Тема №5
Средние величины
Большое распространение в статистике имеют средние величины.
Средняя величина - это обобщающий показатель, в котором находят выражение действия общих условий, закономерностей развития изучаемого явления.
Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного наблюдения (сплошного и выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Например, если рассчитывать среднюю заработную плату в акционерных обществах и на госпредприятиях, а результат распространить на всю совокупность, то средняя фиктивна, так как рассчитана по неоднородной совокупности, и такая средняя теряет всякий смысл.
При помощи средней происходит как бы сглаживание различий в величине признака, которые возникают по тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения.
Например, средняя выработка отдельного продавца зависит от многих причин: квалификации, стажа, возраста, формы обслуживания, здоровья и т.д. Средняя выработка отражает общую характеристику всей совокупности.
Средняя величина измеряется в тех же единицах, что и сам признак.
Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков, необходимо располагать системой средних величин, которые могут описать явление с разных сторон.
Существуют различные виды средних:
средняя арифметическая;
средняя гармоническая;
средняя геометрическая;
средняя квадратическая;
средняя кубическая.
Средние всех перечисленных выше видов, в свою очередь, делятся на простые (невзвешенные) и взвешенные.
Рассмотрим виды средних, которые используются в статистике.
Средняя арифметическая простая
Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.
Отдельные
значения признака называют вариантами
и обозначают через хi
(
);
число единиц совокупности обозначают
через n, среднее значение признака –
через
.
Следовательно, средняя арифметическая
простая равна:
или
Пример 1. Таблица 1
Данные о производстве рабочими продукции А за смену
|
№ работника, n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Выпущено изделий за смену одним работником, шт., xi |
16 |
17 |
18 |
17 |
16 |
17 |
18 |
20 |
21 |
18 |
В данном примере варьирующий признак - выпуск изделий за смену.
Численные значения признака (16, 17 и т. д.) называют вариантами. Определим среднюю выработку продукции рабочими данной группы:
шт.
Простая средняя арифметическая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется иначе.
Средняя арифметическая взвешенная
Средняя арифметическая взвешенная равна сумме произведений каждого отдельного значения признака (варианта) на соответствующую частоту, деленной на сумму всех частот.
Число одинаковых значений признака в рядах распределения называется частотой или весом и обозначается через fi.
В соответствии с этим, средняя арифметическая взвешенная выглядит так:
или
Из формулы видно, что средняя зависит не только от значений признака, но и от их частот, т.е. от состава совокупности, от ее структуры.
Пример 2. Таблица 2
Данные о заработной плате рабочих
|
Заработная плата одного рабочего в месяц, руб., xi |
Число рабочих, чел., fi |
|
1000 |
2 |
|
2000 |
6 |
|
3000 |
16 |
|
4000 |
12 |
|
5000 |
14 |
|
Итого |
50 |
По данным дискретного ряда распределения видно, что одни и те же значения признака (варианты) повторяются несколько раз. Так, варианта х1 встречается в совокупности 2 раза, а варианта х2 - 6 раз и т.д.
Вычислим среднюю заработную плату одного рабочего:
руб.
Фонд
заработной платы по каждой группе
рабочих равен произведению варианты
на частоту (
),
а сумма этих произведений дает общий
фонд заработной платы всех рабочих (
).
Если
бы расчет был выполнен по формуле простой
средней арифметической, средний заработок
был бы равен 3 000 руб. (
).
Сравнивая полученный результат с
исходными данными, очевидно, что средняя
заработная плата должна быть существенно
выше (больше половины рабочих получают
заработную плату выше 3 000 руб.). Поэтому
расчет по простой средней арифметической
в таких случаях будет ошибочным.
Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами.
Рассмотрим расчет средней арифметической для таких рядов.
Пример 3. Таблица 3