5.147. Зависимость
между издержками производства
и объёмом выпускаемой предприятием
продукции
задаётся функцией
.
При каком объёме производства средние
и предельные издержки совпадают?
5.148. Рассчитать
эластичность следующих функций для
указанных значений
:
а)
,
б)
,
в)
,
г)
.
5.149. Зависимости
спроса
и предложения
на продукцию предприятия от цены
за единицу продукции задаются функциями
и
.
Найти эластичности спроса
и
предложения
при равновесной цене
,
т.е. цене при которой спрос и предложение
уравновешиваются, если:
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
§4. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора и её применение.
5.150 Проверить,
выполняется ли теорема Ролля для
следующих функций и, если выполняется,
то для каких значений
:
а)
на отрезке
[0, 1]; б)
на отрезке
;
в)
на отрезке
[0,
];г)
на отрезке
5.151 Функция
обращается в нуль при
и
,
но тем не менее
для всех
.
Объяснить кажущееся противоречие с
теоремой Ролля.