- •Глава 11. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля.
- •§1. Криволинейный интеграл первого рода и его приложения.
- •§2. Криволинейный интеграл второго рода и его приложения.
- •§3. Поверхностный интеграл первого рода и его приложения.
- •§4. Поверхностный интеграл второго рода и его приложения.
- •§5. Теория поля.
- •5.1Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению.
- •5.1 Векторное поле. Дивергенция. Ротор.
- •5.3 Специальные виды векторных полей.
- •5.4 Поток и циркуляция векторного поля.
Глава 11. Криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля.
§1. Криволинейный интеграл первого рода и его приложения.
В задачах 11.1-11.6 вычислить криволинейные интегралы первого рода по указанной кривой :
11.1 , где
11.2 , где
11.3 , где
11.4 , где
11.5 , где -отрезок с концами и.
11.6 , где - граница треугольника с вершинами , и .
11.7, где ,
11.8, где,
.
11.9, где ,,
11.10, где ,,
,
11.11 , где - часть логарифмической спирали , находящаяся внутри круга .
11.12 , где - часть спирали Архимеда , находящаяся внутри круга .
11.13 , где - окружность .
11.14 , где - половина лемнискаты Бернулли , .
11.15 Найти длину дуги кривой :
а) , ;
б) , , ;
в) , , , ; г) .
11.16 Найти массу, распределённую по участку кривой , , если плотность в каждой точке кривой равна квадрату абсциссы этой точки.
11.17 Найти массу, распределённую по полуокружности , расположенной в верхней полуплоскости, если плотность в каждой точке полуокружности равна кубу ординаты этой точки.
11.18 Найти массу, распределённую по дуге кривой : , , , , плотность которой меняется по закону .
11.19 Найти координаты центра массы, распределённой по кривой с плотностью , если:
а) ;
б) ,,;
в) ,.
11.20Найти моменты инерции однородной дуги плотности :
а) относительно оси ;
б) , относительно оси ;
в) ,, относительно оси ;
г)относительно оси
§2. Криволинейный интеграл второго рода и его приложения.
В задачах 11.21-11.24 вычислить криволинейные интегралы по кривой , пробегаемой в направлении возрастания её параметра :
11.21 , где - дуга параболы , .
11.22 , где - дуга параболы , .
11.23 , где - кривая , .
11.24 , где - кривая , .
11.25 Вычислить криволинейный интеграл по отрезку , ориентированному в направлении от точки к точке :
а) , , ;
б) , , .
11.26 Вычислить криволинейный интеграл по кривой , пробегаемой от точки к точке :
а) , - дуга параболы , ,;
б) , - дуга параболы , ,.
В задачах 11.27-11.30 вычислить криволинейный интеграл по кривой, пробегаемой в направлении возрастания её параметра :
11.27, - дуга окружности ,, .
11.28, где - дуга циклоиды , , .
11.29, где - кривая ,, , .
11.30, где - дуга винтовой линии , , , .
В задачах 11.31-11.32 вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой , пробегаемой так, что её внутренность остаётся слева.
11.31 , где - контур треугольника с вершинами ,.
11.32 , - контур, составленный линиями , , .
В задачах 11.33-11.36, применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой , пробегаемой так, что её внутренность остаётся слева.
11.33 , где - эллипс .
11.34 , где - окружность .
11.35 , где - контур, образованный синусоидой и отрезком оси при .
11.36 , где - граница треугольника
с вершинами , и .
В задачах 11.37-11.38 убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой с началом в точке и концом в точке .
11.37 , ,.
11.38 ,,.
В задачах 11.39-11.42 найти функцию по заданному полному дифференциалу этой функции:
11.39 .
11.40 .
11.41 .
11.42 .
В задачах 11.43-11.46 найти площадь области , ограниченной плоскими кривыми:
11.43, . 11.44, , .
11.45, () (эллипс).
11.46, (астроида).
В задачах 11.47-11.50 найти работу силового поля вдоль дуги кривой , если:
11.47 , , , .
11.48 , , , .
11.49 , , , , .
11.50 , , , , .