- •Глава 9. Дифференциальные и разностные уравнения.
- •§1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •9.1. 9.2.
- •9.23 . 9.24.
- •9.47 . 9.48.
- •9.89 . 9.90.
- •§2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •9.131 . 9.132. 9.133.
- •9.161 ,. 9.162,.
- •9.163 ,. 9.164,,.
- •9.165 . 9.166,,. 9.167,,. 9.168,,. 9.169. 9.170.
- •9.171 . 9.172.
- •9.191 .
- •9.245 9.246
- •9.263 9.264
- •9.273 9.274
- •9.281 .
- •9.313. 9.314 .
- •9.323 . 9.324.
- •9.325 . 9.326.
- •9.327 . 9.328.
- •9.331 .
- •9.349 ,,;
- •10.1 . 10.2 .
- •10.3 . 10.4.
- •10.5 . 10.6.
Глава 9. Дифференциальные и разностные уравнения.
§1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
первого порядка.
Уравнение вида , где- искомая функция, называетсяобыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Функция , обращающая уравнение в тождество, называетсярешением уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение уравнения задано в неявном виде , то оно обычно называетсяинтегралом уравнения. Процесс нахождения решений называется интегрированием дифференциального уравнения.
Уравнение вида , где- заданная функция переменныхи, называетсяДУ первого порядка, разрешённым относительно производной. Эту форму записи ДУ называют нормальной. Учитывая, что , ДУ первого порядка, разрешённое относительно производной, можно всегда записать вдифференциальной форме: , гдеи- заданные функции переменныхи.
Условие , где,-заданные числа, называется начальным условием. Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего заданному начальному условию, называетсязадачей Коши.
Общим решением ДУ первого порядка называется решение , зависящее от одной произвольной постоянной, такое, из которого при надлежащем выборе значения постояннойможно получить решение, удовлетворяющее заданному начальному условию. Общее решение, заданное в неявном виде, называетсяобщим интегралом уравнения.
Частным решением ДУ первого порядка называется решение , получаемое из общего при конкретном значении постоянной(при этом не исключаются и значения). Частное решение, заданное в неявном виде, называетсячастным интегралом уравнения.
Решение ДУ первого порядка, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым. Особое решение не содержится в формуле общего решения ни при каком числовом значении произвольной постоянной, включая . Особое решение всегда можно обнаружить в процессе построения общего решения (общего интеграла) данного ДУ. Это те решения, которые могут быть утеряны при преобразованиях данного уравнения, переводящих это уравнение в его общее решение (общий интеграл).
ДУ вида называется уравнением сразделёнными переменными. Его общий интеграл имеет вид .
ДУ вида илиназывается уравнением сразделяющимися переменными. Его интегрирование, путём деления обеих частей уравнения на или, сводится (с учётом) к интегрированию уравнения сразделёнными переменными.
При выполнении деления возможна потеря решений, для которых или. Потерянные решения или содержатся в формуле общего решения при каком-то конкретном значении произвольной постоянной (при этом не исключаются и значения) или являются особыми решениями.
В задачах 9.1-9.12 найти общие решения следующих ДУ с разделяющимися переменными:
9.1. 9.2.
9.3 . 9.4.
9.5. 9.6.
9.7. 9.8 . 9.9 . 9.10 .
9.11 .
9.12 .
Дифференциальное уравнение вида () приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой, где- новая искомая функция.
В задачах 9.13-9.16 найти общие решения уравнений, приводящихся к ДУ с разделяющимися переменными:
9.13 . 9.14.
9.15 . 9.16.
Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка – значит: 1) найти его общее решение или общий интеграл;2) найти то частное решение (частный интеграл) которое удовлетворяет заданному начальному условию.
В задачах 9.17-9.22 найти частные решения ДУ, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
9.17 ,.
9.18 ,.
9.19 ,.
9.20 ,.
9.21 ,.
9.22 ,.
Дифференциальное уравнение вида или, гдеи- однородные функции одинаковой степени, называетсяоднородным.
Функция , обладающая свойствомпри всех, называетсяоднородной функцией степени .
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой ,или, где- новая неизвестная функция. Интегрируя ДУ с разделяющимися переменными относительно функциии возвращаясь к искомой функции, находим общее решение исходного уравнения. Иногда целесообразно вместо подстановки, использовать подстановку, где- новая неизвестная функция.
В задачах 9.23-9.36 найти общие решения следующих однородных дифференциальных уравнений: