Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
45
Добавлен:
17.04.2015
Размер:
954.88 Кб
Скачать

Глава 11. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля.

§1. Криволинейный интеграл первого рода и его приложения.

В задачах 11.1-11.6 вычислить криволинейные интегралы первого рода по указанной кривой :

11.1 , где

11.2 , где

11.3 , где

11.4 , где

11.5 , где -отрезок с концами и.

11.6 , где - граница треугольника с вершинами , и .

11.7, где ,

11.8, где,

.

11.9, где ,,

11.10, где ,,

,

11.11 , где - часть логарифмической спирали , находящаяся внутри круга .

11.12 , где - часть спирали Архимеда , находящаяся внутри круга .

11.13 , где - окружность .

11.14 , где - половина лемнискаты Бернулли , .

11.15 Найти длину дуги кривой :

а) , ;

б) , , ;

в) , , , ; г) .

11.16 Найти массу, распределённую по участку кривой , , если плотность в каждой точке кривой равна квадрату абсциссы этой точки.

11.17 Найти массу, распределённую по полуокружности , расположенной в верхней полуплоскости, если плотность в каждой точке полуокружности равна кубу ординаты этой точки.

11.18 Найти массу, распределённую по дуге кривой : , , , , плотность которой меняется по закону .

11.19 Найти координаты центра массы, распределённой по кривой с плотностью , если:

а) ;

б) ,,;

в) ,.

11.20Найти моменты инерции однородной дуги плотности :

а) относительно оси ;

б) , относительно оси ;

в) ,, относительно оси ;

г)относительно оси

§2. Криволинейный интеграл второго рода и его приложения.

В задачах 11.21-11.24 вычислить криволинейные интегралы по кривой , пробегаемой в направлении возрастания её параметра :

11.21 , где - дуга параболы , .

11.22 , где - дуга параболы , .

11.23 , где - кривая , .

11.24 , где - кривая , .

11.25 Вычислить криволинейный интеграл по отрезку , ориентированному в направлении от точки к точке :

а) , , ;

б) , , .

11.26 Вычислить криволинейный интеграл по кривой , пробегаемой от точки к точке :

а) , - дуга параболы , ,;

б) , - дуга параболы , ,.

В задачах 11.27-11.30 вычислить криволинейный интеграл по кривой, пробегаемой в направлении возрастания её параметра :

11.27, - дуга окружности ,, .

11.28, где - дуга циклоиды , , .

11.29, где - кривая ,, , .

11.30, где - дуга винтовой линии , , , .

В задачах 11.31-11.32 вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой , пробегаемой так, что её внутренность остаётся слева.

11.31 , где - контур треугольника с вершинами ,.

11.32 , - контур, составленный линиями , , .

В задачах 11.33-11.36, применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой , пробегаемой так, что её внутренность остаётся слева.

11.33 , где - эллипс .

11.34 , где - окружность .

11.35 , где - контур, образованный синусоидой и отрезком оси при .

11.36 , где - граница треугольника

с вершинами , и .

В задачах 11.37-11.38 убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой с началом в точке и концом в точке .

11.37 , ,.

11.38 ,,.

В задачах 11.39-11.42 найти функцию по заданному полному дифференциалу этой функции:

11.39 .

11.40 .

11.41 .

11.42 .

В задачах 11.43-11.46 найти площадь области , ограниченной плоскими кривыми:

11.43, . 11.44, , .

11.45, () (эллипс).

11.46, (астроида).

В задачах 11.47-11.50 найти работу силового поля вдоль дуги кривой , если:

11.47 , , , .

11.48 , , , .

11.49 , , , , .

11.50 , , , , .

Соседние файлы в папке задачник по математике Белый_1