задачник по математике Белый_1 / ГЛАВА_6_A5_2004
.docГЛАВА 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
§1.Область определения. Предел функции. Непрерывность.
В задачах 6.1-6.17 найти и изобразить графически область определения следующих функций:
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19. Построить линии уровня следующих функций:
а)
; б)
;
в)
;
г)
.
6.20 Найти следующие двойные пределы:
а)
б)
в)
г)
6.21 Найти точки разрыва следующих функций:
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
§2. Частные производные
В задачах
6.22-6.32 найти
частные производные
от следующих функций:
6.22
6.23
6.24
6.25
6.26
6.27
6.28
6.29
6.30
6.31
6.32
В задачах
6.33-6.34 найти
частные производные
от следующих функций:
6.33
6.34
6.35 Проверить
равенство
,
если
а)
;
б)
.
6.36 Проверить
равенство
,
если
В задачах 6.37-6.40 найти указанные частные производные:
6.37
,
если
6.38
,
если
6.39
,
если
6.40
,
если
§3 Дифференциал.
В задачах 6.41-6.46 найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций:
6.41
6.42
6.43
6.44
6.45
6.46
6.47 Найти
значение полного дифференциала функции
при
6.48 Найти
значение полного дифференциала функции
при
6.49 Вычислить приближенно:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
6.50 На
сколько приближённо изменятся диагональ
и площадь прямоугольника со сторонами
и
,
если первая сторона увеличится на
,
а вторая сторона уменьшится на
?
6.51 Центральный
угол сектора
увеличился на
.
На сколько следует приближённо уменьшить
радиус сектора
,
чтобы площадь сектора осталась без
изменения?
6.52 Прямоугольный
параллелепипед имеет измерения:
,
,
.
На сколько приближённо изменится длина
его диагонали, если
увеличится на
,
увеличится на
,
уменьшится на
.
6.53 Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания R=2,5 м, высоту Н=4м и толщину стенок l=1дм. Найти приближенно объем материала, затраченного на изготовление стакана.
6.54
В усеченном конусе радиусы оснований
R=20
см, r=10
см и высота h=30
см. Как приближенно изменится объем
конуса
,
если R
увеличить
на 2мм,
r
увеличить на 3мм,
а h
уменьшить на 1 мм?
6.55 Найти в указанной точке второй дифференциал функций:
а)
б)
§4. Дифференцирование сложных и неявных функций.
Производная по направлению и градиент.
6.56
Найти
если
а)
,
где
б)
,
где
в)
,
где
г)
,
где
6.57
Найти
,
если
а)
,
где
б)
,
где
6.58
Найти
и
, если
а)
,
где
б)
,
где
в)
,
где
г)
,
где
6.59
Найти
и
,
если
а)
где
б)
где
6.60 Найти
,
если
а)
где
б)
где
6.61 Показать,
что следующие функции удовлетворяют
данным уравнениям: а)
,
.
б)
,
в)
,
.
г)
,
.
6.62 Предполагая,
что произвольная функция
дифферен-цируема достаточное число
раз, проверить следующие равенства:
а)
,
если
.
б)
,
если
.
в)
,
если
.
г)
,
если
.
6.63
Найти производную
для функций
,
заданных неявно:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
6.64
Найти производные указанного порядка
для функций
,
заданных неявно:
а)
если
;
б)
если
.
6.65
Найти частные производные
для функций
заданных
неявно:
а)
б)
в)
г)
6.66
Найти дифференциал
функции
заданной неявно в указанной точке
,
если:
а)
б)
6.67
Найти дифференциал
и производную
функции
заданной неявно, если:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
6.68 Найти
производную
по направлению вектора
,
градиент
и его величину |
|
в заданной точке
для следующих функций:
а)
,
,
б)
,
,
в)
,
,
г)
,
,
6.69
Найти угол
между градиентами функции
в точках
и
.
6.70
Найти угол
между градиентами функций
и
в точке
.
6.71
Найти
в
точке
,
если:
а)
,
;
б)
,
.
§5. Некоторые приложения частных производных.
6.72
Написать уравнения касательной плоскости
и нормали в точке
к следующим поверхностям:
а)
б)
в)
г)
6.73
Написать уравнения касательной плоскости
и нормали в точке
к следующим поверхностям:
а)
б)
в)
г)
6.74
Для поверхности
найти уравнение касательной плоскости,
параллельной плоскости
6.75
Для поверхности
найти уравнение нормали, параллельной
прямой
6.76. Исследовать следующие функции на выпуклость:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
6.77. Найти
частные эластичности
и
функций
в
указанных точках
:
а)
,
;
б)
,
.
6.78 Найти
а)
среднюю и предельную производительности
труда; б)
среднюю и предельную фондоотдачу; в)
эластичности выпуска по труду и по
фондам, если производственная функция
,
где
-
объём выпускаемой продукции,
- объём производственных фондов,
-
объём трудовых ресурсов, имеет вид:
1)
,
,
.
2)
,
,
.
§6 Формула Тейлора.
6.79 Разложить по формуле Тейлора следующие функции в окрестности указанных точек:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
6.80
Выписать члены до второго порядка
включительно формулы Тейлора для функции
в окрестности заданной точки:
а)
б)
в)
6.81
Разложить функции
по формуле Маклорена до членов третьего
порядка включительно:
а)
б)
§7 Экстремумы функций нескольких переменных
В задачах 6.82-6.100 найти экстремумы следующих функций нескольких переменных:
6.82
6.83
6.84
6.85
6.86
6.87
6.88
(x>0,y>0)
6.89
6.90
6.91
6.92
6.93
6.94
6.95
6.96
6.97
6.98
6.99
6.100
В задачах 6.101-6.108 найти условные экстремумы следующих функций нескольких переменных:
6.101
при
6.102
при
6.103
при
6.104
при
