МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Частотные характеристики
Пасютин А.В.
Москва. 2003 г.
Оглавление.
Оглавление. 3
Общее определение частотных характеристик. 4
1. Принцип решения задачи. 5
2. Технические характеристики объекта исследования: 5
3. Решение задачи. 6
Рекомендации по улучшению программы. 7
Приложение 1. Исходный код программы 8
Приложение 2. Тестовые примеры. 14
Общее определение частотных характеристик.
Частотные методы анализа динамических систем широко применяются в инженерной практике. При этом используются такие понятия и характеристики как собственные частоты системы, амплитудно-частотные характеристики ( АЧХ ), фазочастотные характеристики (ФЧХ), логарифмические частотные характеристики ( ЛЧХ ), амплитудно-фазовые характеристики (АФХ), диаграммы Бодэ и Найквиста. Команды и процедуры для вычисления частотных характеристик включены во многие современные пакеты компьютерного моделирования, такие как СИАМ, MATLAB, MICROCAP и др.
Приведем краткие определения основных частотных характеристик. Рассмотрим линейную динамическую систему с входом х и выходом у. Это может быть, например, линейное звено, совокупность звеньев, объект управления или система автоматического регулирования.
Проведем тестовый эксперимент, состоящий в подаче на вход системы синусоидального входного сигнала x(t) = sin wt и регистрации ее выходного сигнала. Из теории линейных систем известно, что после окончания переходного процесса на выходе системы установится гармонический сигнал той же частоты w. Математически он характеризуется формулой
y(t) = A(w)*sin(wt + j(w)),
где A( w ) - амплитуда установившихся колебаний, j(w) - фазовый сдвиг между входными и выходными колебаниями. Таким образом, при прохождении гармонического сигнала через линейную систему его частота остается неизменной, а амплитуда и фаза изменяются, причем по-разному на разных частотах.
Если провести серию таких экспериментов для разных значений частоты 0£w<¥и построить графики зависимостей A = A(w) и j= j(w), то мы получим амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики системы (АЧХ и ФЧХ).
В качестве примера на рис. 1,а показан вид этих характеристик, построенных в логарифмическом масштабе, для звена с передаточной функцией W(p) = 1/(p2+0,5p+1). Из них видно, что у данного звена АЧХ по мере увеличения частоты уменьшается. Наличие максимума у амплитудной характеристики говорит о резонансных свойствах звена. Частота, соответствующая этому максимуму, называется резонансной.
Фазовая характеристика звена отрицательна (j<0), т.е. выходные колебания отстают по фазе от входных, и это отставание растет с частотой, достигая в пределе -180°.
Третья частотная характеристика - амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) или диаграмма Найквиста. Ее график строят, используя А(w) и j(w) в качестве полярных координат (рис. 1,б). Это делается следующим образом. Будем результат каждого эксперимента изображать на плоскости в виде вектора длины А, выходящего из начала координат под углом jк оси абсцисс. Таким образом, каждая точка АФХ соответствует определенному значению частоты w. При изменении частоты w от нуля до бесконечности конец этого вектора опишет кривую, которая и представляет собой график АФХ.
Рис 1.1 Частотные характеристики колебательного звена
Отметим, что точка этой кривой, наиболее удаленная от начала координат, соответствует максимуму АЧХ. Она характеризует максимальный коэффициент усиления гармонического сигнала, который достижим для данной системы. Значение этого максимума определяет операторную норму системы.
Таким образом, частотные характеристики описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе линейного звена, сыгранные гармоническим воздействием на его входе. С инженерной точки зрения АЧХ показывает, чему равен коэффициент усиления системы на разных частотах, а ФЧХ указывает величину фазового сдвига на тех же частотах
Задание: Разработать программу, позволяющую изобразить семейство кривых – фазочастотных характеристик динамического звена по формуле:
