1.1.Основные методы вычисления неопределённого интеграла.

В задачах 7.1-7.11 найти интегралы непосредственным интегрированием, используя свойства и таблицу интегралов:

7.1 а); б); в).

7.2 а); б); в).

7.3 а); б); в).

7.4 а); б); в).

7.5 а); б); в).

7.6 а); б); в).

7.7 а); б); в).

7.8 а); б); в).

7.9 а); б); в).

7.10 а); б);в).

7.11 а); б); в).

Часто, заменой переменной интегрирования , удаётся свести нахождение интегралак нахождению более простого интегралас последующей заменой.

Существуют два варианта замены переменной интегрирования:

1) Метод подведения функции под знак дифференциала.

Если подынтегральное выражение может быть записано в виде

, где - дифференцируемая функция, то осуществляется замена. Тогда

.

При подведении функций под знак дифференциала широко используются свойства дифференциалов и таблица дифференциалов основных элементарных функций (приложение 3), в частности, преобразования:

; ;

, .

2) Метод подстановки.

Если функция дифференцируема и имеет обратнуюна соответствующем промежутке, то справедливо равенство

.

Функция подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор её определяется конкретным видом подынтегрального выражения.

В задачах 7.12-7.21 сделав замену переменной интегрирования методом подведения под знак дифференциала, найти следующие интегралы

7.12 А); б); в).

7.13 а); б); в).

7.14 а) ; б); в).

7.15 а); б); в).

7.16 а); б); в).

7.17 а); б); в).

7.18а); б); в).

7.19 а); б); в).

7.20 а); б); в).

7.21 а); б); в).

В задачах 7.22-7.30 сделав замену переменной интегрирования методом подстановки, найти следующие интегралы:

7.22 . 7.23. 7.24.

7.25 . 7.26. 7.27.

7.28 . 7.29. 7.30.

В задачах 7.31-7.45 применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

7.31 а) ; б); в).

7.32 а); б); в).

7.33 а); б).

7.34 а); б); в).

7.35 а); б).

7.36 . 7.37. 7.38.

7.39 . 7.40. 7.41.

7.42 . 7.43 . 7.44.

7.45 . 7.46. 7.47.

7.48 . 7.49. 7.50.

Если и- дифференцируемые функции, то справедливаформула интегрирования по частям:

или кратко .

Эта формула используется в тех случаях для вычисления , когда подынтегральное выражениеможно так представить в виде, что интегралможет оказаться проще интеграла.

Этим методом вычисляются: 1) интегралы вида ,

, ,, причём в качествевыбирается;2) интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: ,,,,,, причём в качествевыбирается одна из указанных выше функций;3) интегралы вида ,,,, посредством двукратного интегрирования по частям.

Указанные три группы интегралов не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.

В задачах 7.51-7.63 применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы: