Глава 1. Линейная алгебра.

§ 1. Определители.

Квадратной матрицей порядка называется квадратная таблица из чисел(,):, состоящая изстрок истолбцов. Любой квадратной матрицепорядкаможно поставить в соответствие число, равное алгебраической суммеслагаемых, составленных определённым образом из элементовматрицы_, называемое определителем матрицы.

Определителем 1-ого порядка называется число .

Определителем 2-ого порядка называется число

.

Определителем 3-его порядка называется число

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычёркиванием-ой и-ого столбца.Алгебраическим дополнением элемента называется его минор , взятый со знаком:.

Определителем порядка называется число

Разложением определителя по-ой строке () называется соотношение:.

Разложением определителяпо-ому столбцу () называется соотношение:

Определители обладают свойствами:

1) определитель не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами;

2) определитель изменит знак на противоположный, если переставить местами любые две строки (два столбца) определителя;

3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;

4) определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку (столбец), две одинаковые или пропорциональные строки (столбца);

5) определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число;

6) определитель треугольного вида (когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей равны нулю) равен произведению диагональных элементов.

В задачах 1.1-1.4 вычислить определители 2-го порядка.

1.1 . 1.2 . 1.3 . 1.4 .

В задачах 1.5-1.8 вычислить определители 3-го порядка.

1.5 . 1.6 . 1.7 . 1.8 .

1.9Решить уравнение.

а) ; б) ; в) .

1.10 Решить неравенство.

а); б); в) .

В задачах 1.11-1.12, используя свойства определителя, доказать тождества (определители не развертывать).

1.11 .

1.12 .

В задачах 1.13-1.16 вычислить определители, используя их свойства

1.13 . 1.14 .

1.15 . 1.16 .

1.17Проверить, что определитель делится наи

В задачах 1.18-1.23 вычислить определители, используя разложение по строке или столбцу:

1.18. 1.19. 1.20. 1.21 .

1.22 . 1.23 .

В задачах 1.24-1.29 вычислить определители

1.24 . 1.25 . 1.26 .

1.27 . 1.28 . 1.29 .

§ 2. Матрицы.

Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел (,):, состоящая изстрок истолбцов. Если необходимо указать её размер, то пишут.

Матрицы иназываютсяравными и пишут , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны:

,,.

Транспонированной к матрице называется матрица, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы.

Суммой (разностью) матриц иодного размера , называется матрица того же размера, для которой:

, ,.

Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, для которой:,,.

Линейной комбинацией матриц и одного размера , называется матрица того же размера (и- произвольные числа), для которой:,,,

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которойвычисляется по правилу:,,.

Вообще говоря, .

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1) перестановка строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

4) вычёркивание нулевой строки (столбца).

Матрицы и, полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называютсяэквивалентными и пишут ~.

Обратной к квадратной матрице называется матрицатого же порядка такая, что:, где- единичная матрица (на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю). Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц. Квадратная матрицаназываетсяневырожденной, если её определитель .

Основными методами вычисления обратной матрицы являются:

Метод присоединённой матрицы. Если -невырожденная матрица, то, где- присоединённая матрица, для которой:. Здесь- алгебраические дополнения элементовматрицы.

Метод элементарных преобразований. Для матрицы порядкастроится прямоугольная матрицаразмераприписыванием ксправа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрицаприводится к виду, что всегда возможно, если-невырожденная.

Матричными называются уравнения:,,, где матрицы- известны, матрица- неизвестна. Если матрицы,-невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде:,,.

В задачах 1.30-1.31 найти линейные комбинации матриц: