Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ZADAChNIK / стр_269-312_ГЛАВА_12.doc
Скачиваний:
48
Добавлен:
17.04.2015
Размер:
2.24 Mб
Скачать

12.6 Бросают три монеты. Найти вероятности того, что герб появится:а)только на одной монете;б)на всех монетах;в)хотя бы на одной монете;г)не менее чем на двух монетах.

12.7 Бросают две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:а)сумма выпавших очков равна семи;б)произведение выпавших очков равно шести;в)сумма выпавших очков больше их произведения;г)сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем.

12.8 В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором – с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынимают по одному шару. Найти вероятности того, что:а)сумма номеров вынутых шаров равна девяти;б)произведение номеров вынутых шаров больше 20; в)сумма номеров вынутых шаров больше их произведения;г)абсолютная величина разности номеров вынутых шаров равна четырём.

12.9 Имеется 5 лоторейных билетов стоимостью по 100 руб., 3 билета по 300 руб. и 2 билета по 500 руб. Наудачу выбирают 3 билета. Найти вероятности того, что:а)все три выбранных билета в сумме стоят 700 руб.;б)все три выбранных билета имеют одинаковую стоимость.

12.10 Наудачу берут три монеты из пяти таких: две монеты по 5 коп., две – по 10 коп., одна – по 50 коп. Найти вероятность того, что общее достоинство всех вынутых монет превысит 60 коп.

12.11 В урне 6 белых и 5 чёрных шаров. Наудачу вынимают четыре шара. Найти вероятность того, что среди выбранных окажется три чёрных шара.

12.12 В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

12.13Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что студент знает ответ на оба вопроса, заданные ему экзаменатором.

12.14 Из колоды в 36 карт вынимают наудачу 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

12.15 Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди 5 проверяемых. Найти вероятность того, что данная партия будет принята, если она содержит 5% бракованных деталей.

12.16 Двенадцать студентов получили путёвки в 4 санатория: 3 – в первый, 3 – во второй, 2 – в третий и 4 – в четвёртый. Какова вероятность того, что данные три студента поедут отдыхать в один санаторий.

12.17 Для производственной практики на 30 студентов предоставлено 15 мест в Наб.Челнах, 8 – в Елабуге и 7 – в Нижнекамске. Какова вероятность того, что два определённых студента попадут на практику в один город.

12.18 У туристов было 2 банки с мясом, 3 банки с овощами, 4 банки с кашей. Во время дождя надписи на банках были смыты. Туристам нужно открыть три банки. Какова вероятность того, что все три открытые банки будут отличаться содержимым.

12.19 На ТЭЦ 15 сменных инженеров, из них 3 женщины. В смену занято 3 человека. Найти вероятности того, что в случайно выбранную смену:а)мужчин окажется не менее двух;б)окажется хотя бы одна женщина.

12.20 В урне 2 чёрных, 3 синих и 5 белых шаров. Наудачу (без возвращения) вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что:а)все вынутые шары одного цвета;б)все вынутые шары разного цвета.

12.21 Среди кандидатов в студсовет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают 5 человек на предстоящую отчётно-выборную конференцию. Найти вероятности того, что:а)все первокурсники попадут на конференцию;б)будет выбран один первокурсник, два второкурсника и два третьекурсника.

12.22В группе из 30 студентов на контрольной работе по «Теории вероятностей» 6 студентов получили оценку «отлично», 10 – «хорошо», 9 - «удовлетворительно», остальные – «неудовлетворительно». Найти вероятности того, что:а)все три студента вызванные к доске, имеют по контрольной работе оценку «неудовлетворительно»;б)хотя бы один студент из трёх вызванных к доске имеет оценку «отлично» или «хорошо».

12.23 В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 100Вт – 7 штук; по 75Вт – 13 штук. Вынуты наудачу три лампы. Какова вероятность того, что:а)они одинаковой мощности;б)хотя бы две из них по 100Вт.

12.24 Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются 4 билета в театр, причём каждый может выиграть только один билет. Найти вероятности того, что обладателями билетов станут:а)три юноши и одна девушка;б)хотя бы один юноша.

12.25В «секретном» замке на общей оси четыре диска, каждый из которых разделен на 5 секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.

12.26 Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

12.27 Из 10 карточек азбуки было составлено слово «МАТЕМАТИКА». Карточки перемешали и по схеме случайного выбора без возвращения отобрали четыре. Найти вероятность того, что из отобранных карточек можно составить слово «ТЕМА».

12.28Группа, состоящая из 8 человек, занимает места за столом в случайном порядке. Найти вероятность того, что два определённых лица окажутся сидящими рядом, если группа занимает места:а)за круглым столом;б)с одной стороны прямоугольного стола.

12.29 В лифт на первом этаже девятиэтажного дома вошли 4 человека, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже начиная со второго. Найти вероятности того, что все пассажиры выйдут:а)на разных этажах;б)на одном этаже.

12.30 На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт состоит в случайном выборе трёх карточек и раскладывании их в порядке поступления в ряд слева направо. Найти вероятности того, что:а)появится число 132;б)появится число, состоящее из последовательных цифр;

в)появится чётное число;г)появится число, содержащее цифру 5.

§2. Геометрическая вероятность.

Пусть эксперимент состоит в том, что наудачу бросается точка в некоторую область . Слово «наудачу» означает, что в таком эксперименте все точки области«равновозможны». В этом случае вероятность попадания точки в некоторую частьобластиравна отношению меры (длины, площади, объёма) этой части к мере всей области:, в предположении, что указанные меры определены, причём. Данное определение вероятности события называютгеометрическим определением вероятности.

12.31 На отрезкеLдлины 20 см помещен меньший отрезокl длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок.

12.32 На отрезокдлинычисловой осинаудачу поставлена точка. Найти вероятность того, что меньший из отрезковиимеет длину, большую, чем.

12.33 На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадёт также и в кольцо, образованное построенными окружностями.

12.34 Внутрь круга радиусаRнаудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг:а)квадрата;б)правильного треугольника.

12.35 В прямоугольном броневом щите размером 2 на 1 метр имеется невидимая для противника амбразура размером 10 на 10 см. Найти вероятность того, что пуля, попавшая в щит, попадет в амбразуру, если попадание в любую точку щита равно возможно.

12.36 Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии. На плоскость наудачу брошена монета радиуса. Найти вероятность того, что монета не пересечёт ни одной из прямых.

12.37. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течениечаса, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

12.38 На отрезкедлинынаудачу поставлены две точкии, причём. Найти вероятности того, что:а)длина отрезкаменьше длины отрезка;б)длина отрезкаокажется меньше, чем.

12.39 Наудачу взяты два положительных числаи, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, произведениебудет не больше единицы, а частноене больше двух.

12.40 Паркетный пол составлен из прямоугольных плиток размерами. Определить вероятность того, что упавшая на пол монета полностью окажется на одной плитке, если ее диаметр равен 2 см.

§3. Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей.

Всякое случайное событие можно рассматривать как подмножество(обратное утверждение, вообще говоря, места не имеет), состоящее из всех тех, которые благоприятствуют событию(). Множествоназываютдостоверным событием, а пустое множество , являющееся по определению подмножеством, называютневозможным событием.

Если , то говорят, чтособытие влечёт событие .

Произведением событий иназывают событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходят одновременно оба событияи. Событияиназываютнесовместными, если .

Суммой событий иназывают событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событийили.

Разностью событий иназывают событие, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие, но не происходит событие. Событие, происходящее тогда и только тогда, когда событиене происходит, называютпротивоположным событию . Разность событийвсегда можно представить в виде.

Систему подмножеств A множества , замкнутую относительно алгебраических операций над счётным числом событий называют -алгеброй событий.

Пусть A - -алгебрa событий для данного эксперимента. Вероятностью случайного события называется числовая функция, определённая для всех A и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) ;2) ;

3) Для любой последовательности наблюдаемых случайных событий таких, чтопри,.

Тройка ,A,) называетсявероятностным пространством.

Из аксиом вероятности (А.Н.Колмогорова) следуют следующие её свойства:

1) ; 2) ;3) Если , то;

4) ; 5) .

Пусть и- наблюдаемые события в эксперименте, причём.Условной вероятностью осуществлениясобытия при условии, что событиепроизошло в результате данного эксперимента, называется величина, определяемая равенством:.

События и, имеющие ненулевую вероятность, называютсянезависимыми, если выполняется равенство или, в противном случае событияиназываютсязависимыми.

Сложным называют событие, наблюдаемое в эксперименте и выраженное через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью допустимых алгебраических операций над событиями.

Вероятность осуществления того или иного сложного события вычисляется с помощью формул умножения вероятностей:

1) ,;

2) (для независимых событий)

и формул сложения вероятностей:

3) ;

4) (для несовместных событий).

В задачах 12.41-12.44 используя свойства вероятности, найти вероятности указанных событий.

12.41 Найти вероятность, если известны вероятности,=0.18.

12.42 Найти вероятности,,, если известны вероятности,,.

12.43 Найти вероятность, если известны вероятности,,.

12.44 Найти вероятность, если известны вероятности,,.

12.45 Доказать, что если, то событияисовместны.

12.46 Наступление событиянеобходимо влечёт наступление события. Доказать, что.

