Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
118
Добавлен:
17.04.2015
Размер:
753.15 Кб
Скачать

(2.33)

Рис. 2.21

Подставим найденные коэффициенты в (2.32), получим:

(2.34)

В случае балки постоянного сечения J1 = J2 =...= Jn = Jn+1  и введя обозначения Xn-1 = M n-1 Xn = M; Xn+1 = Mn+1, получим:

.(2.35)

Рис. 2.22

Это и есть уравнение трех моментов для неразрезной балки постоянного сечения. В этом урав­нении неизвестными являются из­гибающие моменты на опорах. Если у неразрезной балки все опоры шар­нирные, то таких уравнений можно составить столько, сколько у балки промежуточных опор.

При наличии на концах балки нагруженных консолей, изгибающие моменты на крайних опорах войдут в уравнение трех моментов, как из­вестные величины, а при отсутствии консолей эти моменты будут равны 0.

Если конец неразрезной балки защемлен, то для применения уравнения (2.35) необходимо, отбросив заделку, ввести с ее сто­роны дополнительный пролет l0=0 (рис. 2.22). Такая система будет деформироваться также, как балка с жесткой заделкой.

Решая совместно, составленные таким образом уравнения, най­дем все неизвестные изгибающие моменты на опорах. Далее для построения эпюр M и Q, каждый пролет неразрезной балки рас­сматриваем как балку на двух шарнирных опорах, загруженных внешней нагрузкой и двумя опорными моментами. Ординаты эпюр могут быть подсчитаны по формулам:

, (2.36)

где и - ординаты эпюр М и Q от внешней нагрузки в основной системе.

Чтобы убедиться в правильности построения эпюр М и Q необ­ходимо провести проверку равновесия неразрезной балки по уравнениям: Sy = 0; SM = 0.

Для этого следует определить вертикальные опорные реакции неразрезной балки, используя эпюру Q: 

Rn. (2.37)

2.10. Построение линий влияния опорных моментов кинематическим методом

Для построения линии влияния какого-либо усилия Si кинема­тическим методом необходимо в сооружении нарушить ту связь, которая передает это усилие, и заменить нарушенную связь усили­ем S. В полученной основной системе перемещение по направле­нию нарушенной связи от действия подвижной одиночной силы и усилия Si должно равняться нулю:

, (2.38)

откуда .

Учитывая, что на основании теоремы о взаимности перемеще­ний , окончательно получим:

, (2.39)

Рис. 2.23

где dPi - перемещение по направлению подвижной единичной нагрузки от усилия S= 1.

Например, если необходи­мо определить линию влияния опорного момента в n-ом опорном сечении многопролет­ной балки, расчетная схема за­данной и основной системы принимает вид, показанный на рис. 2.23.

Если подвижная единичная сила занимает произвольное положение, то dPi представляет собой эпюру перемещений (упругую линию) основной системы от усилия S= 1.

Перемещение dii от усилия S= 1 по направлению этого же усилия является величиной постоянной и называется масштабом эпюры перемещений.

Изобразив примерный вид упругой линии основной системы от усилия S, получим очертание линии влияния усилия S, так на­зываемую модель линии влияния S. Таким образом, кинематиче­ский метод дает возможность быстро получить внешний вид (мо­дель) любой линии влияния. 

Для построения линии влияния усилия S необходимо вы­числить ординаты упругой линии основной системы от усилия S и поделить их на постоянную величину (-dii)

Рассмотрим примеры построения линий влияния усилий в не­разрезной балке кинематическим методом. Применим кинематиче­ский метод к построению линии влияния опорного момента М2  неразрезной балки (рис. 2.24, а).

Для получения основной системы в сечение балки над опо­ рой 2 введем шарнир и заменим нарушенную связь парными мо­ментами М2 = 1 (рис. 2.24, в). Уравнение совместности деформаций имеет вид , из которого следует, что

. (2.40) 

В основной системе каждый пролет можно представить как балку на двух шарнирных опорах, нагруженную одним или двумя опорными моментами. 

Уравнения прогибов и углов поворота для балки на двух опорах с одним опорным моментом М = 1  (см. рис. 2.25) можно легко рассчитать методом начальных параметров. Вводя обозначение , получим:

(2.41)

Для облегчения подсчета ординат эпюры прогибов МP2 на рис. 2.25 показана упругая линия балки на двух шарнирных опорах, нагруженной одним опорным моментом М = 1, и указаны углы поворота на опорах и прогибы через 0.2l. 

Как видно из рис. 2.24, б, (n = 2) перемещение d22 представляет собой взаимный угол поворота двух смежных сечений основной системы на опоре n = 2. Этот угол можно подсчитать также, ис­пользуя упругую линию балки на двух опорах, показанную на рис. 2.25. 

Рис. 2.24

Запишем систему уравнений трех моментов (исключая для опоры 2) для определения изгибающих моментов на опорах от действия М2 = 1:

(2.42)

Учитывая, что М0 = М5 = 0, а также, что M2 = 1, получаем: 

Рис. 2.25

Решив эту систему, получим М1 = -20/70 = =-0.286кН×м. Подста­вим значение М1 во второе и третье урав­нения и умножим пос­леднее на -5 и сложим со вторым, получим последовательно: 

3 - 33×М4 = 0 , т.е. М4 = 3/33 = 0.091 кН×м и 2М3 = -7/11, или М3 = -7/22 = -0.318 кН×м.

По данным рис. 2.23 подсчитаем взаимный угол поворота смежных сечений основной системы на опоре 2:

Используя рис. 2.25, вычислим для каждого пролета ординаты эпюры моментов (упругой линии) основной системы dP2. Расчеты будем вести в табличной форме (см. табл. 2.6, где следует учесть, что ординаты линии влияния умножены на EJ). 

Поясним методику заполнения таблицы.

Основная система расчленяется на балки на двух опорах при действии двух опорных моментов Млев. и Мправ.. По принципу не­зависимости деформаций Бетти, прогибы балки подсчитываются независимо, как сумма прогибов от действия одного опорного момента (см. рис. 2.25 или формулы 2.34):

Таблица 2.6

Часть балки

Сече­ние

Момент на опоре приложен слева, Mлев.

Момент на опоре приложен справа, Mправ.

Момент на опоре приложен и слева и справа

Ординаты линии влияния, М2

Пролет 0-1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0

0

0

0

0

0

0

-2.0592

-3.6063

-4.1184

-3.0888

0

0

-2.0592

-3.6063

-4.1184

-3.0888

0

0

0.1458

0.2551

0.2916

0.2187

0

Пролет 1-2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0

-5.4912

-7.3216

-6.4046

-3.6608

0

0

12.800

22.400

25.600

19.200

0

0

7.3083

15.078

19.194

15.539

0

0

-0.1575

-1.0676

-1.3590

-1.1003

0

Пролет 2-3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0

43.200

57.600

50.400

28.800

0

0

-9.158

-16.027

-18.317

-13.738

0

0

34.042

41.573

32.083

15.062

0

0

-2.4104

-2.9436

-2.2717

-1.0665

0

Пролет 3-4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0

-6.1056

-8.1408

7.1232

4.0704

0

0

1.1648

2.0384

2.3296

1.7472

0

0

-4.9408

-6.1024

-4.7936

-2.3232

0

0

0.3498

0.4321

0.3394

0.1645

0

Пролет 4-5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0

0.9828

1.3104

1.1466

0.6552

0

0

0

0

0

0

0

0

0.9828

1.3104

1.1466

0.6552

0

0

-0.0696

-0.0928

-0.0812

-0.0464

0

126

Соседние файлы в папке Учебник СМ Саргсян