Лекция_Теории_прочности

7

Лекция 2 ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ

Пусть элемент ограничен главными площадками. Вычислим главные деформации , , , используя принцип суперпозиции. Например, деформация по 1-му главному направлению равна:

или:

(10)

Формулы (10) называют обобщённым законом Гука для главных деформаций. Из них можно получить формулы для более простых случаев нагружения – плоского и линейного НС, если положить или.

В общем случае напряжённого состояния на гранях элемента действуют 9 компонент напряжений. От действия нормальных напряжений возникают линейные деформации , , . Связь между ними – такая же как и для главных деформаций :

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

От действия касательных напряжений возникают угловые деформации, например:

_ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _

Объединив эти зависимости, получим:

;

; (11)

;

Эти зависимости называют обобщённым законом Гука для деформаций в произвольном направлении.

Сложив левые и правые части первых трёх равенств, получим выражение для объёмной деформации:

(12)

Это – объёмный закон Гука.

ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ НАПРЯЖЁННОГО СОСТОЯНИЯ

ЗАДАЧИ ТЕОРИЙ ПРОЧНОСТИ

В случае линейного НС опасными (предельными) напряжениями будут:

- для пластичного материала

- для хрупкого материала

Допускаемое напряжение в обоих случаях:

, где n – коэффициент запаса

Условие прочности в обоих случаях:

В случае сложного НС, (плоского или объёмного) , когда действуют 2 или 3 главных напряжения, всё гораздо сложнее.

Опыты показывают, что для одного и того же материала предельное состояние может наступить при различных значениях , , ., в зависимости от соотношений между ними. Поставить эксперименты на все возможные комбинации , , для всех материалов невозможно, поэтому нужно найти способ составления условия прочности при сложном напряжённом состоянии, пользуясь величинами и ,полученными в опытах для линейного НС.

Для решения этой задачи вводят понятие об эквивалентных НС.

Два любых напряжённых состояния считаются эквивалентными, если при увеличении их главных напряжений в одинаковое число раз они одновременно становятся предельными.

Используя это понятие, можно любое сложное НС заменить эквивалентным ему линейным НС, а полученное линейное НС сравнить с экспериментом.

Условие прочности при этом будет:

Причём

Вид функции нам неизвестен, т.к. до сих пор не решён до конца вопрос, от чего возникает опасное состояние при сложном НС. Существует несколько теорий на этот счёт, которые называют теориями прочности.

ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

I-ая теория прочности (теория максимальных нормальных напряжений)

Прочность считается обеспеченной, если наибольшее из главных напряжений не превосходит допускаемого для данного материала.

Возможны 2 варианта:

а)

б)

Недостатки I-ой теории:

1. Из трёх главных напряжений учитывает только одно – наибольшее, а два других не учитывает.

2. Не может объяснить случай гидростатического сжатия.

3. Даёт удовлетворительные результаты лишь для весьма хрупких материалов, для пластичных непригодна. Применение ограничено.

II-ая теория прочности (теория максимальных относительных деформаций)

Прочность считается обеспеченной, если наибольшая относительная деформация (из трёх) не превосходит допускаемого значения.

(1)

Используя обобщённый закон Гука, выразим (1) в напряжениях:

; или - при объёмном НС

– при линейном НС

Теперь условие прочности (1) принимает вид:

Эта теория учитывает влияние всех трёх главных напряжений и даёт хорошие результаты для хрупких материалов.

Недостатки теории:

1. Не может объяснить случай гидростатического сжатия.

2. Не может объяснить случай:

Для случая А :

Для случая Б:

То – есть по теории случай Б прочнее А, а на практике – наоборот.

3. Эта теория даёт хорошие результаты для хрупких материалов, но неприменима для пластичных. Применение ограничено

Две первых теории применяются для хрупких материалов и поэтому называются теориями хрупкого разрушения. На практике же большинство конструкций выполняется из пластичных материалов, особенно из сталей. Поэтому для них применяют другие теории, называемые теориями пластичности.

III-я теория прочности (теория максимальных касательных напряжений).

Прочность считается обеспеченной, если наибольшие касательные напряжения не превосходят допускаемого значения.

(2)

Из теории известно, что при объёмном НС:

При линейном НС:

Условие прочности (2) принимает вид:

(2а)

Недостатки теории:

1. Не учитывает .

2. Гидростатическое сжатие объясняет хорошо, а гидростатическое растяжение не объясняет, т.к. на практике тело разрушается.

3. Не годится для материалов, у которых:

Эта теория хорошо подтверждается опытами и широко применяется на практике (особенно для сталей).

IV-я теория прочности – энергетическая.

Прочность считается обеспеченной, если величина удельной потенциальной энергии изменения формы материала не превосходит допускаемого значения.

(3)

Из теории известно, что:

при объёмном НС

При линейном НС:

Условие прочности (3) принимает вид:

(4)

Эта теория прочности даёт хорошие результаты для пластичных материалов, у которых . Здесь учитываются все 3 главных напряжения, она широко используется на практике.

Недостатки теории:

1. Хорошо объясняет гидростатическое сжатие, но не объясняет гидростатическое растяжение.

2. Непригодна для хрупких материалов.

V-я теория прочности – теория прочности Отто Мора.

Она пригодна для материалов, у которых .

Теория Мора основана на анализе предложенных им же кругов напряжений, которые не входят в программу нашего курса. Поэтому конечный результат приводится без доказательства.

Прочность обеспечена если: , где

В частном случае, когда , формула (5) обращается в известную формулу (2а) для расчёта по 3-ей теории прочности. Формулу Мора можно применять для оценки прочности как пластичных, так и хрупких материалов.

Недостаток: не учитывает напряжение , однако погрешность из-за этого невелика (%).

В настоящее время первые 2 теории для хрупких материалов используются редко. Для них применяют формулу Мора.

Подводя итог рассмотрению условий прочности, можно написать условие прочности в виде:

где: – расчётное напряжение

– допускаемое напряжение при простом растяжении или сжатии.

По разным теориям имеем:

Инженер, исходя из реальных свойств материала и характера НС, сам должен выбрать, какую теорию применить.

Нужно помнить, что деление материалов на хрупкие и пластичные весьма условно. Материал, пластичный при простом растяжении или сжатии, может вести себя как хрупкий при сложном НС и наоборот.

На хрупкость и пластичность влияют:

1. Вид напряжённого состояния. При НС, близком к гидростатическому растяжению – повышается хрупкость, при гидростатическом сжатии – пластичность. Примеры: В физ-техе проводились эксперименты с медным и мраморным шариками – рассказать.

2. Температура. При повышении температуры возрастает пластичность, при понижении – хрупкость. Рассказать о русской пословице (“Куй железо, пока горячо!”) и о санно – гусеничных поездах в Антарктиде.

3. Скорость деформирования. При быстром нагружении (удар, рывок) увеличивается хрупкость, при медленном – сохраняется пластичность. Рассказать о диаграмме нагружения пластичного материала.

4. Влияют также: термообработка (закалка, отжиг, отпуск), цианирование, цементирование, механическая обработка (наклёп) и другие факторы.

Поэтому правильнее говорить не о хрупком и пластичном материале, а о хрупком и пластичном состоянии материала.