Строительная механика / Учебник СМ Саргсян / П11-1

Таблица 3.7

bz	sinbz	cosbz	shbz	chbz	U1(bz)	bU2(bz)	b^2U3(bz)	bU4(bz)
0.0	0.0000	1.0000	0.0000	1.0000	1.0000	0.0000	0.0000	0.0000
0.1	0.0998	0.9950	0.1002	1.0050	0.9999	0.1000	0.0050	0.0002
0.2	0.1987	0.9801	0.2013	1.0201	0.9998	0.1999	0.0200	0.0024
0.3	0.2955	0.9553	0.3045	1.0453	0.9986	0.2999	0.0450	0.0045
0.4	0.3894	0.9210	0.4108	1.0811	0.9957	0.3997	0.0800	0.0107
0.5	0.4794	0.8776	0.5211	1.1276	0.9896	0.4989	0.1249	0.0208
0.6	0.5646	0.8253	0.6367	1.1855	0.9784	0.5974	0.1797	0.0360
0.7	0.6442	0.7648	0.7586	1.2552	0.9600	0.6944	0.2443	0.0571
p/4	0.7071	0.7071	0.8687	1.3246	0.9366	0.7754	0.3071	0.0806
0.8	0.7173	0.6967	0.8881	1.3374	0.9318	0.7890	0.3185	0.0851
0.9	0.7833	0.6216	1.0265	1.4331	0.8908	0.8803	0.4020	0.1211
1.0	0.8415	0.5403	1.1752	1.5431	0.8337	0.9667	0.4944	0.1659
1.1	0.8912	0.4536	1.3356	1.6685	0.7568	1.0464	0.5951	0.2203
1.2	0.9320	0.3624	1.5095	1.8107	0.6562	1.1173	0.7034	0.2851
1.3	0.9636	0.2675	1.6984	1.9709	0.5272	1.1767	0.8183	0.3612
1.4	0.9854	0.1700	1.9043	2.1509	0.3656	1.2216	0.9382	0.4489
1.5	0.9975	0.0707	2.1293	2.3524	0.1663	1.2485	1.0620	0.5490
p/2	1.0000	0.0000	2.3013	2.5092	0.0000	1.2546	1.1507	0.6273
1.6	0.9996	-0.0292	2.3756	2.5775	-0.0753	1.2536	1.1873	0.6615
1.7	0.9917	-0.1288	2.6456	2.8283	-0.3643	1.2320	1.3118	0.7864
1.8	0.9738	-0.2272	2.9422	3.1075	-0.7060	1.1788	1.4326	0.9236
1.9	0.9463	-0.3233	3.2682	3.4174	-1.1049	1.0886	1.5463	1.0726
2.0	0.9093	-0.4161	3.6269	3.7622	-1.5655	0.9559	1.6420	1.2320
2.1	0.8632	-0.5048	4.0219	4.1443	-2.0920	0.7736	1.7359	1.4019
2.2	0.8084	-0.5885	4.4571	4.5679	-2.6882	0.5348	1.8016	1.5789
2.3	0.7457	-0.6663	4.9370	5.0372	-3.3563	0.2334	1.8408	1.7614
3p/4	0.7071	-0.7071	5.2280	5.3228	-3.7634	0.0335	1.8484	1.8651
2.4	0.6754	-0.7374	5.4662	5.5569	-4.0976	-0.1388	1.8459	1.9460
2.5	0.5985	-0.8011	6.0502	6.1323	-4.9126	-0.5883	1.8105	2.1292
2.6	0.5155	-0.8569	6.6947	6.7690	-5.8003	-1.1236	1.7256	2.3065
2.7	0.4274	-0.9041	7.4063	7.4735	-6.7568	-1.7509	1.5827	2.4725
2.8	0.3390	-0.9422	8.1919	8.2527	-7.7757	-2.4604	1.3885	2.6290
2.9	0.2392	-0.9710	9.0596	9.1146	-8.8503	-3.3083	1.0835	2.7443
3.0	0.1411	-0.9900	10.0179	10.0677	-9.9670	-4.2486	0.7068	2.8346
3.1	0.0416	-0.9991	11.0765	11.1215	-11.1114	-5.3019	0.2304	2.8822
p	0.0000	-1.0000	11.5487	11.5920	-11.5920	-5.7960	0.0000	2.8872