12.47В ящике находятся катушки четырех цветов: белых - 50%, красных -20%, зеленых - 20%, синих - 10%. Какова вероятность того, что взятая наудачу катушка окажется зеленой или синей?

12.48 В первом ящике 2 красных и 10 синих шаров, во втором ящике 8 красных и 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по одному шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров красный, а другой синий.

12.49 Прибор, работающий в течение суток, состоит из трёх узлов, каждый из которых независимо от других может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла выводит прибор из строя целиком. Вероятность безотказной работы в течение суток первого узла равна 0.9, второго 0.95, третьего 0.85. Найти вероятность того, что в течение суток прибор выйдет из строя.

12.50 В первой урне находятся 1 белый и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных шара, в третьей – 3 белых и 2 черных шара. Из каждой урны взяли по шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров будет 1 белый и 2 черных?

12.51 Вероятность того, что студент сдаст успешно первый экзамен, равна 0.9, второй – 0.8, третий – 0.7. Найти вероятности того, что студентом будут успешно сданы:а)все экзамены;б)по крайней мере два экзамена;в)хотя бы один экзамен;

12.52 В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров, во втором ящике 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика вынули по два шара. Какова вероятность того, что:а)все шары белые;б)все шары чёрные.

12.53Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что за смену не будет выпущено ни одной нестандартной детали, равна 0.9. Определить вероятность того, что за три смены не будет выпущено ни одной нестандартной детали.

12.54Для двух аппаратов вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа составляет для первого – 0.75; для второго – 0.8. Какова вероятность того, что оба аппарата будут бесперебойно работать на протяжении трех часов?

12.55 На четырёх одинаковых карточках написаны буквы: «Е», «С», «Т», «Т». Карточки перемешивают и раскладывают наудачу в ряд слева направо. Найти вероятность того, что при этом получится слово «ТЕСТ».

12.56 Из 10 карточек азбуки составлено слово «СТАТИСТИКА». Из этих карточек по схеме случайного выбора без возвращения отобрано 5 карточек. Найти вероятность того, что из отобранных карточек можно составить слово «ТАКСИ».

12.57Для некоторой местности среднее число ясных дней в июне равно 25. Найти вероятность того, что первые два дня июня будут ясными.

12.58 Студент разыскивает нужную ему формулу в трёх справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике 0.6, во втором – 0.7, в третьем – 0.8. Найти вероятность того, что формула содержится:а)только в одном справочнике;б)только в двух справочниках;в)хотя бы в одном справочнике;г)во всех справочниках.

12.59 Три стрелка стреляют по разу в одну мишень независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0.6, вторым - 0.7, третьим - 0.75. Найти вероятности:

а)ровно одного попадания в цель;б)хотя бы одного попадания в цель.

12.60 А, В, С – компоненты электронной системы. Вероятность бесперебойной работы каждого из компонентов в течение года равна 0.95, 0.9, 0.93, соответственно. Какова вероятность работы всей системы без отказов на протяжении этого срока, если необходимо, чтобы:а)работали все три компонента;б)работали хотя бы два из трёх компонентов.

12.61 Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0.95, во второе отделение – 0.9 и в третье – 0.8. Найти вероятности того, что:а)только одно отделение получит газеты вовремя;

б)хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

12.62 Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0.7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0.8. На первом станке изготовлены две детали, на втором – три. Найти вероятности того, что:а)все изготовленные детали - первосортные;б)хотя бы одна деталь – первосортная.

12.63 Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0.38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0.8.

12.64Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при двух выстрелах равна 0,99. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

12.65 При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0.6. Найти вероятности того, что:а)двигатель начнёт работать при третьем включении зажигания;б)для запуска двигателя придётся включать зажигание не более трёх раз.

12.66 Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна 0.5. Спортсмены выполняют упражнения по очереди, причем каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнения первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами.

12.67Охотник выстрелил 3 раза по удалявшейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0.8, а после каждого выстрела уменьшается на 0.1. Найти вероятность того, что он:а)промахнется все 3 раза;б)попадет 2 раза.

12.68Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов программы только 24. Какова вероятность сдать зачет, если для этого надо ответить на случайно доставшийся вопрос, а в случае неудачи ответить на дополнительный вопрос, предложенный преподавателем случайным образом?

12.69 В декларации фабрики, сопровождающей её изделия, сказано, что брак может составлять не более 1% и более того, 90% годной продукции является продукцией первого сорта. Специалист фирмы по маркетингу принимает решение о заключении контракта с данной фабрикой только в том случае, если взятое им наудачу изделие – первого сорта. Какова вероятность заключения контракта с данной фабрикой?

12.70 Вероятность попасть из орудия в самолёт равна 0.8, а вероятность сбить самолёт равна 0.5. Найти вероятность того, что при попадании из орудия в самолёт, он будет сбит.