Поместим начало системы координат xy в центре тяжести левого крайнего сечения шпалы. Граничные условия задачи в начальном сечении при x = 0 запишем в виде:

M₀ = 0;     Q₀ = 0. (3.48)

Согласно (3.40)¸(3.43) запишем функции прогибов, углов пово­рота и внутренних усилий для I участка (0 £ x £ a):

(3.49)

Составим соответствующие выражения для II участка (a £ x £ £ 2l - a), учтя, что на границе участков I и II, т.е. при x = a и имеем скачок функции поперечной силы на величину DQ_I = -P:

(3.50)

(3.51)

(3.52)

(3.53)

Для определения y₀ и j₀, используем симметричный характер нагружения балки относительно среднего сечения x = l, где имеем:

j (l)=0;     Q(l)=0.

Составим следующую систему уравнений:

(3.54)

(3.55)

Cогласно (3.54) и (3.55), учитывая, что

bl = 1.06×1.35 » 1.5;     b (l - a) = 1.06×(1.35 - 0.54) » 0.9,

с учетом данных таблицы 3.7, получим:

После ряда преобразований приходим к системе:

корни которой принимают значения:

м; = -0.00025= -2.5×10^-4 рад.

В качестве условия проверки правильности вычисления значе­ний начальных параметров, подставим их значения в (3.54) и(3.55), получим:

Следовательно, величины y₀ и j₀ определены верно.

2. Определение прогибов, углов поворота и внутренних усилий

Разобьем балку на 10 участков. Используем симметрию задачи, поэтому будем рассматривать только половину балки, т.е. сечения 0, 1, 2, 2^’, 3, 4, 5 (см. рис. 3.9, а). Расчеты будем вести в табличной форме (см. табл. 3.8). Поэтому, согласно (3.52), запишем выражения прогибов, углов поворота и внутренних усилий для I и II участков:

Участок I.

Сечение 0, x = 0:

y₀ = 8.68×10^-3 м; j₀ = -2.5×10^-4 рад; M₀ = 0; Q₀ = 0.

Cечение 1, x = 0,27 ì.

Cечение 2, x = 0.54 ì.

Участок II.

Cечение 2¢, x = 0.54 ì.

Cечение 3, x = 0.81 ì.

Сечение 4, x = 1.08 ì.

Сечение 5, x = 1.35 ì.

Результаты расчетов внесены в таблицу 3.8 и по этим значениям построены эпюры прогибов, углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил (см. рис. 3.9, á, â, ã).

Таблица 3.8

№ сеч.	x	bx	b(x-a)	U1	U2	U3	U4	y, 10^-^2 м	j, 10^-3 рад	M, кН×м	Q, кН
0	0	0	-	1.000	0.000	0.000	0.000	8.680	-0.250	0.000	0.000
1	0.27	0.3	-	0.999	0.299	0.045	0.004	8.597	-0.251	6.50	45.82
2	0.54	0.6	-	0.978	0.597	0.179	0.036	8.352	-1.570	25.87	90..90
2^‘	0.54	0.6	0.0	0.978	0.597	0.179	0.036	8.352	-1.570	25.87	-119.1
3	0.81	0.9	0.3	0.891	0.880	0.402	0.121	7.738	-2.413	1.71	-76.33
4	1.08	1.2	0.6	0.656	1.117	0.703	0.285	7.143	-1.938	-17.67	-36.98
5	1.35	1.5	0.9	0.166	1.249	1.062	0.549	6.904	0.000	-22.85	-0.04

Рис. 3.9

3.8. Вопросы для самопроверки

1. Раскройте суть гипотезы Винклеровского основания.

   2. Поясните физический смысл коэффициента постели.

   3. Дайте определение относительно коротких и балок бесконечной длины

   4. Подчеркните отличительные особенности между дифференциальными уравнениями изгиба обычных балок и балок на упругом основании.

   5. Какими свойствами должны обладать функции Крылова.

6. Сформулируйте условия достаточной жесткости и прочности конструкций на упругом основании.

161